若 \(a_n = 0.23, 0.046, 0.0069, 0.00092 \dots\) 試求此數列前50項的和 \(s_{50}\) 與前100項的和 \(s_{100}\)。(可參考以下程式範例，修改成符合題意的結果)
範例:
s <- 0
for (i in 1:20) {s <- s + (0.2^(i-1))*0.23}
s## [1] 0.2875註解：從程式執行結果(加總)，不太容易看出每次加入的項為何，因此將程式第兩行調整改寫如下
for (i in 1:20) {print( (0.2^(i-1))*0.23 )}## [1] 0.23
## [1] 0.046
## [1] 0.0092
## [1] 0.00184
## [1] 0.000368
## [1] 7.36e-05
## [1] 1.472e-05
## [1] 2.944e-06
## [1] 5.888e-07
## [1] 1.1776e-07
## [1] 2.3552e-08
## [1] 4.7104e-09
## [1] 9.4208e-10
## [1] 1.88416e-10
## [1] 3.76832e-11
## [1] 7.53664e-12
## [1] 1.507328e-12
## [1] 3.014656e-13
## [1] 6.029312e-14
## [1] 1.205862e-14可以由執行的結果裡觀察，找到其變化的規律(從 0.23 開始，公比為 0.2 的等比數列)
不過我們要考慮的數列 \(a_n = 0.23, 0.046, 0.0069, 0.00092, \dots\)，並非等比數列 ，可以簡單計算得到
\[\frac{0.046}{0.23} =0.2 ,\frac{0.0069}{0.23} =0.03, \frac{0.00092}{0.23} =0.004, \dots\]
針對觀察所得之規律性，整理並抽象化以後，轉換為下列程式碼並執行其結果，以確認程式碼所控制之變化已符合我們的想法…
for (i in 1:10) {print(0.23*i*10^(1-i))}## [1] 0.23
## [1] 0.046
## [1] 0.0069
## [1] 0.00092
## [1] 0.000115
## [1] 1.38e-05
## [1] 1.61e-06
## [1] 1.84e-07
## [1] 2.07e-08
## [1] 2.3e-09確認規律性的觀察無誤後，再撰寫完整之程式碼以計算此數列前50項的和 \(s_{50}\) 與前100項的和 \(s_{100}\)，用指令 options(digits=22) 控制結果的有效位數為 22 位
options(digits=22)
s <- 0
for (i in 1:50) {s <- s + (0.23*i*10^(1-i))}
cat("S_50 =", s)## S_50 = 0.2839506172839506s <- 0
for (i in 1:100) {s <- s + (0.23*i*10^(1-i))}
cat("S_100 =", s)## S_100 = 0.2839506172839506即使有效位數取至22位，\(s_{50}\) 與 \(s_{100}\) 顯示的結果卻完全一致，表示此數列第51-100項的總和可以忽略(之後的項亦然)，計算結果為：
options(digits=22)
s <- 0
for (i in 51:100) {s <- s + (0.23*i*10^(1-i))}
cat("S_51_100 =", s)## S_51_100 = 1.3061728395061731e-49