1.

A nominal annual interest rate of 6% is compounded every 10 months, what is the accumulation function? Mary invests 1000 dollars at time t = 2, calculate her accumulated value at time t = 5. What is the effective interest rate frome time t = 2 to t = 3.

参考答案:

options(digits = 4)
m = 12/10
a = function(t) (1 + 0.06/m)^(m * t)  #累积函数
FV = 1000 * a(5)/a(2)  #累积值
i = (a(3) - a(2))/a(2)  #实际利率

accumulation function is \(1.05^{(1.2t)}\).
accumulated value is FV = 1192.0143
effective interest rate is i= 0.0603

2.

Suppose that a financial institution pays six-month LIBOR and receives 6% per annum (with semiannual compounding) on a swap with notional principal of $500 million and the remaining payment date are in 1 and 7 months. The swap has a remaining life of 7 months. The LIBOR rates with continuous compounding for 1-month and 7-month maturities are 5% and 7%, respectively. The 6-month LIBOR rate at the last payment date was 6.2% with semiannual compounding. Calculate the 1×7 forward rate and the value of the swap.

参考答案：

options(digits = 4)
t1 = 1/12
t2 = 7/12
r1 = 5/100
r2 = 7/100
r = (t2 * r2 - t1 * r1)/(t2 - t1)  #1月末到7月末的远期利率,连续复利
receive = 500 * c(3/100, 3/100)  #支出的固定利息
payment = 500 * c(3.1/100, exp(r * 0.5) - 1)  #收到的浮动利息
f = sum((receive - payment) * c(exp(-r1 * t1), exp(-r2 * t2)))  #互换的价值

the 1×7 forward rate is r = 0.0733
the value of the swap is f = -4.0245

3.

每半年复利一次的年利率为6%，请计算一项每月末支付2000元的永续年金的现值是多少？这项年金的马考勒久期和马考勒凸度分别是多少？如果每半年复利一次的年利率上升为6.2%，请应用马考勒久期和马考勒凸度近似计算该年金的价值会如何变化。

参考答案：

options(digits = 4)
i = 3/100  #半年期实际利率
j = (1 + i)^(1/6) - 1  #月实际利率
P = 2000/j  #现值
# j=exp(x/12)-1用利息力x表示现值：
f = expression(2000/(exp(x/12) - 1))
x = 12 * log(1 + j)  #利息力
f1 = D(f, "x")
MacD = -eval(f1)/eval(f)  #马考勒久期
f2 = D(f1, "x")
MacC = eval(f2)/eval(f)  #马考勒凸度
x1 = 2 * log(1 + 3.1/100)  #上升后的利息力
diffP = -MacD * (x1 - x) + 0.5 * MacC * (x1 - x)^2  #年金价值变化的百分比
P1 = P * (1 + diffP)  #新的年金价值

马考勒久期为16.9571
马考勒凸度为573.6758
年金价值变换的百分比为-0.0318
新的年金价值为P1=\(3.9208\times 10^{5}\)

4.

一项永续年金在前10年每年末的付款均为2万元，从第11年末开始，付款每年比上一年增长r%。假设年实际利率为6％，此项永续年金的现值为75万元，请求r的值。

参考答案：

options(digits = 4)
i = 6/100
v = (1 + i)^(-1)
a10 = (1 - v^10)/i
f = function(r) {
    j = (i - r)/(1 + i)
    2 * a10 + 2 * v^10 * (1 + r)/j - 75
}
r = uniroot(f, c(0.03, 0.05), tol = 1e-06)$root
## 解析表达式：
A = (75 - 2 * a10)/(2 * v^10)/(1 + i)
r = (A * i - 1)/(1 + A)

r的值为r = 0.0396

5.

某投资者现有100万元现金，计划在3年末用于购买住房。请问投资者应该如何投资这笔现金，才可以使其在购买住房时的累积值达到最大？已知仅有的投资渠道如下：（1）3年期债券，面值为100元，每年支付一次利息，息票率为6%；（2）银行定期存款，1年期、2年期和3年期的定期存款利率分别为4%，5%，6.4%。

参考答案：

options(digits = 4)
i1 = 4/100
i2 = 5/100
i3 = 6.4/100
bank = 100 * (1 + i3 * 3)  #银行存款的累积值
bond = 6 * (1 + 2 * i2) + 6 * (1 + i1) + 106  #债券的累积值

银行存款的累积值为bank=119.2
购买债券的累积值为bond=118.84

6.

2014年1月1日，一个投资账户的余额为100万元。4月1日，余额上升为120万元，投资者在当日又存入 D万元。10月1日，账户余额为100万元 ，投资者在当日取出50万元。2015年的1月1日，账户余额为60万元。假设该账户的时间加权收益率为0%，请计算其币值加权收益率。

参考答案：

options(digits = 4)
D = 120/100 * 100 * 60/(100 - 50) - 120
i = (60 - (100 + D - 50))/(100 + D * 9/12 - 50 * 3/12)

币值加权收益率为i = -0.1327

7.

假设1年期的年实际利率为6%。某股票的现价为50元，没有分红。该股票5个月到期的看涨期权和看跌期权的执行价格均为51元。请问看涨期权的价格与看跌期权的价格哪个更高？为什么？相差多少？

参考答案：

options(digits = 4)
S = 50
i = 6/100
K = 51
t = 5/12
CP = S - K * (1 + i)^(-t)  #看涨期权与看跌期权的价格之差

看涨期权与看跌期权的价格之差为CP =\(0.2233\)

8.

假设下述所有债券的面值均为100元。市场上1年期零息债券的价格为98元；年息票率为5%的2年期债券的价格为99元；年息票率为6%的3年期债券的价格为101元。请基于上述信息计算3年期的即期利率是多少。

参考答案：

options(digits = 4)
i1 = 2/98  #1年期即期利率
# 99=5/(1+i1)+105/(1+i2)^2
i2 = sqrt(105/(99 - 5/(1 + i1))) - 1  #2年期即期利率
# 101=6/(1+i1)+6/(1+i2)^2+106/(1+i3)^3
i3 = (106/(101 - 6/(1 + i1) - 6/(1 + i2)^2))^(1/3) - 1  #3年期即期利率

三年期即期利率为i3 = 0.0571

9.

一笔20年期的贷款本金为100万元，每月复利一次的年利率为8%。借款人每月末等额偿还一次，请计算借款人在第一年末应该偿还的总金额是多少？其中利息和本金分别是多少？

参考答案：

options(digits = 4)
j = 8/100/12
v = (1 + j)^(-1)
n = 20 * 12
a240 = (1 - v^n)/j
R = 1e+06/a240  #每月偿还的总金额
P = R * (v^(n - 12 + 1))  #本金
I = R - P  #利息

借款人在第一年末应该偿还的总金额是R = 8364.4007, 其中利息是I= 6537.932, 本金是 P = 1826.4687

10.

假设年实际利率为5%，请在下列各种情况下计算每年支付10000元的20年期年金的现值是多少：（1）每年末支付1次。（2）每月末支付一次。（3）连续支付。

参考答案：

options(digits = 4)
i = 5/100
v = (1 + i)^(-1)
i12 = 12 * ((1 + i)^(1/12) - 1)  #每年复利12次的年名义利率
ii = log(1 + i)  #利息力
R = 10000
n = 20
a1 = (1 - v^20)/i  #每年末支付一次的现值因子
a12 = i/i12 * a1  #每年末支付12次的现值因子
aii = i/ii * a1  #每年连续支付的现值因子
PV1 = R * a1  #每年末支付一次的现值
PV12 = R * a12  #每年末支付12次的现值
PVii = R * aii  #连续支付的现值

(1)每年末支付1次的年金现值为PV1= \(1.2462\times 10^{5}\)
(2)每月末支付1次的年金现值为PV12= \(1.2745\times 10^{5}\)
(3)连续支付的年金现值为PVii= \(1.2771\times 10^{5}\)