Nota: Aquest document pot tenir ampliacions d’aquí al seminari. Procureu fer servir la darrera versió.
Considerem l’experiment aleatori consistent en llençar una moneda a l’aire dos cops i anotar de quin costat cau cada una (per exemple, (C, +)).
Quin és l’espai mostral? Indiqueu-lo com a conjunt d’esdeveniments elementals.
Quins són els esdeveniments següents?
A = Les dues monedes pel mateix costat
B = A la primera moneda surti cara
C = Les dues monedes per costats diferents
Quins dels esdeveniments de l’apartat anterior són incompatibles?
Indiqueu els esdeveniments:
\(A \cup B\)
\(A \cap B\).
\(\overline{A}\)
\(\overline{A} \cap B\)
\(\overline{B} \cup B\)
\(\overline{A \cap B}\)
Dels estudiants de primer curs d’una universitat, el 80% està matriculat a estadística, el 60% està matriculat a microeconomia i el 15% no està matriculat a cap de les dues.
Quants estudiants estan matriculats a les dues assignatures a la vegada?
Són incompatibles els esdeveniments estar matriculat a estadística i estar matriculat a microeconomia?
Si triem un estudiant d’estadística a l’atzar, quina és la probabilitat que estigui matriculat a microeconomia?
Si triem un estudiant que no estigui matriculat a microeconomia, quina es la probabilitat que no estigui matriculat a estadística?
Són independents els esdeveniments “estar matriculat a estadística” i “estar matriculat a microeconomia”?
Un alumne d’una autoescola té una probabilitat del 80% d’aprovar l’examen pràctic cada cop que s’hi presenta.
Si disposa de dos intents per aprovar-lo, quina és la probabilitat que aprovi en aquests dos intents.
Si sabem que una persona ha aprovat l’examen, quina és la probabilitat que l’hagi aprovat al primer intent?
En un estudiant no estudia gaire una assignatura, de manera que té un 50% de probabiltat d’aprovar, un 30% de probabilitat d’anar a la recuperació i un 20% de probabilitat de treure una nota tan baixa que no pugui anar a la recuperació. Si ha d’anar a la recuperació estudia molt motivat, amb una probabilitat del 90% d’aprovar.
Quina és la probabilitat que aprovi l’assignatura?
I la probabilitat que l’aprovi a la recuperació? Indicació: encara no sabem si suspendrà l’exàmen ordinari.
Si sabem que ha aprovat l’assignatura, quina és la probabilitat que l’hagi aprovada a la recuperació?
I si sabem que ha suspès l’assignatura, quina és la probabilitat que hagi fet la recuperació?
El cim del pic de Trencarrocs està cobert de neu un 90% dels dies d’hivern, un 45% dels dies de primavera, un 1% dels dies d’estiu i un 30% dels dies de tardor.
Hem trobat una antiga fotografia amb el pic nevat. Quina és la probabilitat que fos presa a l’hivern?
Són independents els esdeveniments “ser primavera” i “estar nevat el cim”?
Aquest mes, si anem als boscos de Vilarica del Riu Xic la probabilitat de trobar rovellons és del 40% i la de trobar-hi aranyons madurs és del 20%. Hi anem perquè ens ve de gust dinar un plat de rovellons amb aranyons per postres. Si els dos esdeveniments són independents:
Quina és la probabilitat de trobar rovellons i aranyons madurs?
Quina és la probabilitat de no trobar ni rovellons ni aranyons madurs?
Un 50% dels abonats a un club esportiu fan servir la piscina, un 16% fan servir la sauna i un 10% fan servir les dues coses. Quin percentatge d’abonats no fa servir ni la piscina ni la sauna?
Una previsió meteorològica ens informa que la probabilitat que plogui demà és del 40% i la de que plogui demà passat del 30%. No tenim més informació sobre la relació entre aquests dos esdeveniments. Aleshores, trobeu quins valors pot prendre:
La probabilitat que plogui els dos dies.
La probabilitat que no plogui cap dels dos dies.
Un test per una malaltia dóna positiu (malalt) en un 95% dels casos si el pacient té la malaltia, i en un 10% dels casos si el pacient no té la malaltia. Sí un 1% de la població té la malaltia:
Quina és la probabilitat que el test doni positiu si li apliquem a un pacient a l’atzar?
Quina és la probabilitat que el pacient tingui la malaltia si el test ha donat positiu?
Quina és la probabilitat que el pacient no tingui la malaltia si el test ha donat negatiu?
Quina és la probabilitat que el test encerti el resultat?
Es produeix una epidèmia de la malaltia. Repetiu els apartats anteriors si el 20% de la població la pateix.
Un laboratori està fent servir tres proves per identificar la presència d’un contaminant en mostres de sòl. Les tres proves tenen el següent comportament:
Prova A: Dóna negatiu sempre, en qualsevol mostra.
Prova B: Dóna positiu amb una probabilitat del 0,5%, tant si a la mostra hi ha el contaminant com si no.
Prova C: Dóna positiu en un 99% dels casos en que hi ha el contaminant i en un 2% dels casos en que no hi és.
El contaminant és present en un 1% de les mostres de sòl.
Quina de les tres proves produirà un nombre més gran d’encerts? O sigui, quina és la probabilitat d’encertar el resultat correcte de cada prova.
Per cada test, calculeu la probabilitat que una mostra contingui el contaminant si ha donat positiu.
Per cada test, calculeu la probabilitat que una mostra no contingui el contaminant si ha donat negatiu.
Discutiu si la probabilitat d’encertar és una bona mesura de l’efectivitat d’una prova.
Repetiu el primer apartat si el contaminant és present en el 50% de mostres de sòl. Canvia el resultat?
Per detectar una malaltia se segueix el següent protocol:
Primer s’aplica al pacient una prova barata i senzilla que dóna positiu en un 99% de casos en que la malaltia és present i en un 10% de casos en que la malaltia no és present.
Als pacients que han donat positiu a la primera prova se’ls aplica una segona prova, més cara i invasiva que dóna positiu en un 95% dels pacients malalts i en un 0,1% dels pacients sans.
Es donen com a positius els pacients que han donat positiu a la segona prova.
Si dels pacients als que s’aplica aquest protocol un 5% té la malaltia, calculeu:
La probabilitat que un pacient sigui donat com a positiu en aquest procés.
La probabilitat que un pacient amb la malaltia se’l doni com a positiu (sensibilitat).
La probabilitat que un pacient que no té la malaltia tingui un resultat final negatiu (especificitat).
La probabilitat de tenir la malaltia si el resultat final dóna positiu.
La probabilitat de no tenir la malaltia si el resultat final dóna negatiu.
Una planta química pot produir una fuita tòxica si fallen a la vegada dos mecanismes de seguretat, que tenen una probabilitat de fallar del 0,5% i el 2%. Les fallades dels dos mecanismes són independents.
Quina és la probabilitat que es produeixi una fuita?
Si no es produeix cap fuita, quina és la probabilitat que hagi fallat algun dels mecanismes de seguretat?
La direcció de l’empresa, preocupada pel resultat de primer apartat, decideix aplicar un tercer mecanisme de seguretat que té una probabilitat de fallada de l’1%, també independent dels altres. Quina és ara la probabilitat que es produeixi una fuita?
I si ara no es produeix cap fuita, quina és la probabilitat que hagi fallat algun dels tres mecanismes de seguretat?
Dels treballadors d’una empresa, el 20% treballen al departament d’administració i el 30% tenen contracte temporal. El 6% dels treballadors de l’empresa treballen al departament d’administració amb contracte temporal.
Els esdeveniments “treballar al departament d’administració” i “tenir contracte temporal” són independents?
Els esdeveniments “treballar al departament d’administració” i “tenir contracte temporal” són incompatibles?
L’illa Wapa Wapa es troba al conegut com a cinturó de foc del mar d’Arda. En un any, la probabilitat de patir un terratrèmol és d’un 1%, la de patir un tsunami és del 0,5% i la de patir ambdues coses és del 0,1%.
Son independents els esdeveniments “patir un tsunami” i “patir un terratrèmol”?
I són incompatibles?
Quina és la probabilitat de no patir ni un tsunami ni un terratrèmol?
Els serveis legals d’una empresa avalua que la probabilitat de rebre una sanció administrativa per una certa infracció laboral és del 10%, i la de rebre una sanció penal per la mateixa infracció és del 1%. No és possible rebre les dues sancions.
Son independents els esdeveniments de rebre les dues sancions?
I són incompatibles?
Quina és la probabilitat de no rebre cap de les dues sancions?
Un dau piramidal té cinc cares amb els números 2, 3, 5, 7 i 11. El número 11 és a la base de la piràmide i té una probabilitat de sortir que és el doble de la de les altres cares.
Indiqueu la probabilitat de cada cara.
Tirem el dau dos cops. Quina és la probabilitat d’obtenir més de 7 punts sumant les dues tirades?
Indicació: Tot i que és possible calcular analíticament les probabilitats que es demanen, fins i tot a mà, es recomana fer una simulació.
Tirem un dau piramidal com aquest, un dau normal (cúbic) i una moneda trucada (surt cara un 60% de les vegades). Multipliquem els punts dels dos daus i li sumem un punt si ha sortit cara. Quina és la probabilitat d’obtenir entre 10 i 20 punts (inclosos)?
Representeu gràficament el resultat de les puntuacions de la simulació anterior. Indicació: funció hist
Si han sortit més 20 punts, quina és la probabilitat que al dau piramidal hagi sortit un 11?
Si han sortit exactament 15 punts, quina és la probabilitat que hagi sortit cara a la moneda i un 2 al dau cúbic?
Quina és la probabilitat de treure més de 15 punts en total o més de 10 al dau piramidal?
Són independents els esdeveniments de treure més de 15 punts en total i treure’n més de 10 al dau priramidal?
En un joc semblant el Risk s’enfronten dos jugadors que tiren nombres de daus diferents. Cada jugador suma els punts dels seus daus i guanya el que en té més.
Quina és la probabilitat que un jugador amb tres daus guanyi contra un que en té quatre?
I que empatin?
Si sabem que el primer jugador ha tret més de 12 punts, quina és la probabilitat que hagi perdut?
En un joc tirem un dau, una ruleta (números del 0 al 36 amb la mateixa probabilitat) i una moneda. Si surt cara donem com a resultat la suma del dau i la ruleta i si surt creu la seva multiplicació.
Quina és la probabilitat d’obtenir un resultat de 12?
Si hem obtingut un resultat superior a 36, quina és la probabilitat que a la moneda hagi sortit creu?
La publicitat del portal InfoJobs, dedicat a anuncis de feina, fa la següent afirmació per promocionar la seva aplicació mòbil:
¿Todavía no tienes nuestra app? 7 de cada 10 candidatos que encuentran empleo en InfoJobs la utilizan.
Suposant que l’afirmació de l’anunci sigui certa, raoneu si implica alguna (o algunes) de les següents afirmacions: