論理

論理和\(p\lor q\)の真理表

p <- c(TRUE, TRUE, FALSE, FALSE)
q <- c(TRUE, FALSE, TRUE, FALSE)
p_or_q <- p | q
cbind(p,q,p_or_q)
##          p     q p_or_q
## [1,]  TRUE  TRUE   TRUE
## [2,]  TRUE FALSE   TRUE
## [3,] FALSE  TRUE   TRUE
## [4,] FALSE FALSE  FALSE

論理積\(p\land q\)の真理表

p <- c(TRUE, TRUE, FALSE, FALSE)
q <- c(TRUE, FALSE, TRUE, FALSE)
p_and_q <- p & q
cbind(p,q,p_and_q)
##          p     q p_and_q
## [1,]  TRUE  TRUE    TRUE
## [2,]  TRUE FALSE   FALSE
## [3,] FALSE  TRUE   FALSE
## [4,] FALSE FALSE   FALSE

否定\(\lnot\)の真理表

p <- c(TRUE, FALSE)
not_p <- !p
cbind(p,not_p)
##          p not_p
## [1,]  TRUE FALSE
## [2,] FALSE  TRUE

p.9 式(1.4) \(\neg p \lor \neg q\)

p <- c(TRUE, TRUE, FALSE, FALSE)
q <- c(TRUE, FALSE, TRUE, FALSE)
not_p_or_not_q <- !p | !q
cbind(p,q,not_p_or_not_q)
##          p     q not_p_or_not_q
## [1,]  TRUE  TRUE          FALSE
## [2,]  TRUE FALSE           TRUE
## [3,] FALSE  TRUE           TRUE
## [4,] FALSE FALSE           TRUE

条件式\(\to\)と同値の真理表

p <- c(TRUE, TRUE, FALSE, FALSE)
q <- c(TRUE, FALSE, TRUE, FALSE)
p_cond_q <- !p | q
cbind(p,q,p_cond_q)
##          p     q p_cond_q
## [1,]  TRUE  TRUE     TRUE
## [2,]  TRUE FALSE    FALSE
## [3,] FALSE  TRUE     TRUE
## [4,] FALSE FALSE     TRUE

双条件式\(\leftrightarrow\)と同値の真理表

p <- c(TRUE, TRUE, FALSE, FALSE)
q <- c(TRUE, FALSE, TRUE, FALSE)
p_bicond_q <- (p & q) | (!p & !q)
cbind(p,q,p_bicond_q)
##          p     q p_bicond_q
## [1,]  TRUE  TRUE       TRUE
## [2,]  TRUE FALSE      FALSE
## [3,] FALSE  TRUE      FALSE
## [4,] FALSE FALSE       TRUE

集合

Rのベクトル型を集合と見なして，基本的な集合演算ができる．

ただし，ベクトルなので重複を許容することに注意．ベクトルの重複を削りたい場合はunique関数を使う．

要素：\(a \in A\)

A <- unique(c(1,1,2,3))
B <- c(1,2,3,4,5)
C <- c(3,4,5)
E <- c()
in_A<-sapply(B, function(x) is.element(x,A))
# in_A
cbind(B,in_A) #cbindするとBoole値は1,0に変換される
##      B in_A
## [1,] 1    1
## [2,] 2    1
## [3,] 3    1
## [4,] 4    0
## [5,] 5    0

部分集合関係\(A\subset B\)を見る場合，定義よりis.elementでのチェックをすべて行って，すべてTRUEの場合，部分集合と判断する．

subset <- function(X, Y) {
  all(sapply(X, function(x) is.element(x,Y)))
}

subs <- c(subset(A,B),subset(C,B),subset(A,C),subset(E,A))
names(subs) <- c("A <= B","C <= B","A <= C","E <= A")
subs
## A <= B C <= B A <= C E <= A 
##   TRUE   TRUE  FALSE   TRUE

和集合：\(A \cup B\)

union(A,B)
## [1] 1 2 3 4 5
union(C,B)
## [1] 3 4 5 1 2
union(A,C)
## [1] 1 2 3 4 5

積集合：\(A \cap B\)

intersect(A,B)
## [1] 1 2 3
intersect(C,B)
## [1] 3 4 5
intersect(A,C)
## [1] 3

補集合：\(A^B\)

setdiff(B,A)
## [1] 4 5
setdiff(C,A)
## [1] 4 5
setdiff(A,C)
## [1] 1 2

集合演算のパッケージとしてはいくつかのものが公開されているようだ．

微分

Rで解析的に微分を行う場合はexpression()関数で，数式表現オブジェクトに変換した上でD(func,"var")もしくはderiv(func, "var")．ただし，あまり使い道はなさそう．

f <- expression(x^2 - 2*x + 4)
D(f,"x")
## 2 * x - 2
deriv(f,"x") #func = TRUE
## expression({
##     .expr2 <- 2 * x
##     .value <- x^2 - .expr2 + 4
##     .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
##     .grad[, "x"] <- .expr2 - 2
##     attr(.value, "gradient") <- .grad
##     .value
## })

積分

integrate()関数を使った数値積分が可能

f <- function(x) x^2
integrate(f, 0, 1)
## 0.3333333 with absolute error < 3.7e-15

不定積分（の近似）はfunction(x) integrate(f,b,x)という関数で定義すればよい．

f <- function(x) x^2
F <- function(x) integrate(f,0,x)$value
plot(function(x) x^3/3,0,1,xlab="",ylab="")
par(new = T)
plot(cbind(seq(0,1,0.1),sapply(seq(0,1,0.1),F)),col="red",xlab="",ylab="")

標準正規分布のpdfの全範囲積分．

stdnorm_pdf <- function(x) exp(-x^2/2)/sqrt(2*pi)
integrate(stdnorm_pdf, -Inf, Inf)
## 1 with absolute error < 9.4e-05
stdnorm_cdf <- function(x) integrate(stdnorm_pdf, -Inf, x)$value
plot(stdnorm_pdf,-3,3,xlim=c(-3,3),ylim=c(0,1),xlab="",ylab="")
par(new = T)
plot(cbind(seq(-3,3,0.1),sapply(seq(-3,3,0.1),stdnorm_cdf)),col="red"
     ,xlim=c(-3,3),ylim=c(0,1),xlab="",ylab="")