Utilitas dan Asuransi

Risiko dimiliki oleh setiap individu

Risiko ini dapat terjadi kapan saja dengan nilai kerugian yang tidak pasti.

Sebagian individu menyukai kepastian untuk risiko yang dihadapinya (risk averse)

Sebagian lagi menyukai hidup dengan risiko yang tidak pasti (risk seeker)

Polis asuransi menawarkan kepastian nilai risiko yang dihadapi oleh setiap individu.

Nilai risiko yang \(\textbf{tidak pasti}\) ini ditransformasi dalam bentuk nilai premi yang harus dibayarkan oleh individu dengan nilai yang \(\textbf{pasti}\).

Law of Large Number

Asuransi pada umumnya menggunakan law of large number (LLN) untuk mengestimasi rata-rata severity dari risiko yang ditanggung.

Law of large number : dengan semakin banyaknya observasi, perbedaan antara rata-rata nilai observasi dengan rata-rata sebenarnya akan semakin kecil.

Misalkan besar kerugian berdistribusi \(N(10,4)\). Kita akan simulasikan

\[\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\to \mu\] dengan semakin besarnya \(n\), dan \[Var\left[\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\right]\to 0\]

rm(list = ls())
mu<- 10
sig<-2
m<-seq(100,100000, by=100)

lm<- length(m)

sm1<-seq(1,lm)
sd1<-sm1

for(j in seq(1,lm)){
  sampel1<-rnorm(m[j],mu,sig)
  sm1[j]<-mean(sampel1)
  sd1[j]<-sd(sampel1)
  }

par(mfrow=c(1,2))

plot(m,sm1,main='Rataan sampel vs banyak sampel')
plot(m,sd1,main='standar deviasi sampel vs banyak sampel')

Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas suatu individu dapat menggambarkan kepuasan individu tersebut.

Individu dapat dibedakan berdasarkan cara menghadapi risiko:

• risk averse
• risk seeker

Untuk risk averse fungsi utilitasnya memiliki fungsi utilitas marginal yang menurun: \[\frac{d^2 u(s)}{ds^2}<0\] Sedangkan risk seeker ketaksamaan di atas tidak berlaku!

Contoh

Suatu individu dengan kekayaan 100 menghadapi suatu risiko dengan kerugian \(Y\) yang berdistribusi \(U(0,36)\). Ekspektasi kerugian yang dimiliki individu ini adalah \[E[Y]=\int_0^{36}\frac{y}{36}dy=18.\] Perlu diingat kerugian individu ini dapat melebihi nilai ekspektasinya!

Bila individu ini tidak membeli asuransi maka kekayaan individu ini akan menjadi \(100-Y\) dengan kemungkinan kekayaan berakhir pada nilai \(64\) sampai \(100\).

Sehingga posisi kekayaannya bersifat probabilistik!

Untuk individu yang risk averse yang lebih menyukai kepastian, akan cenderung ingin pengeluaran yang pasti dalam menghadapi risikonya.

Insurer dapat menawarkan kepastian ini dalam bentuk polis asuransi yang bernilai \(G\), sehingga posisi kekayaan individu ini menjadi pasti sebesar \(100-G\).

Bagaimana menentukan \(G\)?

Kita dapat menghubungkannya dengan tingkat kepuasan individu ini melalui fungsi utilitas.

Misalkan fungsi utilitas yang sesuai adalah \(u(x)=\sqrt{x}\). Maka kita bisa hitung ekspektasi tingkat kepuasan individu ini untuk kondisi tanpa asuransi sebagai berikut:

\[E[u(100-Y)]=\int_0^{36}u(100-y)f(y)dy=\int_0^{36}\sqrt{100-y}\frac{1}{36}dy=\frac{244}{27}.\] Berdasarkan hasil di atas, kita dapat menghitung pengeluaran maksimum individu ini yang menghasilkan tingkat kepuasan di atas dengan menyelsaikan persamaan:

\[\sqrt{100-G}=\frac{244}{27}\] yang menghasilkan pengeluaran maksimum individu ini \(G=18.33\).

Insurer dapat menawarkan premi yang nilainya dalam rentang \((18, 18.33)\)

Kelas-kelas fungsi Utilitas

Kita dapat memnggunakan fungsi-fungsi utilitas berikut:

1. fungsi utilitas linear : \(u(w)=w\)
2. utilitas kuadratik : \(u(w)=-(\alpha -w)^2,\quad w\leq \alpha\)
3. utilitas logaritmik : \(u(w)=\log(\alpha +w),\quad w>-\alpha\)
4. utilitas pangkat : \(u(w)=w^c\), dengan \(w>0\) dan \(0<c\leq 1\)
5. utilitas eksponensial : \(u(w)=-\alpha e^{-\alpha w}\), \(\alpha >0\).

Ketaksamaan Jensen dan fungsi utilitas

Misalkan \((\Omega,A,\mu)\) adalah ruang probabilitas. Jika \(g\) adalah fungsi konkaf pada \((-\infty,\infty)\), maka

\[E[g(X)]\leq g[E(X)].\] Untuk fungsi utilitas \(u\) yang konkaf berlaku: \[E[u(w-X)]\leq u(E[w-X])=u(w-E[X]).\] Terlihat individu dengan fungsi utilitas jenis ini tingkat kepuasannya akan meningkat dengan kepastian \(X\) (jenis risk averse)

Utilitas individu dan insurer

Misalkan seorang risk averse dengan kekayaan \(w\) memiliki fungsi utilitas \(u\).

Individu ini mengasuransikan risiko \(X\) dengan premi \(P\). Premi ini akan meningkatkan kepuasan individu ini jika \[E[u(w-X)]\leq u(w-P).\] Pengeluaran maksimum yang dapat dikeluarkan individu ini adalah \(P^+\) yang memenuhi persamaan \[E[u(w-X)]=u(w-P^+)\] Sehingga kita dapat memilih \(P\) yang memenuhi ketidaksamaan \[u(w-P^+)\leq u(w-P).\] Karena \(u\) fungsi yang tidak turun, kita mempunyai hubungan \(P\leq P^+\).

Dilain pihak perusahaan asuransi memiliki fungsi utilitas \(U\) dengan kekayaan \(W\). Perusahaan ini akan menerima risiko \(X\) dengan premi \(P\) jika \[E[U(W+P-X)]\geq U(W).\] Perhatikan nilai premi minimum yang bisa ditawarkan \(P^-\) memenuhi persamaan \[E[U(W+P^- -X)]= U(W).\] Sehingga diperoleh hubungan \[P^-\leq P\leq P^+.\]

Koefisien Risk Averse

Diberikan fungsi utilitas \(u(x)\). Kita ingin mengaproksimasi premi maksimum \(P^+\) untuk suatu risiko \(X\).

Misalkan \(\mu\) dan \(\sigma^2\) menyatakan rataan dan variansi dari risiko kerugian \(X\). Dengan menggunakan ekspansi Taylor pada fungsi utilitas \(u\) disekitar \(\mu\) kita peroleh:

\[u(w-P^+)\approx u(w-\mu)+(\mu-P^+)u'(w-\mu).\]

dan

\[u(w-X)\approx u(w-\mu)+(\mu-X)u'(w-\mu)+\frac{1}{2}(\mu-X)^2 u''(w-\mu).\] Kita ekpektasikan persamaan di atas

\[E[u(w-X)]\approx u(w-\mu)+\frac{1}{2}\sigma^2u''(w-\mu).\] Dengan menggunakan \(E[u(w-X)]=u(w-P^+)\), kita peroleh \[u(w-P^+)\approx u(w-\mu)+\frac{1}{2}\sigma^2u''(w-\mu).\] Kita gunakan persamaan di atas \[u(w-\mu)+(\mu-P^+)u'(w-\mu)\approx u(w-\mu)+\frac{1}{2}\sigma^2u''(w-\mu)\] yang memberikan \[P^+\approx \mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \frac{u''(w-\mu)}{u'(\mu-w)}.\]

Kita akan menyebut \(r(w)=-\frac{u''(w)}{u'(w)}\) sebagai \(\textbf{risk aversion coefficient}\).

Sehingga premi maksimum \(P^+\) yang dibayarkan untuk risiko \(X\) dapat diaproksimasi dengan \[P^+\approx \mu +\frac{1}{2} r(w-\mu)\sigma^2.\]

Latihan:

1. Misalkan insurer mempunyai fungsi utilitas \(U(x)=-\alpha e^{-\alpha x}\). Tentukan \(P^-\) dan \(P^+\). Tentukan juga \(P^+\) dengan aproksimasi.

2. Misalkan \(w<5\), fungsi utilitasnya \(u(w)=10w-w^2\). Tentukan \(P^+\) sebagai fungsi dari \(w\) dengan \(w\in[0,5]\), untuk suatu polis asuransi yang menanggung risiko kerugian \(1\) dengan peluang 0.5? Apa yang terjadi dengan premi dengan kenaikan \(w\)?

3. Seorang dengan risiko dengan kerugian berdistribusi gamma\((n,1)\) dan dengan fungsi utilitas eksponensial berparameter \(\alpha>0\) ingin mengasuransikan risikonya. Tentukan \(P^+\) dan buktikan \(P^+>n\). Kapan kita mencapai \(P^+=\infty\) dan apa artinya?