• Debe existir un número fijo de pruebas repetidas (\(n\)).
• Cada una de las \(n\) pruebas debe tener dos resultados éxito \(p\) o fracaso \(q\), son mutuamente excluyente.
• La probabilidad de éxito \(p\) de un acontecimiento es fijo o constante, de igual manera para la probabilidad de fracaso \(q\).
• Las pruebas son independientes.
• Nos interesa el número de éxito en \(n\) pruebas.

Si se cumplen todas las características anteriores para la variable aleatoria \(X\), podemos decir que la variable aleatria \(X\) tiene distribución binomial y la escribimos \[X \sim b(x,\,size = n,\,prob = p)\]

La función de masa de probabilidad \(f\) y de distribución \(F\) de la variable aleatoria \(X\) esta dada por

\[ f_{X}(x)=P(X=x) = \left \{ \begin{matrix} \binom{n}{x} p^x q^{n-x}, & \mbox{si } x =\mbox{ 0, 1, 2, . . . , n.} \\ 0, & \mbox{en otro caso. }\end{matrix}\right. \]

Donde

• \(n\) es el número de ensayos.
• \(x\) es el número de éxitos.
• \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo.
• \(q = 1-p\) es la probabilidad de fracaso en cada ensayo.

y

\[ B(t,n,p) = F(t) = P(X \le t) = \sum_{k \le t} b(t,n,p) \]

Si \(X\) es una variable aleatoria que tiene distribución binomial con los parametros \(n\) y \(p\), entonces se cumple que

\(E(X) = \mu = np\) y \(V(X) = \sigma^2 = npq\)

d: probability mass function.
p: cumulative distribution function.
q: quantile function.
r: function for generating (pseudo) random numbers.

PMF: P(X = x) = dbinom(x; size = n; prob = p)
CDF: P(X <= x) = pbinom(x; size = n; prob = p)
Simulate k variates = rbinom(k; size = n; prob = p)

dbinom(x, size, prob, log = FALSE)
pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rbinom(n, size, prob)

Utilizando la fórmula binomial calcule las siguientes probabilidades binomiales:

a] \(b(2,7,0.4) = P( X = 2 )\)

b] \(B(4,4,0.9)= P( X \le 4 )\)

c] Generar una muestra aleatoria con 20 de valores de una distribución Binomial de parámetros n = 10 y prob = 0.6

d] Calcular el valor de la variable tal que deja a su derecha el 32% de las observaciones con parámetros n = 30 y prob = 0.03

e] \(P( 2 \le X )\), cuando \(n = 11\), \(p = 0.5\) y si \(X\) toma sólo valores no negativos.

Sol. Haz click aquí.

La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad estomacal es \(0.8\). Suponga que se sabe que 20 personas han contraído la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que

a] exactamente 14 se recuperen?,

b] al menos 10 se recuperen?,

c] al menos 14 pero no más de 18 se recuperen?,

d] a lo sumo 16 se recuperen?,

e] modele las gráficas de la función masa de probabilidad y de la función de distribución de la variable X.

Una semilla tiene un porcentaje de germinación del \(83\%\). Si se siembran 12 semillas. ¿Cuál es la probabilidad de que germinen

a] todas?,

b] 10?,

c] a lo sumo 2?,

d] al menos 10?

En una moneda no falsa es lanzada 10 veces. Considere el evento “cara” como un éxito y “sello” como un fracaso, determina la probabilidad de

a] tener éxito exactamente 7 veces.

b] tener a lo más 7 éxito.

c] tener por lo menos 3 éxitos.

d] ningun éxito.