Distribuciones
Villegas Figueroa Valeria Maribel
12 de agosto de 2019
Gamma transformada
dtrgamma(x, shape1, shape2, rate = 1, scale = 1/rate, log = FALSE)
\[f_X(x|\alpha,\tau,\theta) = \frac{\tau u^{\alpha}e^{-u}}{x\Gamma(\alpha)},\ u = (x/\theta)^{\tau}\]
\(x>0\), \(\alpha,\tau,\theta\in\mathbb{R}_+\)
shape1= \(\alpha\)shape2= \(\tau\)scale= \(\theta\)
La Gamma transformada es la distribución de la variable aleatoria \(\theta X^{1/\tau}\), donde \(X\) tiene distribución Gamma con parámetro de forma \(\alpha\) y parámetro de escala de 1. Equivalentemente, de la variable aleatoria \(Y^{1/tau}\) con \(Y\) una variable aleatoria con distribución Gamma con parámetro de forma \(\alpha\) y parámetro de escala \(\theta^{\theta}\).
- La distribución Gamma es un caso particular con \(\tau = 1\).
- La distribución Weibull es un caso particular con \(\alpha = 1\).
- La distribución Exponencial es un caso particular con \(\alpha = 1 = \tau\).
Log-Normal
\[f_X(x|\mu,\sigma ) = \frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi}}\exp[\frac{-(ln(x)-\mu)^2}{2\sigma ^2}], x>0.\]
\[\mu \in \mathbb{R} (scale), \sigma>0 (sape)\]
Si \(x\sim N(\mu,\sigma)\), entonces \(\exp{x}\sim lognormal(\mu,\sigma)\) 
Burr
Esta es un caso particular de la distribución Beta Transformada con \(\tau = 1\)
\[f_X(x|\alpha,\gamma,\theta)=\frac{\alpha\gamma(x/\theta)^{\gamma}}{x[1+(x/\theta)^{\gamma}]^{\alpha+1}}, x>0\] con \(\alpha,\gamma,\theta\in\mathbb{R}_+\).
Burr inversa
Esta es un caso particular de la distribución Beta Transformada con \(\alpha = 1\).
\[f_X(x|\gamma,\tau,\theta)=\frac{\tau\gamma(x/\theta)^{\gamma\tau}}{x[1+(x/\theta)^{\gamma}]^{\tau+1}}, x>0\]
con \(\gamma,\tau,\theta\in\mathbb{R}_+\).
ParalogÃstica
Esta es un caso particular de la distribución Beta Transformada con \(\tau = 1\) y \(\alpha = \gamma\).
\[f_X(x|\alpha,\theta)=\frac{\alpha^2(x/\theta)^{\alpha}}{x[1+(x/\theta)^{\alpha}]^{\alpha+1}}, x>0\]
ParalogÃstica inversa
Esta es un caso particular de la distribución Beta Transformada con \(\alpha = 1\) y \(\gamma = \tau\).
\[f_X(x|\tau,\theta)=\frac{\tau^2(x/\theta)^{\tau^2}}{x[1+(x/\theta)^{\tau}]^{1+\tau}}, x>0\]
## Pareto
Esta es un caso particular de la distribución Beta Transformada con \(\gamma = \tau = 1\).
\[f_X(x|\alpha,\theta)=\frac{\alpha(x/\theta)}{x[1+(x/\theta)]^{\alpha+1}}, x>0\]
Pareto Generalizada
Esta es un caso particular de la distribución Beta Transformada con \(\gamma = 1\).
\[f_X(x|\alpha,\tau,\theta)=\frac{\Gamma(\alpha+\tau)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\tau)}\frac{(x/\theta)^{\tau}}{x[1+(x/\theta)]^{\alpha+\tau}}, x>0\]
Pareto inversa
Esta es un caso particular de la distribución Beta Transformada con \(\alpha = \gamma = 1\).
\[f_X(x|\tau,\theta)=\frac{\tau(x/\theta)^{\tau}}{x[1+(x/\theta)]^{\tau+1}}, x>0\] 