이번 글에서 살펴볼 내용은 아래와 같다:
즉, 아래의 공식이 이해가 안 되는 사람들을 위한 글이다:
\[ lnS_T \sim \mathrm{N}(lnS_0 + (\mu - \sigma^2/2)T, \sigma^2T) \\ \Rightarrow\\ E(S_T) = S_0e^{\mu T} \\ Var(S_T) = S_0^2e^{2 \mu T}(e^{\sigma^2 T} -1) \]
관련된 내용은 Hull 파생상품 8판의 301쪽, 14.4와 14.5 공식이다.
사실 책에서도 공식을 자세히 살펴보기 위한 부록을 제공하고 있다. 부록: Properties of Lognormal Distribution
하지만 수학 기반이 딸리면 조금 불친절하게 느낄 수 있어 도움이 필요한 사람은 이 글을 참조하면 되겠다.
다음 내용은 이미 알고 있다고 전제한다:
\[ lnS_T \sim \mathrm{N}(lnS_0 + (\mu - \sigma^2/2)T, \sigma^2T) \]
서론이 길었다. 바로 시작해보도록 하자.
다음과 같은 정규분포를 따르는 확률변수 X가 있다. V는 로그노말 분포를 따른다.
→ 즉 V의 로그를 씌운 값(X)가 정규분포를 따른다. \[
X = ln(V), \ X \sim \mathrm{N}(m, s^2)
\]
정규분포의 확률밀도함수(이하 pdf)는 정의에 따라 아래와 같다.
\[ f(x): probability \ density \ function \ of \ X \\ f(x) = \frac{1}{\sqrt {2\pi}}*exp[\frac{(x-\mu)^2}{-2s^2}] \]
\[ v = u(x) \\ x = w(y) \\ (u, v: 1 \ to \ 1 \ corresponding function) \\ \Rightarrow \\ h(v) = f[w(v)]*|J| \\ s.t.\\ f(x): \ pdf \ of \ X \\ h(v): \ pdf \ of \ V \\ J: \ Jacobian \ Matrix \\ where \ J = \frac{d}{dv}w(v) \]
3.2 위의 내용을 우리의 상황에 적용시킨다면, 아래와 같이 표현된다.
\[ v = u(x) = e^x \\ x = w(v) = lnv \\ \Rightarrow \ h(v) = f[w(v)]*|J| = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma v}exp[\frac{(lnv-\mu)^2}{-2s^2}] \\ (J = |J| = \frac{1}{v}) \]
\[ <moment \ generating \ function> \\ M_V(t) = E(e^{vt}) \]
4.3. mgf의 성질에 의해, n차 적률은 다음과 같이 구할 수 있다.
\[ <n^{th} moment>\\ \frac{d^n}{dt^n}M_V(t)|_{t=0} = E(V^n) \]
4.4. 이에 따라 주어진 공식을 이미 구한 pdf h(v)에 대입하면 아래와 같은 식이 성립한다.
\[ \int_0^\infty V^nh(v)dv \]
4.5 여기서 v = e^x이므로, 치환을 한다. 범위가 변하는 것에 주의한다. (x는 전범위, v는 로그이므로 양수)
+ 치환적분시 dv → dx 로 변하는 부분에서 주의한다.
\[ \int_0^\infty v^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}s v} exp[\frac{(lnv-m)^2}{-2s^2}]dv \\ = \int_{-\infty}^\infty exp(nx) \frac{1}{\sqrt{2\pi}s} exp[\frac{(x-m)^2}{-2s^2}]dx \]
4.6 여기서 조금 노가다 계산을 해줘야 한다. 이 부분은 각자 해보길 바란다. 그러면 아래와 같이 식이 정리된다.
\[ exp(nm + \frac{n^2s^2}{2}) \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}s} exp[\frac{(x-m-ns^2)^2}{-2s^2}]dx \]
4.7 그런데 위 식에서 적분기호가 씌워진 부분을 확인해보자. 이는 곧 1이 된다.
\[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}s} exp[\frac{(x-m-ns^2)^2}{-2s^2}]dx \\ \Rightarrow integral \ of \ pdf \ of \ X \sim \mathrm N(m+ns^2, s^2) \ \Rightarrow 1 \]
4.8 따라서 위 식은 두 번째 항이 사라져 아래처럼 정리가 된다. 이는 곧 V의 n차 적률을 구한 것이다.
\[ \Rightarrow E(V^n) = exp(nm + \frac{n^2s^2}{2}) \]
5.2 2차적률 (제곱의 평균): 4.8에서 도출된 식에서 n = 2를 대입한다. \[ E(V^2) = exp(2m + 2s^2) \]
5.3 분산 \[ E(V^2) - {E(V)}^2 = Var(V) \]
\[ lnS_T \sim \mathrm{N}(lnS_0 + (\mu - \sigma^2/2)T, \sigma^2T) \] 그렇다면 \[ m = ln(S_0) + (\mu - \sigma^2/2)T \\ and \\ s = \sigma\sqrt{T} \]
6.1 위 식을 V의 평균과 분산 값에 대입하면 아래의 값이 나온다.(결론)
\[ E(V) = E(S_T) = S_0e^{\mu T} \\ Var(V) = Var(S_T) = S_0^2e^{2\mu T}(e^{\sigma^2 T} -1) \]