Análise Fatorial - Avaliação da relação entre o Índice de Sítio (IS) para araucaria angustifolia e características ambientais.

O primeiro passo de uma Análise Fatorial, consiste na computação da matriz de correlação para as variáveis originais que serão possivelmente transformadas em fatores. Observa-se na Figura 2, as correlaçoes entre as características ambientais dos sítios para araucaria angustifolia.

Figura 2: Correlação entre as Variáveis AlturaDominante, ClasseSitio, Longitude, Precipitacao, Al2O3_A, Fe2O3_A, Fe2O3_B, Ki_A, Ki_B, Kr_A, Kr_B, Silte_A e Silte_B, dos Sítios para Araucaria Angustifolia.

O Teste de Bartlett avalia a hipótese de que a matriz de correlação pode ser a matriz identidade com determinante igual a 1 (Fávero et al., 2009). Logo, avalia se os componentes fora da diagonal principal são zero. Um resultado estatisticamente significativo indica a rejeição da hipótese nula, o que leva a concluir a existência de alguma relação entre as variáveis.

Bartlett.sphericity.test <- function(x)
{
  method <- "Teste de esfericidade de Bartlett"
  data.name <- deparse(substitute(x))
  x <- subset(x, complete.cases(x)) 
  n <- nrow(x)
  p <- ncol(x)
  chisq <- (1-n+(2*p+5)/6)*log(det(cor(x)))
  df <- p*(p-1)/2
  p.value <- pchisq(chisq, df, lower.tail=FALSE)
  names(chisq) <- "X-squared"
  names(df) <- "df"
  return(structure(list(statistic=chisq, parameter=df, p.value=p.value,
                        method=method, data.name = "sitio"), class="htest"))
}
Bartlett.sphericity.test(sitio[,c(5, 7, 11, 13:18, 22, 23, 26, 27)])

Supondo que as variáveis apresentam normalidade multivariada e fixando um nível de significância (alpha = 0,01), pode-se observar que, como o p-valor do Teste de Esfericidade de Bartlett é menor que alpha, ou seja, 0,001 < 0,01, rejeita-se H0. Portanto, existem algumas relações entre as variáveis, com confiança de 99% (Tabela 3).

Tabela 3: Teste de Esfericidade de Bartlett para a Matriz de Correlação das Características de Solo dos Sítios de Araucaria Angustifolia.

O Teste KMO, neste caso, tem a finalidade de avaliar a adequação da dimensão dos dados para a utilização da Análise Fatorial. Varia entre 0 e 1, onde: de 0, a < 0,5 indica inaceitável adequação para utilizar Análise Fatorial, de 0,5 a < 0,6 indica má, de 0,6 a < 0,7 razoável, de 0,7 a < 0,8 média, de 0,8 a < 0,9 indica boa e de 0,9 a < 1,0 indica ótima adequação para utilizar a Análise Fatorial.

Assim como o KMO, a Medida de Adequação da Amostra (MAA) para cada variável é calculada e interpretada de forma simililar à estatística KMO. Segundo HAIR et al. (2005), as variáveis com valores de MAA fora do domínio aceitável, devem ser excluídas da Análise.

Verifica-se abaixo, que as variáveis Longitude, Precipitacao, Fe2O3_B, Ki_A e Silte_A não devem ser incluídas na Análise Fatorial, pois seus valores MAA estão abaixo do domínio razoável de adequação.

##       Longitude    Precipitacao         Al2O3_A         Fe2O3_A 
##            0.40            0.35            0.72            0.73 
##         Fe2O3_B            Ki_A            Ki_B            Kr_A 
##            0.51            0.59            0.63            0.63 
##            Kr_B         Silte_A         Silte_B AlturaDominante 
##            0.64            0.52            0.66            0.74 
##     ClasseSitio 
##            0.63

Considerando apenas as variáveis Al2O3_A, Fe2O3_A, Ki_B, Kr_A, Kr_B, Silte_B, AlturaDominante e ClasseSitio, o valor da estatística do Teste KMO é igual à 0,61, assim, hà evidências de que a utilização da técnica Análise Fatorial é adequadamente razoável.

## [1] 0.61

Pode-se verificar na Tabela 4, que os 3 primeiros fatores respondem por aproximadamente 88% da variância total dos dados e apresentam variâncias maiores que 1.

A comunalidade expressa o quanto da variabilidade de cada variável é explicada pelo modelo. Identifica-se que a menor comunalidade é 0,75, dessa forma, os fatores comuns explicam boa parte da variância (Tabela 4).

Tabela 4: Comunalidades e fatores iniciais, extraídos pelo Método do Componente Principal.

Além da proporção de variação retida dos PCs, o número de componentes a reter é 3, pois a curva vai se estabilizando a partir desse valor (Figura 3).

Figura 3: Escarpa para os dados dos Sítios de Araucaria Angustifolia.

Dessa forma, a análise fatorial será baseada em 3 fatores:

k <- 3
carga.F <- acp$rotation[, 1:k] %*% diag(acp$sdev[1:k])
colnames(carga.F) <- paste("Fator", 1:k, sep = " ")
round(carga.F, digits = 4)

##                 Fator 1 Fator 2 Fator 3
## Al2O3_A         -0.6276  0.0291  0.6327
## Fe2O3_A         -0.6521  0.0730  0.6658
## Ki_B             0.7339  0.5160  0.4045
## Kr_A             0.8558  0.4190  0.0831
## Kr_B             0.8717  0.4052  0.2318
## Silte_B          0.2750 -0.6856  0.4500
## AlturaDominante -0.7668  0.5348 -0.1346
## ClasseSitio     -0.7798  0.5464 -0.0439

Pode-se identificar na Figura 4, que o Fator 1 abriga as variáveis relacionadas com a parte química do solo (Ki_B e Kr A e B). O Fator 2 é contribuído com as variáveis AlturaDominante e ClasseSitio. Já o Fator 3 envolve as variáveis relacionadas com a minerologia do solo (Al2O3_A e Fe2O3_A). Porém, apesar da variável Silte_B ser mais propensa ao Fator 3, a sua carga é baixa, comparada com a carga do Fator para as outras 2 variáveis.

carga.F2 <- varimax(carga.F)
round(carga.F2$loadings[,1:3], digits = 4)

##                 Fator 1 Fator 2 Fator 3
## Al2O3_A         -0.1839  0.0896  0.8679
## Fe2O3_A         -0.1623  0.1240  0.9122
## Ki_B             0.9802 -0.0883 -0.0017
## Kr_A             0.8855 -0.1054 -0.3457
## Kr_B             0.9452 -0.1788 -0.2291
## Silte_B         -0.0451 -0.8440  0.1838
## AlturaDominante -0.2716  0.8424  0.3298
## ClasseSitio     -0.2393  0.8243  0.4144

Figura 4: Relação entre as Variáveis e os Fatores Após a Rotação Varimax.