Apuntes 2.º Bachillerato

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Una vez explicada la forma matricial de un sistema, es importante recalcar la interpretación geométrica de las ecuaciones que forman nuestro sistema. Recordar, que en un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas, no son más que dos rectas, que pueden:

• Ser secantes, es decir, cortarse en un punto. En este caso el sistema es Compatible Determinado (S.C.D)
• Ser coincidentes. En este caso el sistema es Compatible Indeterminado (S.C.I), pues existen infinitas soluciones.
• Ser paralelas, es decir, no cortarse en ningún punto. En este caso el sistema es Incompatible (S.I).

Ejemplo. Sea el sistema: \[\begin{pmatrix} 1&-2 \\ 2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Si lo resolvemos, obtenemos por solución:

## x1    =  2 
##   x2  =  3

Si además, dibujamos las ecuaciones, observamos que son dos rectas secantes que se cortan en un punto:

y por tanto el sistema es Compatible Determinado.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Si estamos ante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se incorpora una nueva incógnita, y por tanto, ya no hablamos de rectas, sino de planos.

En primer lugar, sabemos que a partir de los rangos de la matriz original y la matriz ampliada, podemos saber si el sistema tiene una única solución (S.C.D), tiene infinitas (S.C.I) o no tiene solución (S.I).

Sea \(A\), la matriz de coeficientes, \(A'\) la matriz ampliada, \(n\) el número de incógnitas y, \(r\) y \(r'\) los rangos de la matriz \(A\) y la matriz \(A'\) respectivamente. Entonces,

• Si \(r=r'\) y \(r=n\) , entonces el sistema es Compatible Determinado.
• Si \(r=r'\) y \(r<n\) , entonces el sistema es Compatible Indeterminado.
• Si \(r \neq n\) , entonces el sistema es Incompatible.

La interpretación geométrica de tres ecuaciones con tres incógnitas, presenta más variantes que la anterior; pues al tratarse de tres planos, las combinaciones posibles aumentan. Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo 1. Sea el sistema: \[\begin{pmatrix} 1&-3&4 \\ 3&1&-1\\ 2&-1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ -18 \\ 12 \end{pmatrix} \]

En primer lugar, calculamos el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada, y se obtiene:

que el \(Rango(A) =\) 3, y \(Rango(A')=\) 3. Como son iguales, y además es igual al número de incógnitas, el sistema es Compatible Determinado, y por tanto los tres planos se cortarán en un punto, que es la solución del sistema:

## x1      =  -4 
##   x2    =   1 
##     x3  =   7

Ejemplo 2. Sea el sistema: \[\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ -18 \\ 12 \end{pmatrix} \]

En primer lugar, calculamos el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada, y se obtiene:

que el \(Rango(A) =\) 1, y \(Rango(A')=\) 2. Como son diferentes, el sistema es Incompatible, y por tanto los tres planos pueden ser los tres paralelos entre sí, o puede haber dos planos coincidentes paralaleos al restante. Veámoslo:

## x1 + x2 + x3  =  -2 
##            0  =   6 
##            0  =   0

Por tanto, esto nos indica que dos de los planos son coincidentes, y son paralelos al tercero.

Primitivas e integral indefinida.

Definición: Sea \(f(x)\) una función real de variable real. Llamamos primitiva de \(f(x)\) a la función \(F(x)\) tal que su derivada es igual a la función \(f(x)\). Es decir, a la función \(F(x)\) que cumple: \[F'(x)=f(x)\]

Ejemplo: La función \(F(x)= x^3 +2x-1\) es una primitiva de \(f(x)=3x^2+2\), ya que \(F'(x)=f(x)\).

Definición: La integral indefinida de una función \(f(x)\) es el conjunto de todas sus primitivas. Se denota por: \[ \int f(x) dx .\] Por tanto, si \(F(x)\) es una primitiva de \(f(x)\), entonces:

\[\int f(x) dx= F(x) + C \] siendo \(C \in \mathbb{R}\), la constante de integración.

Integral definida. Regla de Barrow.

Definición: La integral definida de una función \(f(x)\) continua en un intervalo [a,b], es igual al área entre la curva \(f(x)\), las rectas \(x=a\) y \(x=b\), y el eje de abcisas, \(y=0\). Lo denotamos por: \[ \int_{a}^b f(x) dx \] Los valores \(a\) y \(b\) son los límites de integración.

Sabemos que para calcular el área bajo una curva, debemos calcular la integral, y en este caso se hará entre los valores \(a\) y \(b\), aplicando la regla de Barrow.

Regla de Barrow: Sea \(f(x)\) una función continua, definida en un intervalo [a,b], y \(F(x)\) una primitiva de \(f(x)\), entonces: \[ \int_{a}^b f(x) dx = F(x) ]^b_a =F(b)-F(a)\] Ejemplo: Sea \(f(x)=x^2+3\). Calcula el área entre la curva \(f(x)\), el eje de abcisas, y la rectas \(x=-2\) y \(x=2\).

En primer lugar, la función \(f(x)\) es continua en el intervalo [-2,2] por ser una función polinómica. Entonces queremos calcular el área que encierra la parábola junto con dos rectas verticales y el eje de abcisas, es decir:

Para ello, aplicamos la regla de Barrow, y se obtiene el valor:

## expression(52/3)

Es decir, \[\int_{-2}^2 (x^2+3)dx = \frac{52}{3} \, u^2\] que será el valor del área buscada.