Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Una vez explicada la forma matricial de un sistema, es importante recalcar la interpretación geométrica de las ecuaciones que forman nuestro sistema. Recordar, que en un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas, no son más que dos rectas, que pueden:

• Ser secantes, es decir, cortarse en un punto. Por tanto, el sistema es Compatible Determinado (S.C.D)

• Ser coincidentes. Por tanto, el sistema es Compatible Indeterminado (S.C.I), pues existen infinitas soluciones.

• Ser paralelas, es decir, no cortarse en ningún punto. Por tanto, el sistema es Incompatible (S.I).

Ejemplo. Sea el sistema: \[\begin{pmatrix} 1&-2 \\ 2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Si lo resolvemos, obtenemos por solución:

## x1    =  2 
##   x2  =  3

Si además, dibujamos las ecuaciones, observamos que son dos rectas secantes que se cortan en un punto:

y por tanto el sistema es Compatible Determinado.

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Si estamos ante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se incorpora una nueva incógnita, y por tanto, ya no hablamos de rectas, sino de planos.

En primer lugar, sabemos que a partir de los rangos de la matriz original y la matriz ampliada, podemos saber si el sistema tiene una única solución (S.C.D), tiene infinitas (S.C.I) o no tiene solución (S.I).

Sea \(A\), la matriz de coeficientes, \(A'\) la matriz ampliada, \(n\) el número de incógnitas y, \(r\) y \(r'\) los rangos de la matriz \(A\) y la matriz \(A'\) respectivamente. Entonces,

• Si \(r=r'\) y \(r=n\) , entonces el sistema es Compatible Determinado.
• Si \(r=r'\) y \(r<n\) , entonces el sistema es Compatible Indeterminado.
• Si \(r \neq n\) , entonces el sistema es Incompatible.

La interpretación geométrica de tres ecuaciones con tres incógnitas, presenta más variantes que la anterior; pues al tratarse de tres planos, las combinaciones posibles aumentan. Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo 1. Sea el sistema: \[\begin{pmatrix} 1&-3&4 \\ 3&1&-1\\ 2&-1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ -18 \\ 12 \end{pmatrix} \]

En primer lugar, calculamos el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada, y se obtiene,

que el \(Rango(A) =\) 3, y \(Rango(A')=\) 3.

Como son iguales, y además es igual al número de incógnitas, el sistema es Compatible Determinado, y por tanto los tres planos se cortarán en un punto, que es la solución del sistema:

Tres planos que se cortan en un punto