Ejercicios 4.º ESO- Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas

Ejercicio-Álgebra

1. Encuentra las raíces de los siguientes polinomios y factoriza:

• \(p_1(x)= x^3+2x^2-x-2\),
• \(p_2(x)= 2x^3+x^2-18x-9\),
• \(p_3(x)= x^2 - \frac{13}{4}x-3\) .

Solución:
Para encontrar las raíces de un polinomio \(p(x)\), se iguala a cero, es decir \(p(x)=0\) y se resuelve la ecuación. Por tanto, una vez obtenidas las raíces, podemos escribir el polinomio con factores del tipo \((x-a)\), siendo \(a\) una raíz.

• \(p_1(x)= x^3+2x^2-x-2\)

library(polynom)
p1=polynomial(coef=c(-2,-1,2,1))
raices_p1=solve(p1)

Por tanto, las raíces de \(p_1(x)\) son : -2, -1, 1.

Y la factorización será: \[ p_1(x)= (x+2)(x+1)(x-1)\]

2. Comprueba gráficamente que las raíces encontradas, lo son.

Solución: Para comprobar gráficamente, dibujamos el polinomio, y donde corte con el eje X, debe de coincidir con el valor de las raíces:

plot(p1)
abline(h=0,lty=2,col="red") #Marcar el eje X

Vemos como el polinomio corta al eje en los puntos \(x=-2, x=-1\) y \(x=1\). Por tanto, queda comprobado.

3. Los valores \(x=3\), \(x=-1\) y \(x=12\), ¿son raíces del polinomio \(p(x)=3x^4-2x^3+12x-100\)?

Solución: Para saber si un valor es raíz de un polinomio, sustituimos dicho valor en el polinomio, y si el resultado es igual 0, es raíz:

p=polynomial(coef=c(-100,12,0,-2,3))
predict(p, c(3,-1,12))

## [1]   125  -107 58796

Ningún valor es 0, por tanto no son raíces del polinomio.

Ejercicio - Estadística y probabilidad

La profesora de lengua castellana ha contabilizado las faltas de sus alumnos en un examen, y ha obtenido los siguientes resultados:

3, 4, 5, 1, 0, 2, 4, 3, 6, 3, 4, 5, 2, 6, 4, 3, 5, 4, 5, 2, 1, 0, 1, 1, 5, 6, 4

1. Represéntalos con el gráfico adecuado .

Solución: Como se trata de una variable cuantitativa discreta, podemos representarla con un diagrama de barras:

barplot(table(faltas_ortografia),main="Diagrama de barras")

2. ¿Qué porcentaje de alumnos ha hecho 4 faltas de ortografía?

Solución: Para saberlo, se necesita la tabla de frecuencias relativas y multiplicarla por 100 para obtener el porcentaje:

prop.table(table(faltas_ortografia))

## faltas_ortografia
##          0          1          2          3          4          5 
## 0.07407407 0.14814815 0.11111111 0.14814815 0.22222222 0.18518519 
##          6 
## 0.11111111

Si miramos la columna que indica que el número de faltas es 4, deducimos que el porcentaje es del 22,2%.

3. ¿Cuántos alumnos han hecho 5 faltas o más?¿Cuál es el número de faltas más frecuente?

Solución: Para saberlo, se necesita la tabla de frecuencias absolutas:

table(faltas_ortografia)

## faltas_ortografia
## 0 1 2 3 4 5 6 
## 2 4 3 4 6 5 3

Por lo tanto, 5 faltas o más son los alumnos que han hecho 5 faltas y 6 faltas. En este caso, hay 5 alumnos que han hecho 5 faltas, y 3 alumnos que han hecho 6 faltas, por tanto 8 alumnos han hecho 5 faltas de ortografía o más. Para saber el número de faltas más frecuente, tan solo tenemos que buscar la frecuencia absoluta más grande,es decir, la que se corresponde con 4 faltas.

4. Calcula las medidas de centralización y dispersión, escribiendo sus fórmulas. Solución:

Medidas de centralización

• Media,que es igual a \(\bar{x}= \sum \frac{x_i f_i}{N}\). La calculamos y obtenemos que la media, \(\bar{x}\) es 3.2962963 faltas.

• Mediana, obtenemos que Me= 4 faltas.

• Moda, ya la hemos calculado en el ejercicio anterior y es 6.

Medidas de dispersión

• Rango,que es igual \(R= Valor_{màx} - Valor_{mín}\)

Lo calculamos,

range(faltas_ortografia)

## [1] 0 6

Por tanto, el rango es \(Rango=6-0=6\).

• Varianza y desviación típica, cuyas fórmulas son:

  \[ Var= \sigma^2= \frac{\sum (x_i)^2 f_i}{N} - {\bar{x}}^2\] \[ \sigma= \sqrt{Var}=\sqrt{\frac{\sum (x_i)^2 f_i}{N} - {\bar{x}}^2}\] Para calcularlas,

varianza=var(faltas_ortografia)
desv.tipica=sd(faltas_ortografia)

Y obtenemos, que la varianza, \(\sigma^2\) = 3.3703704, y que la desviación típica, \(\sigma\) = 1.8358568 .