Vector score
Jessica Nathaly Pulzara Mora
7 de junio de 2019
Definición de vector score
El vector score es el gradiente (es decir, el vector de las primeras derivadas) de una función.
Derivada
Sabemos que la derivada de una función de una variable en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Esto significa que sabemos la rapidez de crecimiento/decrecimiento de la función en ese punto.
Pendiete en un punto de la recta tangente a la curva
Para hallar la Pendiente en un punto de la recta tangente a la curva \(160x-16x^2\) cuando x=5 y x=2 se aplica la primera derivada a la función y se evalua en el punto.
Forma analitica
Para \(x = 2\) \[f'(x)= \frac{d(160x-16x^2)}{dx}\Big |_{x=2} = 160-2(16)x\Big |_{x=2} = 160-2(16)(2) = 96\] Para \(x = 5\) \[f'(x)= \frac{d(160x-16x^2)}{dx}\Big |_{x=2} = 160-2(16)x\Big |_{x=5} = 160-2(16)(5) = 0\]
Forma computacional
Vector score
Podemos hacer uso de la función grad() en R para encontrar las derivadas.
funcion1 <- function(x){160*x-16*x^2}
library(numDeriv)
grad(funcion1,2) # para x= 2[1] 96
grad(funcion1,5) # para x= 5[1] -1.418439e-09
Con lo cual
\[f'(x)= \frac{d(160x-16x^2)}{dx}\Big |_{x=2} =96 \] \[f'(x)= \frac{d(160x-16x^2)}{dx}\Big |_{x=5} = -1.418439 e^{-09} \approx 0 \] A continuación se ilustran los resultados obtenidos.
Dos dimensiones
Las derivadas parciales nos indican la pendiente de una recta concreta tangente a la superficie.
Sea \(f(x,y)=4-x^2-2y^2\) queremos el valor de la pendiente de la recta tangente a la superficie en el punto \(P=(1,1,f(1,1))\).
Para esto determinaremos \(f_x(1,1)\) y \(f_y(1,1)\), es decir calculamos del vector gradiente
funcion1 <- function(x){
x[3] = 4-x[1]^2-2*x[2]^2 # x[1] = x, x[2] = y, x[3] = z
}
library(numDeriv)
grad(funcion1,c(1,1)) # x=1, y=1[1] -2 -4
Haciendo los cálculos en \(R\) se tiene que \(f_x(1,1)=-2\) y \(f_y(1,1)=-4\), es decir \(\nabla{f(1,1)} = (-2,-4)\)
