Identidades vetoriais em termos de componentes

Fernando Deeke Sasse CCT - UDESC

---

Para uma revisão da notação de índices no cálculo vetorial, usada na construção das identidades a seguir, veja Cálculo Vetorial for the Practical Man do Prof. Henrique Fleming (USP).

1. Produto escalar

Se \[ \mathbf{A}=(A^1,A^2,A^3)=(A_1,A_2,A_3),\qquad\mathbf{B}=(B^1,B^2,B^3)=(B_1,B_2,B_3), \] então produto escalar entre estes vetores pode ser escritos como \[\begin{equation} \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=\sum_{i=1}^3 A_i A^i\equiv A_i A^i. \end{equation}\] A notação que omite o símbolo de somatório dos índices repetidos j e k é denominadada convenção de Einstein. Em tal convenção, sempre que índices aparecerem repetidos, é subentendido um somatório nestes índices. A conveniência de representar índices repetidos em alturas diferentes se deve ao fato de podermos checar rapidamente a correção dos índices na expressão.

2. Produto vetorial

Definimos o símbolo totalmente antissimétrico de três índices: \[ \epsilon_{ijk}=\epsilon_{[ijk]},\qquad \epsilon_{123}=1, \] sendo que os colchetes nos índices denotam antissimetria na permutação de todos os índices. Ou seja, uma troca de quaisquer dois índices implica numa troca de sinal. Notemos que permutações cíclicas não mudam o sinal do símbolo: \[ \epsilon_{ijk}=\epsilon_{kij}=\epsilon_{jki}, \] uma vez que ela implicam em duas permutações de índices. Uma grande utilidade deste é símbolo é que com ele podemos expressar o produto vetorial entre dois vetores A e B , em termos de componentes, da seguinte forma: \[ (\mathbf{A} \times \mathbf{B})_i=\sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk}A^j B^k\equiv \epsilon_{ijk} A^j B^k\,. \]

3. Exemplos

1 . Expanda \[\nabla^2(\phi \psi).\] Solução:
Podemos reescrever esta expressão como \[\begin{eqnarray} \nabla^2(\phi \psi)&=&\nabla \cdot \nabla (\phi \psi)=\partial_i\partial^i(\phi \psi)\\ &=&\partial_i(\psi\partial^i\phi+\phi\partial^i\psi)\\ &=&\partial_i\psi \partial^i\phi+\psi \partial_i \partial^i\phi+ \partial_i\phi \partial^i\psi+\psi \partial_i \partial^i\psi\\ &=&\nabla^2\psi+\nabla^2\phi+2\nabla\phi \cdot \nabla \psi. \end{eqnarray}\] 2 . Expanda \[\nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}).\] Solução:
Usando notação indicial podemos reescrever a expressão acima como \[\begin{eqnarray} \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})&=&\partial^i \epsilon_{ijk}A^jB^k\\ &=&\epsilon_{ijk}(\partial^i A^j)B^k+\epsilon_{ijk}(\partial^i B^k)B^j\,. \end{eqnarray}\] Fazendo uma permutação cíclica no primeiro termo e a troca dos índices j e k no segundo, obtemos \[\begin{eqnarray} \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})&=&\epsilon_{kij}(\partial^i A^j)B^k-\epsilon_{jik}(\partial^i B^k)B^j\\ &=&(\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathbf{B}-(\nabla \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{A}\,. \end{eqnarray}\]

3 . Se \(\phi\) é um campo escalar e \(\mathbf{F}\) é um campo vetorial, expanda \[\nabla \times (\phi \mathbf{F}).\] Solução:
A componente \(i\) deste vetor é dada por \[\begin{eqnarray} \left[\nabla \times (\phi \mathbf{F})\right]_i&=&\epsilon_{ijk}\partial^j(\phi F^k) \\ &=&\epsilon_{ijk}(\partial^j\phi)F^k+\phi\epsilon_{ijk}\partial^jF^k\\ &=&(\nabla \phi\times \mathbf{F})_i+(\phi \nabla \times \mathbf{F})_i\,. \end{eqnarray}\] Portanto, \[ \nabla \times (\phi \mathbf{F})=\nabla \phi\times \mathbf{F}+\phi \nabla \times \mathbf{F}\,. \]