Diseño de factorial a dos niveles

Basicamente buscamos analizar el maximo numero de factores con el mimo de datos , por ejemplo analizar valores como temperatura alta o termparatura baja, voltaje 1 o vojtaje 2, potencia p1 o p2 entonces este tipo de disños busca reducir el coste del experimiento

Diseño \({2^k}\): para el caso de nuestro laboratorio veremos la geometria de un cubo donde Diseño \({k=3}\):

Nuestras variables basicamente se representan en los nivels de los tres factores

Sabemos que representamos los factores con valores desde [-,+] para los factores

• FactorA (Gap)
  
• FactorB (Flow)
• FactorC (Power)

por consiguiete para construir el cubo definiremos nuestra matriz con los vertices que representan los valores que se utilizaran para generar cada cara del cubo

	A	B	C	Vertice
1	-	-	-	I
2	+	-	-	a
3	-	+	-	b
4	+	+	-	ab
5	-	-	+	c
6	+	-	+	ac
7	-	+	+	bc
8	+	+	+	abc

Ahora bien sabemos que existen por combinacion 7 posibles grados de libertad , esto implica que tendremos las siguiente posibilidades

• 2 Dos factores constantes 1 factor cambiante:

  bajo esta estructura cada factor FACTOR (A,B,C) afectra las caras positivas(+) y Negativas (-) adjacentes al su lado(EDGE) esto quiere decir que tenemos 3 posibles formas de representar el efecto de un factor

• 1 factor constante 2 factores cambiantes:

  bajo esta configuración vemos que podemos tambien afectar otras 3 posibles estructuras (los planos que afecten los vertices de los factores dinamicos o cambiantes) … recordemos que cada factor solo puede tener dos posibles valores (positivos y negativos)

• 0 factores constantes 3 factores cambiantes

  Por ultimo en esta configuración vemos sabemos que los factores pueden afectar cualqueir vertice del cubo

Ahora bien sabemos que los edges se forman de la diferencia entre la parte alta menos la parte baja de un factor asi podemos definir la diferencia del factor como la diferencia entre ellos, la siguiente tabla muestra muestra los efectos en el cubo en realación a los signos \({2^k}\)

Efecto factorial: Note que 2 factores fijos y 1 cambiante se representa por (A,B,C), para 2 factores dinamicos(AB,AC, BC) por ultimo (ABC) los tres son dinamicos|

combinacion	A	B	AB	C	AC	BC	ABC
I	-	-	+	-	+	+	-
a	+	-	-	-	-	+	+
b	-	+	-	-	+	-	+
ab	+	+	+	-	-	-	-
c	-	-	+	+	-	-	+
ac	+	-	-	+	+	-	-
bc	-	+	-	+	-	+	-
abc	+	+	+	+	+	+	+

combinacion I=1, n=2	2*Beta	Beta
\[A=\frac{1}{4n}[a+ab+ac+abc-I-b-c-bc]\]	-75.125	-37.56
\[B=\frac{1}{4n}[b+ab+bc+abc-I-a-c-ac]\]	9.215	4.60
\[AB=\frac{1}{4n}[ab-a-b+I+abc-bc-ac+c]\]	-25.875	-12.93
\[C=\frac{1}{4n}[c+ac+bc+abc-I-a-b-ab]\]	307.625	153.81
\[AC=\frac{1}{4n}[I-a+b-ab-c+ac-bc+abc]\]	-153.875	-76.93
\[BC=\frac{1}{4n}[I+a-b-ab-c-ac-bc+abc]\]	-28.62	-14.31
\[ABC=\frac{1}{4n}[abc-bc-ac+c-ab+b+a-I]\]	-29.875	-14.93

Bajo este concepto describiremos las lecturas de nuestras caracteristicas como

Gap(A)	Flow(B)	Power(c)	Lectura1	Lectura2	Valor vertice
-	-	-	247	400	I=647
+	-	-	470	446	a=916
-	+	-	429	405	b=834
+	+	-	435	445	ab=830
-	-	+	837	850	c=1687
+	-	+	551	670	ac1221
-	+	+	775	865	bc=1640
+	+	+	660	530	abc=1190

Basado en estos datos Construiremos la suma de cuadrados para cada estructrua

\[SS=\frac{[contraste]^2}{2Samples*4n}\]

combinacion I=1	contraste	SS
\[A=[a+ab+ac+abc-I-b-c-bc]\]	-601	22,575.1
\[B=[b+ab+bc+abc-I-a-c-ac]\]	73	333.1
\[AB=[ab-a-b+I+abc-bc-ac+c]\]	-207	2,678.1
\[C=[c+ac+bc+abc-I-a-b-ab]\]	2461	378,532.6
\[AC=[I-a+b-ab-c+ac-bc+abc]\]	-1231	94,710.1
\[BC=[I+a-b-ab-c-ac-bc+abc]\]	-229	3,277.6
\[ABC=[abc-bc-ac+c-ab+b+a-I]\]	239	3,507.1

Entocnes definiremos nuestro vector de caracteristicas basado en en la composición de la matriz de signos

lecturas<-
c(-1,-1,-1,
  1, -1, -1,
  -1, 1, -1,
  1, 1,-1,
  -1,-1,1,
  1,-1,1,
  -1,1,1,
  1,1,1)

Como hay dos lecturas (incial y final, duplicaremos la estructura para la lectura final)

#lecturas <- matrix(lecturas,ncol=3,byrow=TRUE)
lecturas <- rbind(lecturas,lecturas)

Nuestras observaciones la variable a estimar estan definidas por la lectura de caracteristicas y los factores A,B,C estan dados por la matriz de signos

Creamos los factores basados en los experimentos

tabla$A<-as.factor(tabla$A)
tabla$B<-as.factor(tabla$B)
tabla$C<-as.factor(tabla$C)

Por ultimo generamos nuestra regresion lineal considerando los edges:

summary(fit)

Call:
lm(formula = Y ~ A + B + C + (A * B) + (A * C) + (B * C) + (A * 
    B * C), data = tabla)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-76.50 -20.25   0.00  20.25  76.50 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  563.438     15.810  35.637 4.21e-10 ***
A            -37.562     15.810  -2.376  0.04484 *  
B              4.563     15.810   0.289  0.78024    
C            153.812     15.810   9.729 1.04e-05 ***
A:B          -12.937     15.810  -0.818  0.43688    
A:C          -76.938     15.810  -4.866  0.00125 ** 
B:C          -14.312     15.810  -0.905  0.39177    
A:B:C         14.937     15.810   0.945  0.37242    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 63.24 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9405,    Adjusted R-squared:  0.8884 
F-statistic: 18.06 on 7 and 8 DF,  p-value: 0.0002605

Como podemos ver nuestro analicis aroja utilizar 3 betas que corresponden a A, C y AC

por consiguiente nuestra regrecion lineal seria \[Y=b_0+b_1A+b_2C+b_{13}AC\] \[Y=563.43-37.56A+153.81C-76.93AC\] y vemos que nuestro error resual standar correspode a

\[RSE=63.24\]

Calculamos el Analisis de varianza y verificaremos sus coeficientes:

anova(fit)

Analysis of Variance Table

Response: Y
          Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
A          1  22575   22575  5.6446  0.044837 *  
B          1    333     333  0.0833  0.780240    
C          1 378533  378533 94.6465 1.042e-05 ***
A:B        1   2678    2678  0.6696  0.436881    
A:C        1  94710   94710 23.6808  0.001246 ** 
B:C        1   3278    3278  0.8195  0.391772    
A:B:C      1   3570    3570  0.8926  0.372419    
Residuals  8  31996    3999                      
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Por ultimo listamos los coeficientes

fit$coefficients

(Intercept)           A           B           C         A:B         A:C 
   563.4375    -37.5625      4.5625    153.8125    -12.9375    -76.9375 
        B:C       A:B:C 
   -14.3125     14.9375 

Para concluir veremos que el estandar erro basado en la la suma de cuadrados será

\[ RSE=66.2 \]

combinacion I=1, n=2	2*Beta	Beta	SSError Lmit
\(A=\frac{1}{4n}[a+ab+ac+abc-I-b-c-bc]\)	-75.125	-37.56	\(-75.125 \pm RSE\)
\(B=\frac{1}{4n}[b+ab+bc+abc-I-a-c-ac]\)	9.215	4.60	\(+9.215 \pm RSE\)
\(AB=\frac{1}{4n}[ab-a-b+I+abc-bc-ac+c]\)	-25.875	-12.93	\(-25.875 \pm RSE\)
\(C=\frac{1}{4n}[c+ac+bc+abc-I-a-b-ab]\)	307.625	153.81	\(+307.62 \pm RSE\)
\(AC=\frac{1}{4n}[I-a+b-ab-c+ac-bc+abc]\)	-153.875	-76.93	\(-153.875 \pm RSE\)
\(BC=\frac{1}{4n}[I+a-b-ab-c-ac-bc+abc]\)	-28.62	-14.31	\(-28.62 \pm RSE\)
\(ABC=\frac{1}{4n}[abc-bc-ac+c-ab+b+a-I]\)	-29.875	-14.93	\(-29.875 \pm RSE\)