Econometria 2: Hoja de trabajo 2

A continuacion elaboraremos el ejemplo 3.1 del libro de disenio de experimentos.

El Experimento de Grabado con Plasma

Un ingeniero electrico esta investigando un proceso de grabado con plasma usado en la fabricacion de un semiconductor. El esta estgudaindo los efectos de 3 factores: brecha de anodo-catodo (A), \(C_2F_6\) tasa de flujo de gas y poder aplicado al catodo (C), todo esto sobre la tasa de grabado. Cada factor esta corriendo a dos niveles. A continuacion mostramos los resultados de las replicas:

A (Gap)	B (\(C_2F_6\) Flujo)	C (Corriente)	Replica I	Replica II	Totales
-1	-1	-1	247	400	\((1)=647\)
1	-1	-1	470	446	\(a=916\)
-1	1	-1	429	405	\(b=834\)
1	1	-1	435	445	\(ab=880\)
-1	-1	1	837	850	\(c=1687\)
1	-1	1	551	670	\(ac=1221\)
-1	1	1	775	865	\(bc=1640\)
1	1	1	660	530	\(abc=1190\)

Usando estos totales procedemos a calcular

\[\begin{aligned} A &= \frac{1}{4n}[a - (1)+ab-b+ac-c+abc-bc] \\ A &= \frac{1}{8}[916-647+880-834+1221-1687+1190-1640] \\ A &= \frac{1}{8}[-601] \\ A &= -75.125 \\\\ B &= \frac{1}{4n}[b+ab+bc+abc-(1)-a-c-ac] \\ B &= \frac{1}{8}[834+880+1640+1190-647-916-1687-1221] \\ B &= \frac{1}{8}[73] \\ B &= 9.125 \\\\ C &= \frac{1}{4n}[c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab] \\ C &= \frac{1}{8}[1687+1221+1640+1190-647-916-834-886]\\ C &= \frac{1}{8}[2461] \\ C &= 307.625 \\\\ AB &= \frac{1}{4n}[ab - a -b +(1)+abc-bc-ac+c] \\ AB &= \frac{1}{8}[880-916-834+647+1190-1640-1221+1687] \\ AB &= \frac{1}{8}[-207] \\ AB &= -25.875 \\\\ AC &= \frac{1}{4n}[(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc] \\ AC &= \frac{1}{8}[647-916+834-880-1687+1221-1640+1190] \\ AC &= \frac{1}{8}[-1231] \\ AC &= -153.875 \\\\ BC &= \frac{1}{4n}[(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc] \\ BC &= \frac{1}{8}[647+916-834-880-1687-1221+1640+1190] \\ BC &= \frac{1}{8}[-229] \\ BC &= -28.625 \\\\ ABC &= \frac{1}{4n}[abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)] \\ ABC &= \frac{1}{8}[1190-1640-1221+1687-880+834+916-647] \\ ABC &= \frac{1}{8}[239] \\ ABC &= 29.875 \end{aligned}\]

El mayor diferencia en los efectos la vemos para \(A=-75.125\), la corriente \(C=307.625\) y la interaccion diferencia-corriente \(AC=-153.875\).

El analisis de varianza puede ser usado para confirmar la magnitud de estos efectos, para ellos calculamos la suma de cuadrados:

\[\begin{aligned} SS_A &= \frac{(-601)^2}{16} \\ SS_A &= 22,575.1 \\\\ SS_B &= \frac{73^2}{16} \\ SS_B &= 333.1 \\\\ SS_C &= \frac{2461^2}{16} \\ SS_C &= 378,532.6 \\\\ SS_{AB} &= \frac{(-207)^2}{16} \\ SS_{AB} &= 2,678.1 \\\\ SS_{AC} &= \frac{(-1231)^2}{16} \\ SS_{AC} &= 94,710.1 \\\\ SS_{BC} &= \frac{(-229)^2}{16} \\ SS_{BC} &= 3,277.6 \\\\ SS_{ABC} &= \frac{239^2}{16} \\ SS_{ABC} &= 3,570.1 \end{aligned}\]

Finalmente para complementar vamos a proceder a crear una regresion lineal para determinar los coeficientes para A, C y AC. Para ello primero creamos nuestra tabla de datos:

A <- c(-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1)
B <- c(-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1)
C <- c(-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1)
observaciones <- c(247,470,429,435,837,551,775,660,400,446,405,445,850,670,865,530)
table <- tibble(A=A,
                B=B,
                C=C,
                observaciones)
table$A <- as.factor(table$A)
table$B <- as.factor(table$B)
table$C <- as.factor(table$C)
table

Con esto ya podemos definir la regresion lineal:

fit<- lm(Y ~ A*B*C,data=experiment)
fit

Call:
lm(formula = Y ~ A * B * C, data = experiment)

Coefficients:
(Intercept)           A1           B1           C1        A1:B1        A1:C1        B1:C1     A1:B1:C1  
      323.5        134.5         93.5        520.0       -111.5       -367.5       -117.0        119.5  

Y con esto ya hemos definido la ecuacion de la siguiente forma:

\(Y=323.5 + 134.5A + 93.5B+520C -111.5AB-367.5AC-117BC+119.5ABC\)