\(\color{red}{\text{1. Heterocedasticidad}}\)

Corresponde a la situación en la que varianza del término de error de la ecuación estimada, no es constante.

Bajo la presencia de Heterocedascidad la matriz de Varianza Covarianza, es no escalar.

\(\text{1.1 Consecuencias de la Heterocedásticidad y Autocorrelación}\)

Los estimadores MCO siguen siendo lineales, insesgados, consistentes y con distribución normal pero ya no tienen varianza mínima. Esto es así incluso en grandes muestras.
Las formulas habituales para calcular las varianzas de los estimadores dejan de ser correctas y suelen dar varianzas sesgadas.

Modelo estimado

library(readr)
library(stargazer)
ejemplo_regresion <- read_csv("F:/Econometria 2020/Presentaciones Econometria/ejemplo_regresion.csv")
modelo_lineal<-lm(Y~X1+X2,data = ejemplo_regresion)
stargazer(modelo_lineal,title = "modelo estimado",type = "html")

**modelo estimado**

	Dependent variable:

	Y

X1	0.237^***
	(0.056)

X2	-0.0002^***
	(0.00003)

Constant	1.564^***
	(0.079)


Observations	25
R²	0.865
Adjusted R²	0.853
Residual Std. Error	0.053 (df = 22)
F Statistic	70.661^*** (df = 2; 22)

Note:	p<0.1; p<0.05; p<0.01

\(\text{1.2 Diagrama de dispersión residuos vs pronóstico}\)

\(\text{1.3 Prueba de White}\)

Se asume que la varianza de los residuos posee una estructura de la forma:

\(σ_u^2=\color{red}{δ_0+δ_1 x_1+δ_2 x_2+⋯+δ_k x_k}+\color{green}{α_1 x_1^2+α_2 x_2^2+⋯+α_k x_k^2}+\color{blue}{θ_1 x_1 x_2+θ_2 x_1 x_3+⋯+θ_kC2 x_i x_j}\)

Hipótesis:

\(H_0:\ \delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_k=\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=\theta_1=\theta_2=\cdots=\theta_kC2=0\)

“\(\color{green}{\text{Hay evidencia de que la varianza de los residuos es Homocedástica}}\)”

\(H_1:\ \delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_k=\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=\theta_1=\theta_2=\cdots=\theta_kC2\neq0\)

“\(\color{red}{\text{Hay evidencia de que la varianza de los residuos es Heterocedástica}}\)”

\(\text{Cálculo del Estadístico de Prueba:}\)

Se corre la siguiente ecuación auxiliar:

\(u_i^2=\color{red}{δ_0+δ_1 x_1+δ_2 x_2+⋯+δ_k x_k}+\color{green}{α_1 x_1^2+α_2 x_2^2+⋯+α_k x_k^2}+\color{blue}{θ_1 x_1 x_2+θ_2 x_1 x_3+⋯+θ_kC_2 x_i x_j}\)

Sí las muestra es pequeña, se pueden omitir los términos:
\(\color{blue}{θ_1 x_1 x_2+θ_2 x_1 x_3+⋯+θ_kC_2 x_i x_j}\)
Se procede a calcular el \(\color{red}{R^2}\)de esa ecuación auxiliar. Y
se procede a calcular el estadístico \(\color{red}{LM_W}\):
\(\color{red}{LM_W=n*R^2}\)

El cual tiene una distribución \(\chi^2\) con “p” grados de libertad (Número de parámetros en la ecuación auxiliar, sin la intercepción.)

\(\color{green}{\text{Criterio de decisión:}}\)
- Rechazar \(H_0\) sí \(\color{red}{LM_W}\geq\color{red}{VC}\)
- Rechazar \(H_0\) sí \(\color{blue}{P_{value}}\le \color{blue}{\alpha}\)

\(\text{1.4 Ejemplo de la prueba de White:}\)

library(stargazer)
u_i<-modelo_lineal$residuals
data_prueba_white<-as.data.frame(cbind(u_i,ejemplo_regresion))
regresion_auxiliar<-lm(I(u_i^2)~X1+X2+I(X1^2)+I(X2^2)+X1*X2,data = data_prueba_white)
sumario<-summary(regresion_auxiliar)
n<-nrow(data_prueba_white)
R_2<-sumario$r.squared
LM_w<-n*R_2
gl=2+2+1
p_value<-1-pchisq(q = LM_w,df = gl)
VC<-qchisq(p = 0.95,df = gl)
salida_white<-c(LM_w,VC,p_value)
names(salida_white)<-c("LMw","Valor Crítico","p value")
stargazer(salida_white,title = "Resultados de la prueba de White",type = "html",digits = 6)

**Resultados de la prueba de White**

LMw	Valor Crítico	p value

3.690182	11.070500	0.594826

Como \(0.5948>0.05\) \(\color{red}{\text{No se rechaza la}}\) \(H_0\), por lo tanto hay evidencia de que la varianza de los residuos es homocedástica.

\(\text{Uso de la librería "lmtest"}\)

library(lmtest)
prueba_white<-bptest(modelo_lineal,~I(X1^2)+I(X2^2)+X1*X2,data = ejemplo_regresion)
print(prueba_white)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  modelo_lineal
## BP = 3.6902, df = 5, p-value = 0.5948

Como \(0.5948>0.05\) \(\color{red}{\text{No se rechaza la}}\) \(H_0\), por lo tanto hay evidencia de que la varianza de los residuos es homocedástica.

\(\color{red}{\text{2. Autocorrelación}}\)

La autocorrelación corresponde a la presencia de asociación entre los valores precedentes de las observaciones de una variable o serie temporal.
Dicho de manera formal, se presenta a través de la situación en la cual, la covarianza entre el i-ésimo y j-ésimo, separados “m” lugares ó períodos es distinta de cero:

\(Cov(\epsilon_i,\epsilon_j)\neq0\)

\(\color{red}{\text{Autocorrelación de 1° orden}}\)

Prueba de Durbin – Watson.

Supone una estructura del residuo de la forma:

\(\color{green}{u_i=\rho u_{i-1}+\upsilon_i}\)

\(\text{Hipótesis de la prueba:}\)

\(H_0:\rho=0\)

“\(\color{green}{\text{No hay evidencia de autocorrelación}}\) de primer orden, en los residuos del modelo”

\(H_1:\rho \neq 0\)

“\(\color{red}{\text{Hay evidencia de autocorrelación}}\) de primer orden, en los residuos del modelo”

\(\text{Estadístico de prueba DW}\)

\(DW=\frac{\sum_{j=2}^{n}\left(u_j-u_{j-1}\right)^2}{\sum_{j=1}^{n}u_j^2}\)
\(DW\approx2\left(1-\rho\right)\)

**Extremos teóricos**

	p=1	p=0	p=-1

DW	0	2	4

La distribución, del estadístico DW, no es estándar ( Es necesario usar las tablas del estadístico DW)

Esquema de evaluación de la prueba DW

La prueba deberá evaluarse tomando en cuenta el siguiente esquema:

Ejemplo DW en R

Usando libreria “lmtest”

library(lmtest)
dwtest(modelo_lineal,alternative = "two.sided",iterations = 1000)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelo_lineal
## DW = 1.9483, p-value = 0.5649
## alternative hypothesis: true autocorrelation is not 0

Usando libreria “car”

library(car)
durbinWatsonTest(modelo_lineal,simulate = TRUE,reps = 1000)

##  lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
##    1     -0.04366918      1.948305   0.514
##  Alternative hypothesis: rho != 0

En ambos casos, se puede rechazar la presencia de autocorrelación (No se rechaza la \(H_0\)), ya que el \(p_{value}>0.05\)

Usando la tabla

De acuerdo al esquema, el DW calculado, cae en la zona de no Rechazo de \(H_0\), por lo tanto no hay presencia de autocorrelación lineal.

\(\color{red}{\text{Autocorrelación de orden superior}}\)

\(\text{Prueba del Multiplicador de Lagrange [Breusch-Godfrey]}\)

Supone una estructura del residuo de la forma:
\(\color{blue}{u_j=\rho_1 u_{j-1}+\rho_2 u_{j-2}+⋯+\rho_mu_{j-m}+v_j}\)

\(\text{Hipótesis de la prueba:}\)

\(H_0:\rho_1=\rho_2=\rho_3=⋯=\rho_m=0\)

“\(\color{green}{\text{No hay evidencia de autocorrelación de orden “m”, en los residuos del modelo}}\)”

\(H_1:\rho_1=\rho_2=\rho_3=⋯=\rho_m\neq0\)

“\(\color{red}{\text{Hay evidencia de autocorrelación de orden “m”, en los residuos del modelo}}\)”

\(\text{Estadístico de prueba de BG}\)

Se calcula la siguiente regresión auxiliar:
\(u_j=\delta_0+\color{green}{\delta_1 x_1+\delta_2 x_2+⋯+ \delta_k x_k}+\color{red}{\rho_1 u_{j-1}+\rho_2 u_{j-2}+⋯+\rho_mu_{j-m}+v_j}\)

Es decir, se incluyen todas las variables explicativas del modelo que se esta evaluando y los retardos de los residuos hasta el orden de correlación “m”, que se esta verificando.

Se obtiene el \(\color{red}{R^2}\) de la regresión auxiliar.
Se calcula el estadístico \(LM_{BG}\):
\(\color{red}{LM_{BG}=n*R^2}\)

\(LM_{BG}\) tiene una distribución \(\chi^2\) asintótica (en muestras grandes) con “m” grados de libertad.
Criterio de decisión:
\(\color{green}{\text{Rechazar } H_0}\) si \(LM_{BG}> V.C\)
Alternativamente:
\(\color{green}{\text{Rechazar } H_0}\) si \(p_{value}\le\alpha\)

Ejemplo en R

Preparación de datos:

library(dplyr)
library(tidyr)
library(kableExtra)
cbind(u_i,ejemplo_regresion) %>% 
  as.data.frame() %>% 
  mutate(Lag_1=dplyr::lag(u_i,1),
         Lag_2=dplyr::lag(u_i,2)) %>% 
  replace_na(list(Lag_1=0,Lag_2=0))->data_prueba_BG
kable(head(data_prueba_BG,6))

u_i	X1	X2	Y	Lag_1	Lag_2
0.0734697	3.92	7298	0.75	0.0000000	0.0000000
-0.0033412	3.61	6855	0.71	0.0734697	0.0000000
-0.0391023	3.32	6636	0.66	-0.0033412	0.0734697
-0.0621832	3.07	6506	0.61	-0.0391023	-0.0033412
0.0162403	3.06	6450	0.70	-0.0621832	-0.0391023
0.0124247	3.11	6402	0.72	0.0162403	-0.0621832

Calculando la regresión auxiliar y el estadístico \(LM_{BP}\)

regresion_auxiliar_BG<-lm(u_i~X1+X2+Lag_1+Lag_2,data = data_prueba_BG)
sumario_BG<-summary(regresion_auxiliar_BG)
R_2_BG<-sumario_BG$r.squared
n<-nrow(data_prueba_BG)
LM_BG<-n*R_2_BG
gl=2
p_value<-1-pchisq(q = LM_BG,df = gl)
VC<-qchisq(p = 0.95,df = gl)
salida_bg<-c(LM_BG,VC,p_value)
names(salida_bg)<-c("LMbg","Valor Crítico","p value")
stargazer(salida_bg,title = "Resultados de la prueba de Breusch Godfrey",type = "html",digits = 6)

**Resultados de la prueba de Breusch Godfrey**

LMbg	Valor Crítico	p value

3.305189	5.991465	0.191552

Como \(p_{value}>0.05\) No se rechaza \(H_0\), por lo tanto puede concluirse que los residuos del modelo, no siguen autocorrelación de orden “2”.

Usando la librería “lmtest”

library(lmtest)
bgtest(modelo_lineal,order = 2)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 2
## 
## data:  modelo_lineal
## LM test = 3.3052, df = 2, p-value = 0.1916

Como \(p_{value}>0.05\) No se rechaza \(H_0\), por lo tanto puede concluirse que los residuos del modelo, no siguen autocorrelación de orden “2”

El test BG puede usarse también para verificar la autocorrelación de 1° orden:

library(lmtest)
bgtest(modelo_lineal,order = 1)

## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1
## 
## data:  modelo_lineal
## LM test = 0.051063, df = 1, p-value = 0.8212

Como \(p_{value}>0.05\) No se rechaza \(H_0\), por lo tanto puede concluirse que los residuos del modelo, no siguen autocorrelación de 1° orden

\(\color{green}{\text{Heterocedasticidad y Autocorrelación}}\)

\(\color{red}{\text{1. Heterocedasticidad}}\)

\(\text{1.1 Consecuencias de la Heterocedásticidad y Autocorrelación}\)

Modelo estimado

\(\text{1.2 Diagrama de dispersión residuos vs pronóstico}\)

\(\text{1.3 Prueba de White}\)

Hipótesis:

\(\text{Cálculo del Estadístico de Prueba:}\)

\(\text{1.4 Ejemplo de la prueba de White:}\)

\(\text{Uso de la librería "lmtest"}\)

\(\color{red}{\text{2. Autocorrelación}}\)

\(\color{red}{\text{Autocorrelación de 1° orden}}\)

Prueba de Durbin – Watson.

\(\text{Hipótesis de la prueba:}\)

\(\text{Estadístico de prueba DW}\)

Esquema de evaluación de la prueba DW

Ejemplo DW en R

Usando la tabla

\(\color{red}{\text{Autocorrelación de orden superior}}\)

\(\text{Prueba del Multiplicador de Lagrange [Breusch-Godfrey]}\)

\(\text{Estadístico de prueba de BG}\)

Ejemplo en R

Usando la librería “lmtest”