Una primera falacia alrededor de la ruleta
Ricardo Arturo Cárdenas Ovalle
09/06/2019
La ruleta es un juego de azar que tiene diferentes modalidades de apuesta, entre estas modalidades encontramos tres que se caracterizan por tener una probabilidad de ganar aproximada al 0.50, aunque resulta ligeramente menor, o al menos eso es lo que se percibe de manera intuitiva. Estas modalidades son: 1. Rojas y negras; 2. Pares e impares; y 3. Del 1-18 y del 19-36. Este tipo de apuestas por tener una probabilidad “cercana” al 0.50 pagan el monto de la apuesta de forma que el valor esperado de ganar es negativo pero cercano a cero. Este tipo de apuestas se encuentran en la parte inferior del siguiente tablero.
Sea “p” la probabilidad de ganar en una ruleta americana,
\[ E(V)= (premio)*(p)-(apuesta)*(p)-(apuesta)*({1\over 2})*(1-2p) ≤ 0\]
\[p=({18\over38})\] \[(1-2p)=({2\over38})\] \[apuesta = premio\] \[ E(V)= (apuesta)*(18/38)-(apuesta)*(18/38)-(apuesta)*({1\over 2})*(1-2p)\] \[ E(V)= (apuesta)*({18\over38}-{18\over38}-{2 \over 38} *{1 \over 2}) \] \[ E(V)= (apuesta)*({-1\over38}) \] \[ E(V)= -(0.05263158)*(apuesta)\]
Se hace distinción de dos tipos de ruleta, la americana y la francesa, las cuales se distinguen por el número de casillas ya que la ruleta america tiene 38 casillas mientras que la francesa cuenta con 37.
Ambas ruletas cuentan con casillas del 1 a 36 que se dividen en rojas y negras pero la americana tiene 2 casillas verdes con los números 0 y 00 mientras que la francesa sólo tiene una casilla verde con el número 0. Aunque la probabilidad de ganar en la ruleta americana es menor a la francesa, no hay diferencia en el valor esperado ya que la ruleta americana te quita el 50 % de tu apuesta cuando la pelota cae en una de las dos casillas verdes mientras que la europea te quita el 100 % de la apuesta cuando la pelota cae en su casilla verde.
Para siplificar el análisis, vamos a simular partidas de ruleta francesa ya que en términos de valor esperado nos da el mismo resultado y además nos permite simplificar la asignación de pagos por partida. En esta ocasión se desea analizar una técnica para apostar en la ruleta llamada Martingala la cual consiste en apostar una unidad monetaria, en este ejemplo un dólar, y duplicar la cantidad apostada en cada ocasión que se pierda, dando como resultado la recuperación del monto perdido y la ganancia de un dólar por partida ganada.
\[ perdida \ acumulada = 1 + 2 + 4 + 8 +....= 2^k-1 \] \[ apuesta = 2^k \] donde “k” es el número de partidas perdidads consecutivas de forma que
\[ apuesta > perdida \ acumulada \] \[ 2^k > 2^k-1 \] \[ 2^k-2^k > -1 \] \[ 0 > -1 \] \[ 1 > 0 \] Algunas personas les gustaría probar esta técnica en una ruleta y realizar el experimento miles de veces para verificar su efectividad, pero es posible realizar simulaciones sin arriesgar nuestro dinero o perder el tiempo girando una ruleta en casa. A continuación se muestra un algoritmo sencillo de interpretar, aunque no es eficiente en términos de programación, para la simulación de 100 mil juegos de ruleta francesa.
prob_pares <- (18/37)
ruleta_sim <- sample(0:36,100000,replace=TRUE)
ruleta_exito <- ifelse(ruleta_sim== 0|ruleta_sim== 1|ruleta_sim== 3|ruleta_sim== 5|ruleta_sim== 7|ruleta_sim== 9|ruleta_sim== 11|ruleta_sim== 13|ruleta_sim== 15|ruleta_sim== 17|ruleta_sim== 19|ruleta_sim== 21|ruleta_sim== 23|ruleta_sim== 25|ruleta_sim== 27|ruleta_sim== 29|ruleta_sim== 31|ruleta_sim== 33|ruleta_sim== 35,0,1)
s<-c(1:100000)
beneficio <- c(1:100000)
apuesta <-c(1:100000)
for(r in 1:100000) {
apuesta[s[r]] <- ifelse(r==1,1,ifelse(ruleta_exito[r-1]==1,1,2*apuesta[r-1]))
beneficio[s[r]] <- ifelse(ruleta_exito[r]==1,apuesta[r],apuesta[r]*(-1))
}Después de 100 mil juegos se ha obtenido un beneficio de
sum(beneficio)## [1] 48754pero se llegó a apostar una cantidad de
max(apuesta)## [1] 65536esto quiere decir que se tuvo alguna racha perdedora de
\[2^k-1 = apuesta \] \[2^k = apuesta+1 \] \[k*ln(2) = ln(apuesta+1) \] \[k= {ln(apuesta+1)\over ln(2) } \]
round((log(max(apuesta)+1))/log(2),0)## [1] 16partidas.
Observamos que se ha llegado a arriegar una cantidad muy grande en una sola partida, esta técnica sólo se puede utilizar por aquel que posea una cantidad infinita de dinero la cual se podría decir que tiene el casino. Igualmente si suponemos que se juega una partida por minuto entonces se hubiese tenido que jugar durante
100000/60/24## [1] 69.44444días sin descanso. Luego se necesita tener dinero ilimitado y mucho tiempo libre. Aún así los casinos conocen este tipo de técnicas y se cubren de estas fijando un monto mínimo y máximo de apuesta, algunos casinos en línea establecen estos límites entre 1 y 500 dólares. Esto significa que a lo más podremos jugar con la estretegia Martingala durante
\[k= {ln(apuesta+1)\over ln(2) } \]
round(log(501)/(log(2)),0)## [1] 9partidas.
Usualmente los apostadores piensan que una racha de mala suerte provoca una racha de buena suerte, a esta creencia erronea se le conoce como la falacia del jugador y es uno de los factores que contribuye a que la Martingala sea llevada hasta sus últimas consecuencias. La probabilidad es una medida de certidumbre y por eso varía de acuerdo a la infromación que dispongamos, es verdad que la probabilidad de perder 9 veces seguidas, por ejemplo, en un lanzamiento de moneda es muy baja
\[P(A|B) = {P(A \cap B) \over P(B)} \] \[P(A|B) = P(A)\]
\[ P(A)*P(B) = P(A \cap B) \]
\[0.5^9 = 0.001953125\]
pero después de una racha de ocho juegos perdidos la probabilidad de perder el noveno lanzamiento es 0.5 ya que lo que haya pasado en los juegos anteriores no afecta la probabilidad del siguiente juego, entonces caer en la falacia del jugador sería como creer que después de perder 8 veces seguidas se tiene una probabilidad cercana a 1 de ganar en el noveno juego ya que la probabilidad de perder nueve partidas seguidas era cercana a 0. Regresando al ejemplo que nos ocupa de la ruleta ¿en promedio cuántos partidas tendrían que jugarse para perder 9 veces consecutivas?
Dado que las partidas son eventos independientes, es decir que el resultado de un experimento no afecta a otro, la probabilidad de perder 9 veces seguidas en la ruleta francesa es
\[p^9 = (19/37)^9 \]
(19/37)^9## [1] 0.0024829440.002483 lo cual indica que se perdería 9 veces consecutivas sólo el 0.2483 % de las veces. Pero si recordamos que jugamos 100 mil partidas, entonces si repitieramos estos 100 mil juegos infinidad de veces en promedio obtendríamos que cada 100 mil juegos hay aproximadamente
round((19/37)^9*(100000-9),0)## [1] 248248 rachas de 9 partidas perdidas consecutivamente, con un intervalo de 95 % de confianza de [218,280] rachas de 9 partidas perdidas consecutivamente.
\[ p ± z_{\alpha / 2} * [{\displaystyle p*(1-p)\! \over n}]^{1 \over 2}\]
\[ p ± z_{\alpha / 2} * [{\displaystyle {19 \over 37}*(1-{19 \over 37})\! \over n}]^{1 \over 2}\]
\[ ({19 \over 37 })^9± (1.96) * [{\displaystyle ({19 \over 37})^9*(1-({19 \over 37})^9)\! \over 100,000}]^{1 \over 2}\] \[ {19 \over 37 }± (1.96) * [{\displaystyle {19 \over 37}*{18 \over 37}\! \over 100,000}]^{1 \over 2}\] \[ [0.002174483,0.002791404] \] Luego para 100 mil partidas
\[ [0.002174483*(10^5-9),0.002791404*(10^5-9)]=[217.4288,279.1153] \]
((19/37)^9 + 1.96*((19/37)^9*(1-(19/37)^9)/100000)^(1/2))*(10^5-9)## [1] 279.1153((19/37)^9 - 1.96*((19/37)^9*(1-(19/37)^9)/100000)^(1/2))*(10^5-9)## [1] 217.4288En la siguiente output se muestra para cada monto de apuesta el número de veces que se arriesgó esa cantidad en 100 mil partidas simuladas, y esperamos con 95 % de confianza que la apuesta de 256 dólares tenga una frecuencia entre 217 y 279.
table(apuesta)## apuesta
## 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048
## 48754 24901 12796 6594 3386 1717 898 488 236 110 60 29
## 4096 8192 16384 32768 65536
## 15 7 5 2 2En el ejemplo anterior se excede el límite de apuesta, nuestro verdadero interés es simular partidas hasta que el apostador ya no puede duplicar la apuesta por la restricción del monto máximo de apuesta la cual fijaremos en 500 dólares. A continuación se muestra un gráfico de frecuencia con los montos de apuestas para este jugador simulado y un resumen de resultados de la evolución de su juego.
g<-100000
fin <- c(1:100000)
for(r in 1:g) {
apuesta[s[r]] <- ifelse(r==1,1,ifelse(ruleta_exito[r-1]==1,1,2*apuesta[r-1]))
beneficio[s[r]] <- ifelse(ruleta_exito[r]==1,apuesta[r],apuesta[r]*(-1))
fin[s[r]] <- ifelse(apuesta[r]>500,r,0)
}
colours=c("pink1","purple3","blue2","green4","yellow1","orange2","tan4","red2","black")
barras_apuesta <-barplot(table(apuesta[1:sort(subset(fin,fin>0),decreasing = FALSE)[1]-1]),ylim=c(0,(sort(subset(fin,fin>0),decreasing = FALSE)[1]-1)),main="Ruleta Francesa (Técnica Martingala)",col=colours,xlab="Montos de Apuesta",ylab="Frecuencia",las=2)
altura_etiqueta<-table(apuesta[1:sort(subset(fin,fin>0),decreasing = FALSE)[1]-1])
text(barras_apuesta, altura_etiqueta, table(apuesta[1:sort(subset(fin,fin>0),decreasing = FALSE)[1]-1]),cex=1,pos=3) 
## [1] "Se pierde en el juego número 463 la cantidad de $ 256 dólares los cuales ya no se pueden recuperar aumentando la apuesta a $ 512 (número que dobla a 256) ya que excede el límite de la apuesta de $ 500 dólares."## [1] "En la partida 462 (juego anterior) este individuo tenía $ -39 dólares."## [1] "Lo anterior quiere decir que antes de su racha perdedora se contaba con una ganancia de $ 216 los cuales había acumulado después de 455 juegos."## [1] "Por tanto si esta persona quiere seguir jugando con la estrategia martingala debe comenzar a acumular dólares partiendo de una pérdida de $ 295 ."## [1] "Finalmente supongamos que cada juego de ruleta lleva entre 30 y 60 segundos, entonces a este individo hipotético ha tardado en perder entre 232 y 463 minutos."## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## -256.0000 -2.0000 -1.0000 -0.6371 1.0000 128.0000Los algoritmos de los loops para la simulación de partidas de ruleta francesa pueden ser ejecutados en Rstudio.
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