Prova 06

1. (Página 363) Considere fazer uma analise de variancia para o estudo de contaminacao por calcio de agua de um certo rio. Os dados abaixo referem-se # as quantidades de calcio (parte media por milhao) medidos em tres locais ao longo do rio Mississipi.

e15.1 = rbind(   c(42, 37, 41, 39, 43, 41), #Local 1
                 c(37, 40, 39, 38, 41, 39), #Local 2
                 c(32, 28, 34, 32, 30, 33)  #Local 3
                 ) 
e15.1

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]   42   37   41   39   43   41
## [2,]   37   40   39   38   41   39
## [3,]   32   28   34   32   30   33

k = nrow(e15.1) 
n = ncol(e15.1) 
df1 = k - 1 
df2 = k*(n-1)
m.grupos = apply(e15.1, 1, mean)
m.geral = mean(e15.1)
ssqt = sum((m.grupos-m.geral)^2*n) 
s1.2 = ssqt/df1
x = as.numeric(t(e15.1)) 
ssqr = sum((x-rep(m.grupos, each = n))^2) 
s2.2 = ssqr/df2 
F = s1.2/s2.2 
p = 1 - pf(q = F, df1 = df1, df2 = df2) 
anv = matrix(c(df1, df2, ssqt, ssqr, s1.2, s2.2, F, NA, p, NA), nrow = 2)

Apresenta os resultados

row.names(anv) = c("g", "Residuals") 
colnames(anv) = c("Df", "Sum Sq", "Mean Sq", "F value", "Pr(>F)") 
print(anv, na.print = "")

##           Df Sum Sq Mean Sq  F value       Pr(>F)
## g          2    279   139.5 36.71053 1.665393e-06
## Residuals 15     57     3.8

Agora, o procedimento ANOVA com a função aov

g = as.factor(rep(c(1:k), each = n)) # define o grupo para cada observação 
summary(aov(x~g)) # executa o ANOVA

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## g            2    279   139.5   36.71 1.67e-06 ***
## Residuals   15     57     3.8                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

2. (Página 365) Amostras de manteiga de amendoim produzidas por tres produtores diferentes foram testadas quanto ao conteudo de uma certa toxina (em partes por milhao) com os resultados apresentados na tabela abaixo.

a) Calcule n * S^(2/x) para esses dados, a media das variancias dessas tres amostras e o valor de F.

b) Supondo que os dados constituam amostras aleatorias de tres populacoes normais com o mesmo desvio padrao, teste ao nivel 0,05 de significancia se as diferencas entre as tres medias amostrais posem ser atribuidas ao acaso

# Produtor 1:  4.4   0.6   6.4   1.2   2.8   4.4                                             
# Produtor 2:  0.8   2.6   1.9   3.7   5.3   1.5                                                     
# Produtor 3:  1.1   3.4   1.6   0.5   4.3   2.5    

e15.1 = c(
  c(4.4, 0.6, 6.4, 1.2, 2.8, 4.4),
  c(0.8, 2.6, 1.9, 3.7, 5.3, 1.3),
  c(1.1, 3.4, 1.6, 0.5, 4.3, 2.3)
)

g = as.factor(rep(1:3, each = 6)) 
summary(aov(e15.1~g))

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## g            2   3.72   1.860   0.579  0.573
## Residuals   15  48.22   3.215

3. (Página 373) Um tecnico de laboratorio quer comprar a resistencia a ruptura de tres marcas de fio e, inicialmente, tinha planejado repetir cada medicao seis vezes. Entretanto, nao dispondo de tempo suficiente, ele limita sua analise aos seguintes resultados (kg).Supondo que esses dados constituem amostras aleatorias de tres populacoes normais com o mesmo desvio padrao, efetue uma analise de variancia para testar, ao nivel 0.05 de significancia, se as diferencas entre as medias amostrais sao significantes.

# Fio 1: 18.8  16.4  15.7  19.6  16.5  18.2
# Fio 2: 21.1  17.8  18.6  20.8  17.9  19.0
# Fio 3: 16.5  17.8  16.1 

e15.3 = c(180, 164, 157, 196, 165, 182, 211, 178, 186, 208, 179, 190, 165, 178, 161)/10
g = as.factor(c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3))

# OU

g = as.factor(c(rep(1:2, each = 6), rep(3, 3)))
summary(aov(e15.3~g))

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## g            2  15.12   7.560   4.061  0.045 *
## Residuals   12  22.34   1.862                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

4. (Página 374 - Comparacoes multiplas) Considere os dados abaixo relativos ao tempo (em minutos) que uma certa pessoa levou para dirigir para o local de trabalho em cinco dias, selecionados ao acaso, ao longo de quatro trajetos difentes.

# Trajeto 1: 25 26 25 25 28 
# Trajeto 2: 27 27 28 26 26 
# Trajeto 3: 28 29 33 30 30 
# Trajeto 4: 28 29 27 30 27

e15.4 = c(25, 26, 25, 25, 28, 
          27, 27, 28, 26, 26, 
          28, 29, 33, 30, 30, 
          28, 29, 27, 30, 27)
g = as.factor(rep(1:4, each = 5))
a = aov(e15.4~g)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## g            3   49.8    16.6   8.737 0.00116 **
## Residuals   16   30.4     1.9                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

thsd = TukeyHSD(a, ordered = FALSE)
thsd$g[order(thsd$g[,4]),]

##     diff         lwr       upr        p adj
## 3-1  4.2  1.70582074 6.6941793 0.0009798178
## 3-2  3.2  0.70582074 5.6941793 0.0100116683
## 4-1  2.4 -0.09417926 4.8941793 0.0614131338
## 4-3 -1.8 -4.29417926 0.6941793 0.2065277028
## 4-2  1.4 -1.09417926 3.8941793 0.4031260104
## 2-1  1.0 -1.49417926 3.4941793 0.6669778180

5. (Página 377) Uma grande firma de propaganda utiliza muitas maquinas reprograficas em 4 modelos diferentes. Durante os ultimos seis meses o chefe do escritorio registrou para cada maquina, o numero medio de minutos por semana em que esteve parada # devido a reparos resultando os seguintes dados:

# Modelo G  56 61  68 42  82 70                                         
# Modelo H  74 77  92 63  54                                                                                     
# Modelo K  25 36  29 56  44 48 38                                     
# Modelo M  78 105 89 112 61                                 

a = c(56, 61, 68, 42, 82, 70, 74, 77, 92, 63, 54, 25, 36, 29, 56, 44, 48, 38, 78, 105, 89, 112, 61)
g = c(rep(1, 6), rep(2, 5), rep(3, 7), rep(4, 5))
model = aov(a ~ as.factor(g))
summary(model)

##              Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## as.factor(g)  3   7669  2556.4    11.7 0.000144 ***
## Residuals    19   4153   218.6                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

6. (Página 378) oS valores da tabela abaixo sao as percentagens da safra do ano anterior para macieiras sujeitas a oito difentes esquemas de pulverização. Supondo que as condicoes necessarias possam ser atendidas, use um aplicativo apropriado para conduzir uma analise para uma variancia com alfa igual a 0.05.

# A  130  98 128 106 139 121 
# B  143 132 122 131 132 141 
# C  114 141  95 123 118 140 
# D   77  99  84  76  70  75 
# E  109  86 113 101 103 112 
# F  148 143 111 142 131 100 
# G  149 129 134 108 119 126 
# H   92 129 111 103 107 125

e15.21 = c(130, 98, 128, 106, 139, 121, 
           143, 132, 122, 131, 132, 141, 
           114, 141, 95, 123, 118, 140, 
           77, 99, 84, 76, 70, 75, 
           109, 86, 113, 101, 103, 112, 
           148, 143, 111, 142, 131, 100, 
           149, 129, 134, 108, 119, 126, 
           92, 129, 111, 103, 107, 125)
g = as.factor(rep(1:8, each = 6))
a = aov(e15.21~g)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## g            7  12696  1813.8   9.257 9.25e-07 ***
## Residuals   40   7838   195.9                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

thsd = TukeyHSD(a, ordered = FALSE)
round(thsd$g[order(thsd$g[,4]),], 3)

##        diff     lwr     upr p adj
## 4-2 -53.333 -79.167 -27.500 0.000
## 6-4  49.000  23.167  74.833 0.000
## 7-4  47.333  21.500  73.167 0.000
## 4-3 -41.667 -67.500 -15.833 0.000
## 4-1 -40.167 -66.000 -14.333 0.000
## 8-4  31.000   5.167  56.833 0.009
## 5-2 -29.500 -55.333  -3.667 0.016
## 6-5  25.167  -0.667  51.000 0.061
## 5-4  23.833  -2.000  49.667 0.089
## 7-5  23.500  -2.333  49.333 0.098
## 8-2 -22.333 -48.167   3.500 0.134
## 8-6 -18.000 -43.833   7.833 0.358
## 5-3 -17.833 -43.667   8.000 0.370
## 5-1 -16.333 -42.167   9.500 0.481
## 8-7 -16.333 -42.167   9.500 0.481
## 2-1  13.167 -12.667  39.000 0.730
## 3-2 -11.667 -37.500  14.167 0.831
## 8-3 -10.667 -36.500  15.167 0.886
## 8-1  -9.167 -35.000  16.667 0.945
## 6-1   8.833 -17.000  34.667 0.955
## 6-3   7.333 -18.500  33.167 0.984
## 8-5   7.167 -18.667  33.000 0.986
## 7-1   7.167 -18.667  33.000 0.986
## 7-2  -6.000 -31.833  19.833 0.995
## 7-3   5.667 -20.167  31.500 0.996
## 6-2  -4.333 -30.167  21.500 0.999
## 7-6  -1.667 -27.500  24.167 1.000
## 3-1   1.500 -24.333  27.333 1.000

7. (Página 382) Na tabela abaixo sao ilustradas as notas de alunos da oitava serie de quatro escolas num teste de compreensao de leitura utilizando,para isso, os blocos das medias baixa, baixa, tipica e alta. Suponto que os dados consistam em amostras aleatorias independentes de populacoes normais, todas com o mesmo desvio padrao, teste ao nivel de significancia de 0.05, se as diferencas entre as medias obtidaspara as quatro escolas (tratamentos) sao significantes, e tambem se as diferencas entre as medidas obtidas para os tres niveis de NM (blocos) sao significantes.

#            Baixa  Tipica  Alta                                       
# Escola A    71      92     89                                  
# Escola B    44      51     85                                  
# Escola C    50      64     72                                  
# Escola D    67      81     86                                  
#                                                  

e15.4 = c(71, 92, 89, 
          44, 51, 85, 
          50, 64, 72, 
          67, 81, 86)
g1 = as.factor(rep(1:4, each = 3))
g2 = as.factor(rep(1:3, times = 4))
a = aov(e15.4~g1+g2)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## g1           3   1260   420.0   6.207 0.0286 *
## g2           2   1256   628.0   9.281 0.0146 *
## Residuals    6    406    67.7                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

thsd = TukeyHSD(a, ordered = FALSE)
round(thsd$g1[order(thsd$g1[,4]),], 3)

##     diff     lwr    upr p adj
## 2-1  -24 -47.251 -0.749 0.044
## 3-1  -22 -45.251  1.251 0.062
## 4-2   18  -5.251 41.251 0.126
## 4-3   16  -7.251 39.251 0.181
## 4-1   -6 -29.251 17.251 0.809
## 3-2    2 -21.251 25.251 0.990

round(thsd$g2[order(thsd$g2[,4]),], 3)

##     diff    lwr    upr p adj
## 3-1   25  7.153 42.847 0.012
## 2-1   14 -3.847 31.847 0.115
## 3-2   11 -6.847 28.847 0.221

8. (Página 385) Considerando as duas tabelas abaixo:

#              Combustivel 1   Combustivel 2   Combustivel 3   Combustivel 4                   
# Lancador X       45.9           57.6             52.2            41.7                
# Lancador Y       46.0           51.0             50.1            38.8                      
# Lancador Z       45.7           56.9             55.3            48.1                                                          


#              Combustivel 1   Combustivel 2   Combustivel 3   Combustivel 4             
# Lancador X       46.1           55.9             52.6            44.3                       
# Lancador Y       46.3           52.1             51.4            39.6                      
# Lancador Z       45.8           57.9             56.2            47.6                           


#                 Combustivel 1   Combustivel 2   Combustivel 3   Combustivel 4                    
# Lancador X       45.9   46.1     57.6  55.9      52.2  52.6      41.7  44.3              
# Lancador Y       46.0   46.3     51.0  52.1      50.1  51.4      38.8  39.6         
# Lancador Z       45.7   45.8     56.9  57.9      55.3  56.2      48.1  47.6                                                        

p385 = c(459, 461, 576, 559, 522, 526, 417, 443, 
         460, 463, 510, 521, 501, 514, 388, 396, 
         457, 458, 569, 579, 553, 562, 481, 476)/10
g1 = as.factor(rep(1:3, each = 8))
g2 = as.factor(rep(1:4, each = 2, times = 3))
a = aov(p385~g1*g2)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## g1           2   91.5   45.75   70.61 2.31e-07 ***
## g2           3  570.8  190.27  293.67 1.72e-11 ***
## g1:g2        6   50.9    8.49   13.10 0.000119 ***
## Residuals   12    7.8    0.65                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

thsd = TukeyHSD(a, ordered = TRUE)
thsd

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
##     factor levels have been ordered
## 
## Fit: aov(formula = p385 ~ g1 * g2)
## 
## $g1
##      diff      lwr      upr    p adj
## 1-2 2.625 1.551275 3.698725 7.81e-05
## 3-2 4.775 3.701275 5.848725 2.00e-07
## 3-1 2.150 1.076275 3.223725 4.77e-04
## 
## $g2
##          diff        lwr       upr     p adj
## 1-4  2.616667  1.2369348  3.996398 0.0005535
## 3-4  9.616667  8.2369348 10.996398 0.0000000
## 2-4 11.883333 10.5036015 13.263065 0.0000000
## 3-1  7.000000  5.6202682  8.379732 0.0000000
## 2-1  9.266667  7.8869348 10.646398 0.0000000
## 2-3  2.266667  0.8869348  3.646398 0.0018598
## 
## $`g1:g2`
##          diff         lwr       upr     p adj
## 1:4-2:4  3.80  0.60429245  6.995708 0.0152743
## 3:1-2:4  6.55  3.35429245  9.745708 0.0001222
## 1:1-2:4  6.80  3.60429245  9.995708 0.0000837
## 2:1-2:4  6.95  3.75429245 10.145708 0.0000669
## 3:4-2:4  8.65  5.45429245 11.845708 0.0000067
## 2:3-2:4 11.55  8.35429245 14.745708 0.0000003
## 2:2-2:4 12.35  9.15429245 15.545708 0.0000001
## 1:3-2:4 13.20 10.00429245 16.395708 0.0000001
## 3:3-2:4 16.55 13.35429245 19.745708 0.0000000
## 1:2-2:4 17.55 14.35429245 20.745708 0.0000000
## 3:2-2:4 18.20 15.00429245 21.395708 0.0000000
## 3:1-1:4  2.75 -0.44570755  5.945708 0.1180918
## 1:1-1:4  3.00 -0.19570755  6.195708 0.0732143
## 2:1-1:4  3.15 -0.04570755  6.345708 0.0546773
## 3:4-1:4  4.85  1.65429245  8.045708 0.0020996
## 2:3-1:4  7.75  4.55429245 10.945708 0.0000216
## 2:2-1:4  8.55  5.35429245 11.745708 0.0000076
## 1:3-1:4  9.40  6.20429245 12.595708 0.0000027
## 3:3-1:4 12.75  9.55429245 15.945708 0.0000001
## 1:2-1:4 13.75 10.55429245 16.945708 0.0000000
## 3:2-1:4 14.40 11.20429245 17.595708 0.0000000
## 1:1-3:1  0.25 -2.94570755  3.445708 0.9999999
## 2:1-3:1  0.40 -2.79570755  3.595708 0.9999907
## 3:4-3:1  2.10 -1.09570755  5.295708 0.3658067
## 2:3-3:1  5.00  1.80429245  8.195708 0.0016024
## 2:2-3:1  5.80  2.60429245  8.995708 0.0004039
## 1:3-3:1  6.65  3.45429245  9.845708 0.0001049
## 3:3-3:1 10.00  6.80429245 13.195708 0.0000014
## 1:2-3:1 11.00  7.80429245 14.195708 0.0000005
## 3:2-3:1 11.65  8.45429245 14.845708 0.0000002
## 2:1-1:1  0.15 -3.04570755  3.345708 1.0000000
## 3:4-1:1  1.85 -1.34570755  5.045708 0.5218159
## 2:3-1:1  4.75  1.55429245  7.945708 0.0025193
## 2:2-1:1  5.55  2.35429245  8.745708 0.0006142
## 1:3-1:1  6.40  3.20429245  9.595708 0.0001541
## 3:3-1:1  9.75  6.55429245 12.945708 0.0000018
## 1:2-1:1 10.75  7.55429245 13.945708 0.0000006
## 3:2-1:1 11.40  8.20429245 14.595708 0.0000003
## 3:4-2:1  1.70 -1.49570755  4.895708 0.6252355
## 2:3-2:1  4.60  1.40429245  7.795708 0.0033209
## 2:2-2:1  5.40  2.20429245  8.595708 0.0007937
## 1:3-2:1  6.25  3.05429245  9.445708 0.0001950
## 3:3-2:1  9.60  6.40429245 12.795708 0.0000021
## 1:2-2:1 10.60  7.40429245 13.795708 0.0000007
## 3:2-2:1 11.25  8.05429245 14.445708 0.0000004
## 2:3-3:4  2.90 -0.29570755  6.095708 0.0887829
## 2:2-3:4  3.70  0.50429245  6.895708 0.0185723
## 1:3-3:4  4.55  1.35429245  7.745708 0.0036441
## 3:3-3:4  7.90  4.70429245 11.095708 0.0000176
## 1:2-3:4  8.90  5.70429245 12.095708 0.0000049
## 3:2-3:4  9.55  6.35429245 12.745708 0.0000023
## 2:2-2:3  0.80 -2.39570755  3.995708 0.9947014
## 1:3-2:3  1.65 -1.54570755  4.845708 0.6599667
## 3:3-2:3  5.00  1.80429245  8.195708 0.0016024
## 1:2-2:3  6.00  2.80429245  9.195708 0.0002910
## 3:2-2:3  6.65  3.45429245  9.845708 0.0001049
## 1:3-2:2  0.85 -2.34570755  4.045708 0.9915306
## 3:3-2:2  4.20  1.00429245  7.395708 0.0070516
## 1:2-2:2  5.20  2.00429245  8.395708 0.0011240
## 3:2-2:2  5.85  2.65429245  9.045708 0.0003719
## 3:3-1:3  3.35  0.15429245  6.545708 0.0369367
## 1:2-1:3  4.35  1.15429245  7.545708 0.0053028
## 3:2-1:3  5.00  1.80429245  8.195708 0.0016024
## 1:2-3:3  1.00 -2.19570755  4.195708 0.9729553
## 3:2-3:3  1.65 -1.54570755  4.845708 0.6599667
## 3:2-1:2  0.65 -2.54570755  3.845708 0.9990637

round(thsd$g1[order(thsd$g1[,4]),], 3)

##      diff   lwr   upr p adj
## 3-2 4.775 3.701 5.849     0
## 1-2 2.625 1.551 3.699     0
## 3-1 2.150 1.076 3.224     0

round(thsd$g2[order(thsd$g2[,4]),], 3)

##       diff    lwr    upr p adj
## 2-4 11.883 10.504 13.263 0.000
## 3-4  9.617  8.237 10.996 0.000
## 2-1  9.267  7.887 10.646 0.000
## 3-1  7.000  5.620  8.380 0.000
## 1-4  2.617  1.237  3.996 0.001
## 2-3  2.267  0.887  3.646 0.002

round(thsd$`g1:g2`[order(thsd$`g1:g2`[,4]),], 3)

##          diff    lwr    upr p adj
## 3:2-2:4 18.20 15.004 21.396 0.000
## 1:2-2:4 17.55 14.354 20.746 0.000
## 3:3-2:4 16.55 13.354 19.746 0.000
## 3:2-1:4 14.40 11.204 17.596 0.000
## 1:2-1:4 13.75 10.554 16.946 0.000
## 1:3-2:4 13.20 10.004 16.396 0.000
## 3:3-1:4 12.75  9.554 15.946 0.000
## 2:2-2:4 12.35  9.154 15.546 0.000
## 3:2-3:1 11.65  8.454 14.846 0.000
## 2:3-2:4 11.55  8.354 14.746 0.000
## 3:2-1:1 11.40  8.204 14.596 0.000
## 3:2-2:1 11.25  8.054 14.446 0.000
## 1:2-3:1 11.00  7.804 14.196 0.000
## 1:2-1:1 10.75  7.554 13.946 0.000
## 1:2-2:1 10.60  7.404 13.796 0.000
## 3:3-3:1 10.00  6.804 13.196 0.000
## 3:3-1:1  9.75  6.554 12.946 0.000
## 3:3-2:1  9.60  6.404 12.796 0.000
## 3:2-3:4  9.55  6.354 12.746 0.000
## 1:3-1:4  9.40  6.204 12.596 0.000
## 1:2-3:4  8.90  5.704 12.096 0.000
## 3:4-2:4  8.65  5.454 11.846 0.000
## 2:2-1:4  8.55  5.354 11.746 0.000
## 3:3-3:4  7.90  4.704 11.096 0.000
## 2:3-1:4  7.75  4.554 10.946 0.000
## 2:1-2:4  6.95  3.754 10.146 0.000
## 1:1-2:4  6.80  3.604  9.996 0.000
## 1:3-3:1  6.65  3.454  9.846 0.000
## 3:2-2:3  6.65  3.454  9.846 0.000
## 3:1-2:4  6.55  3.354  9.746 0.000
## 1:3-1:1  6.40  3.204  9.596 0.000
## 1:3-2:1  6.25  3.054  9.446 0.000
## 1:2-2:3  6.00  2.804  9.196 0.000
## 3:2-2:2  5.85  2.654  9.046 0.000
## 2:2-3:1  5.80  2.604  8.996 0.000
## 2:2-1:1  5.55  2.354  8.746 0.001
## 2:2-2:1  5.40  2.204  8.596 0.001
## 1:2-2:2  5.20  2.004  8.396 0.001
## 2:3-3:1  5.00  1.804  8.196 0.002
## 3:3-2:3  5.00  1.804  8.196 0.002
## 3:2-1:3  5.00  1.804  8.196 0.002
## 3:4-1:4  4.85  1.654  8.046 0.002
## 2:3-1:1  4.75  1.554  7.946 0.003
## 2:3-2:1  4.60  1.404  7.796 0.003
## 1:3-3:4  4.55  1.354  7.746 0.004
## 1:2-1:3  4.35  1.154  7.546 0.005
## 3:3-2:2  4.20  1.004  7.396 0.007
## 1:4-2:4  3.80  0.604  6.996 0.015
## 2:2-3:4  3.70  0.504  6.896 0.019
## 3:3-1:3  3.35  0.154  6.546 0.037
## 2:1-1:4  3.15 -0.046  6.346 0.055
## 1:1-1:4  3.00 -0.196  6.196 0.073
## 2:3-3:4  2.90 -0.296  6.096 0.089
## 3:1-1:4  2.75 -0.446  5.946 0.118
## 3:4-3:1  2.10 -1.096  5.296 0.366
## 3:4-1:1  1.85 -1.346  5.046 0.522
## 3:4-2:1  1.70 -1.496  4.896 0.625
## 1:3-2:3  1.65 -1.546  4.846 0.660
## 3:2-3:3  1.65 -1.546  4.846 0.660
## 1:2-3:3  1.00 -2.196  4.196 0.973
## 1:3-2:2  0.85 -2.346  4.046 0.992
## 2:2-2:3  0.80 -2.396  3.996 0.995
## 3:2-1:2  0.65 -2.546  3.846 0.999
## 2:1-3:1  0.40 -2.796  3.596 1.000
## 1:1-3:1  0.25 -2.946  3.446 1.000
## 2:1-1:1  0.15 -3.046  3.346 1.000

1.Uma amostragem de tempo de tarefa executados por quatro grupos diferentes apresentou os resultados descritos a seguir.

#      1  2  3  4  5  6
# gr1 16 12 14 15
# gr2 12 11 13 18
# gr3 16 19 18 19 17 19
# gr4 20 21 18

dados = c(16, 12, 14, 15, 12, 11, 13, 18, 16, 19, 18, 19, 17, 19, 20, 21, 18)

g = c(rep(1, 4), rep(2, 4), rep(3, 6), rep(4, 3))
model = aov(dados ~ as.factor(g))
summary(model)

##              Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## as.factor(g)  3  99.47   33.16   8.549 0.00215 **
## Residuals    13  50.42    3.88                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

TukeyHSD(model)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = dados ~ as.factor(g))
## 
## $`as.factor(g)`
##          diff       lwr       upr     p adj
## 2-1 -0.750000 -4.837184  3.337184 0.9479794
## 3-1  3.750000  0.018929  7.481071 0.0486895
## 4-1  5.416667  1.002004  9.831329 0.0149391
## 3-2  4.500000  0.768929  8.231071 0.0167106
## 4-2  6.166667  1.752004 10.581329 0.0060170
## 4-3  1.666667 -2.420517  5.753850 0.6393345

  Resposta (a) - A média do grupo gr4 não é significativamente maior do que a média do grupo gr3.

2.Uma amostragem de tempo de tarefa executados por quatro grupos diferentes apresentou os resultados descritos a seguir. Com base em um teste ANOVA, pode-se afirmar que:

#      t1 t2 t3 t4 t5 t6
# gr1  16 12 14 15 19 20
# gr2  12 11 13 18 17 21
# gr3  16 19 18 19 17 19
# gr4  20 21 18 20 21 23

dados = c(16, 12, 14, 15, 19, 20,
          12, 11, 13, 18, 17, 21,
          16, 19, 18, 19, 17, 19,
          20, 21, 18, 20, 21, 23)

g1 = as.factor(rep(1:4, each = 6))
g2 = as.factor(rep(1:6, times = 4))
a = aov(dados~g1+g2)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## g1           3  97.13   32.38   7.573 0.00259 **
## g2           5  80.71   16.14   3.776 0.02057 * 
## Residuals   15  64.13    4.28                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

thsd = TukeyHSD(a, ordered = FALSE)
thsd

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = dados ~ g1 + g2)
## 
## $g1
##           diff        lwr      upr     p adj
## 2-1 -0.6666667 -4.1071845 2.773851 0.9427715
## 3-1  2.0000000 -1.4405178 5.440518 0.3696429
## 4-1  4.5000000  1.0594822 7.940518 0.0089545
## 3-2  2.6666667 -0.7738511 6.107184 0.1589008
## 4-2  5.1666667  1.7261489 8.607184 0.0029866
## 4-3  2.5000000 -0.9405178 5.940518 0.1995226
## 
## $g2
##              diff           lwr      upr     p adj
## 2-1 -2.500000e-01 -5.000054e+00 4.500054 0.9999748
## 3-1 -2.500000e-01 -5.000054e+00 4.500054 0.9999748
## 4-1  2.000000e+00 -2.750054e+00 6.750054 0.7443654
## 5-1  2.500000e+00 -2.250054e+00 7.250054 0.5459628
## 6-1  4.750000e+00 -5.366828e-05 9.500054 0.0500034
## 3-2  1.776357e-15 -4.750054e+00 4.750054 1.0000000
## 4-2  2.250000e+00 -2.500054e+00 7.000054 0.6466577
## 5-2  2.750000e+00 -2.000054e+00 7.500054 0.4489559
## 6-2  5.000000e+00  2.499463e-01 9.750054 0.0363675
## 4-3  2.250000e+00 -2.500054e+00 7.000054 0.6466577
## 5-3  2.750000e+00 -2.000054e+00 7.500054 0.4489559
## 6-3  5.000000e+00  2.499463e-01 9.750054 0.0363675
## 5-4  5.000000e-01 -4.250054e+00 5.250054 0.9992431
## 6-4  2.750000e+00 -2.000054e+00 7.500054 0.4489559
## 6-5  2.250000e+00 -2.500054e+00 7.000054 0.6466577

  Resposta (c) - A média do grupo t5 não é significativamente maior do que a média do grupo t1

3.Uma amostragem de tempo de tarefa executados por quatro grupos diferentes apresentou os resultados descritos a seguir.

#     b1     b1    b1     b2     b2     b2     b3     b3     b3     b4     b4     b4                                                 
#a1  15.1  14.3   15.3   10.8   12.7   11.3   14.7   11.6   13.0   12.5   10.8   11.4  
#a2  13.1  10.0   12.8    8.2   11.5    9.6   12.4   10.5   11.0    7.6    9.7    8.6 
#a3  12.1  13.4   11.4   10.1   11.6   10.9   11.3    9.8    8.8   10.5   10.9   10.3 

dados = c (15.1, 14.3, 15.3, 10.8, 12.7, 11.3, 14.7, 11.6, 13.0, 12.5, 10.8, 11.4, 
           13.1, 10.0, 12.8,  8.2, 11.5,  9.6, 12.4, 10.5, 11.0,  7.6,  9.7,  8.6, 
           12.1, 13.4, 11.4, 10.1, 11.6, 10.9, 11.3,  9.8,  8.8, 10.5, 10.9, 10.3)

g1 = as.factor(rep(1:3, each = 12))
g2 = as.factor(rep(1:4, each = 3, times = 3))
a = aov(dados~g1*g2)
options(scipen = 999)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## g1           2  37.53  18.767  14.611 0.0000707 ***
## g2           3  40.33  13.444  10.467  0.000136 ***
## g1:g2        6  11.23   1.871   1.457  0.234930    
## Residuals   24  30.83   1.284                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

TukeyHSD(a)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = dados ~ g1 * g2)
## 
## $g1
##           diff       lwr        upr     p adj
## 2-1 -2.3750000 -3.530448 -1.2195517 0.0000854
## 3-1 -1.8666667 -3.022115 -0.7112184 0.0013536
## 3-2  0.5083333 -0.647115  1.6637816 0.5241007
## 
## $g2
##           diff       lwr        upr     p adj
## 2-1 -2.3111111 -3.784921 -0.8373010 0.0012365
## 3-1 -1.6000000 -3.073810 -0.1261899 0.0298630
## 4-1 -2.8000000 -4.273810 -1.3261899 0.0001256
## 3-2  0.7111111 -0.762699  2.1849212 0.5529608
## 4-2 -0.4888889 -1.962699  0.9849212 0.7970518
## 4-3 -1.2000000 -2.673810  0.2738101 0.1395579
## 
## $`g1:g2`
##                diff          lwr          upr     p adj
## 2:1-1:1 -2.93333333 -6.269848482  0.403181816 0.1224953
## 3:1-1:1 -2.60000000 -5.936515149  0.736515149 0.2367088
## 1:2-1:1 -3.30000000 -6.636515149  0.036515149 0.0544189
## 2:2-1:1 -5.13333333 -8.469848482 -1.796818184 0.0005241
## 3:2-1:1 -4.03333333 -7.369848482 -0.696818184 0.0090730
## 1:3-1:1 -1.80000000 -5.136515149  1.536515149 0.7221860
## 2:3-1:1 -3.60000000 -6.936515149 -0.263484851 0.0266962
## 3:3-1:1 -4.93333333 -8.269848482 -1.596818184 0.0008829
## 1:4-1:1 -3.33333333 -6.669848482  0.003181816 0.0503716
## 2:4-1:1 -6.26666667 -9.603181816 -2.930151518 0.0000285
## 3:4-1:1 -4.33333333 -7.669848482 -0.996818184 0.0042053
## 3:1-2:1  0.33333333 -3.003181816  3.669848482 0.9999998
## 1:2-2:1 -0.36666667 -3.703181816  2.969848482 0.9999995
## 2:2-2:1 -2.20000000 -5.536515149  1.136515149 0.4552456
## 3:2-2:1 -1.10000000 -4.436515149  2.236515149 0.9849391
## 1:3-2:1  1.13333333 -2.203181816  4.469848482 0.9811990
## 2:3-2:1 -0.66666667 -4.003181816  2.669848482 0.9998008
## 3:3-2:1 -2.00000000 -5.336515149  1.336515149 0.5888315
## 1:4-2:1 -0.40000000 -3.736515149  2.936515149 0.9999988
## 2:4-2:1 -3.33333333 -6.669848482  0.003181816 0.0503716
## 3:4-2:1 -1.40000000 -4.736515149  1.936515149 0.9225925
## 1:2-3:1 -0.70000000 -4.036515149  2.636515149 0.9996840
## 2:2-3:1 -2.53333333 -5.869848482  0.803181816 0.2670079
## 3:2-3:1 -1.43333333 -4.769848482  1.903181816 0.9110184
## 1:3-3:1  0.80000000 -2.536515149  4.136515149 0.9989235
## 2:3-3:1 -1.00000000 -4.336515149  2.336515149 0.9928157
## 3:3-3:1 -2.33333333 -5.669848482  1.003181816 0.3731764
## 1:4-3:1 -0.73333333 -4.069848482  2.603181816 0.9995125
## 2:4-3:1 -3.66666667 -7.003181816 -0.330151518 0.0226869
## 3:4-3:1 -1.73333333 -5.069848482  1.603181816 0.7635953
## 2:2-1:2 -1.83333333 -5.169848482  1.503181816 0.7007046
## 3:2-1:2 -0.73333333 -4.069848482  2.603181816 0.9995125
## 1:3-1:2  1.50000000 -1.836515149  4.836515149 0.8848185
## 2:3-1:2 -0.30000000 -3.636515149  3.036515149 0.9999999
## 3:3-1:2 -1.63333333 -4.969848482  1.703181816 0.8206848
## 1:4-1:2 -0.03333333 -3.369848482  3.303181816 1.0000000
## 2:4-1:2 -2.96666667 -6.303181816  0.369848482 0.1141640
## 3:4-1:2 -1.03333333 -4.369848482  2.303181816 0.9906828
## 3:2-2:2  1.10000000 -2.236515149  4.436515149 0.9849391
## 1:3-2:2  3.33333333 -0.003181816  6.669848482 0.0503716
## 2:3-2:2  1.53333333 -1.803181816  4.869848482 0.8702114
## 3:3-2:2  0.20000000 -3.136515149  3.536515149 1.0000000
## 1:4-2:2  1.80000000 -1.536515149  5.136515149 0.7221860
## 2:4-2:2 -1.13333333 -4.469848482  2.203181816 0.9811990
## 3:4-2:2  0.80000000 -2.536515149  4.136515149 0.9989235
## 1:3-3:2  2.23333333 -1.103181816  5.569848482 0.4340220
## 2:3-3:2  0.43333333 -2.903181816  3.769848482 0.9999973
## 3:3-3:2 -0.90000000 -4.236515149  2.436515149 0.9969900
## 1:4-3:2  0.70000000 -2.636515149  4.036515149 0.9996840
## 2:4-3:2 -2.23333333 -5.569848482  1.103181816 0.4340220
## 3:4-3:2 -0.30000000 -3.636515149  3.036515149 0.9999999
## 2:3-1:3 -1.80000000 -5.136515149  1.536515149 0.7221860
## 3:3-1:3 -3.13333333 -6.469848482  0.203181816 0.0794350
## 1:4-1:3 -1.53333333 -4.869848482  1.803181816 0.8702114
## 2:4-1:3 -4.46666667 -7.803181816 -1.130151518 0.0029778
## 3:4-1:3 -2.53333333 -5.869848482  0.803181816 0.2670079
## 3:3-2:3 -1.33333333 -4.669848482  2.003181816 0.9427194
## 1:4-2:3  0.26666667 -3.069848482  3.603181816 1.0000000
## 2:4-2:3 -2.66666667 -6.003181816  0.669848482 0.2089988
## 3:4-2:3 -0.73333333 -4.069848482  2.603181816 0.9995125
## 1:4-3:3  1.60000000 -1.736515149  4.936515149 0.8381056
## 2:4-3:3 -1.33333333 -4.669848482  2.003181816 0.9427194
## 3:4-3:3  0.60000000 -2.736515149  3.936515149 0.9999280
## 2:4-1:4 -2.93333333 -6.269848482  0.403181816 0.1224953
## 3:4-1:4 -1.00000000 -4.336515149  2.336515149 0.9928157
## 3:4-2:4  1.93333333 -1.403181816  5.269848482 0.6341406

thsd = TukeyHSD(a)[[3]]
options(scipen = 999)
round(thsd[order(rownames(thsd)),],3)

##           diff    lwr    upr p adj
## 1:2-1:1 -3.300 -6.637  0.037 0.054
## 1:2-2:1 -0.367 -3.703  2.970 1.000
## 1:2-3:1 -0.700 -4.037  2.637 1.000
## 1:3-1:1 -1.800 -5.137  1.537 0.722
## 1:3-1:2  1.500 -1.837  4.837 0.885
## 1:3-2:1  1.133 -2.203  4.470 0.981
## 1:3-2:2  3.333 -0.003  6.670 0.050
## 1:3-3:1  0.800 -2.537  4.137 0.999
## 1:3-3:2  2.233 -1.103  5.570 0.434
## 1:4-1:1 -3.333 -6.670  0.003 0.050
## 1:4-1:2 -0.033 -3.370  3.303 1.000
## 1:4-1:3 -1.533 -4.870  1.803 0.870
## 1:4-2:1 -0.400 -3.737  2.937 1.000
## 1:4-2:2  1.800 -1.537  5.137 0.722
## 1:4-2:3  0.267 -3.070  3.603 1.000
## 1:4-3:1 -0.733 -4.070  2.603 1.000
## 1:4-3:2  0.700 -2.637  4.037 1.000
## 1:4-3:3  1.600 -1.737  4.937 0.838
## 2:1-1:1 -2.933 -6.270  0.403 0.122
## 2:2-1:1 -5.133 -8.470 -1.797 0.001
## 2:2-1:2 -1.833 -5.170  1.503 0.701
## 2:2-2:1 -2.200 -5.537  1.137 0.455
## 2:2-3:1 -2.533 -5.870  0.803 0.267
## 2:3-1:1 -3.600 -6.937 -0.263 0.027
## 2:3-1:2 -0.300 -3.637  3.037 1.000
## 2:3-1:3 -1.800 -5.137  1.537 0.722
## 2:3-2:1 -0.667 -4.003  2.670 1.000
## 2:3-2:2  1.533 -1.803  4.870 0.870
## 2:3-3:1 -1.000 -4.337  2.337 0.993
## 2:3-3:2  0.433 -2.903  3.770 1.000
## 2:4-1:1 -6.267 -9.603 -2.930 0.000
## 2:4-1:2 -2.967 -6.303  0.370 0.114
## 2:4-1:3 -4.467 -7.803 -1.130 0.003
## 2:4-1:4 -2.933 -6.270  0.403 0.122
## 2:4-2:1 -3.333 -6.670  0.003 0.050
## 2:4-2:2 -1.133 -4.470  2.203 0.981
## 2:4-2:3 -2.667 -6.003  0.670 0.209
## 2:4-3:1 -3.667 -7.003 -0.330 0.023
## 2:4-3:2 -2.233 -5.570  1.103 0.434
## 2:4-3:3 -1.333 -4.670  2.003 0.943
## 3:1-1:1 -2.600 -5.937  0.737 0.237
## 3:1-2:1  0.333 -3.003  3.670 1.000
## 3:2-1:1 -4.033 -7.370 -0.697 0.009
## 3:2-1:2 -0.733 -4.070  2.603 1.000
## 3:2-2:1 -1.100 -4.437  2.237 0.985
## 3:2-2:2  1.100 -2.237  4.437 0.985
## 3:2-3:1 -1.433 -4.770  1.903 0.911
## 3:3-1:1 -4.933 -8.270 -1.597 0.001
## 3:3-1:2 -1.633 -4.970  1.703 0.821
## 3:3-1:3 -3.133 -6.470  0.203 0.079
## 3:3-2:1 -2.000 -5.337  1.337 0.589
## 3:3-2:2  0.200 -3.137  3.537 1.000
## 3:3-2:3 -1.333 -4.670  2.003 0.943
## 3:3-3:1 -2.333 -5.670  1.003 0.373
## 3:3-3:2 -0.900 -4.237  2.437 0.997
## 3:4-1:1 -4.333 -7.670 -0.997 0.004
## 3:4-1:2 -1.033 -4.370  2.303 0.991
## 3:4-1:3 -2.533 -5.870  0.803 0.267
## 3:4-1:4 -1.000 -4.337  2.337 0.993
## 3:4-2:1 -1.400 -4.737  1.937 0.923
## 3:4-2:2  0.800 -2.537  4.137 0.999
## 3:4-2:3 -0.733 -4.070  2.603 1.000
## 3:4-2:4  1.933 -1.403  5.270 0.634
## 3:4-3:1 -1.733 -5.070  1.603 0.764
## 3:4-3:2 -0.300 -3.637  3.037 1.000
## 3:4-3:3  0.600 -2.737  3.937 1.000

  Resposta (a) - A média do grupo a3:b4 não é significativamente menor do que a média do grupo a3:b1.

**4.Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados a seguir.Assinale a alternativa Falsa.

#     x    y
# 1  6.1  23.7
# 2  3.7  17.8
# 3  6.5  22.4
# 4  5.8  18.9
# 5  5.1  17.4
# 6  4.6  19.2
# 7  9.1  29.2
# 8  6.5  18.2
# 9  7.5  24.7
# 10 5.5  21.3

x = c(6.1, 3.7, 6.5, 5.8, 5.1, 4.6, 9.1, 6.5, 7.5, 5.5)
y = c(23.7, 17.8, 22.4, 18.9, 17.4, 19.2, 29.2, 18.2, 24.7, 21.3)
cbind(x,y)      

##         x    y
##  [1,] 6.1 23.7
##  [2,] 3.7 17.8
##  [3,] 6.5 22.4
##  [4,] 5.8 18.9
##  [5,] 5.1 17.4
##  [6,] 4.6 19.2
##  [7,] 9.1 29.2
##  [8,] 6.5 18.2
##  [9,] 7.5 24.7
## [10,] 5.5 21.3

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)
s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.0535 -1.3674  0.6488  1.3736  2.2930 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)   8.4969     2.8721   2.958  0.01819 * 
## x             2.1164     0.4626   4.575  0.00181 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.105 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7235, Adjusted R-squared:  0.6889 
## F-statistic: 20.93 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.001813

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.88759, p-value = 0.1593

library(lmtest)

## Loading required package: zoo

## 
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 0.68732, df1 = 2, df2 = 6, p-value = 0.5386

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 0.021785, df = 1, p-value = 0.8827

  Resposta (a) - A hipótese Ho : a=0 é aceita.

5.Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados a seguir.Assinale a alternativa FALSA.

#      x     y
# 1   10    104        
# 2   12     58      
# 3   13     67       
# 4   22    111         
# 5   14     73        
# 6   18     87        
# 7    8     86        
# 8    9     46        
# 9   17    176         
# 10   7     34         
# 11  10     53        
# 12  12     57         

x = c(10,12,13,22,14,18,8,9,17,7,10,12)
y = c(104,58,67,111,73,87,86,46,176,34,53,57)

cbind(x,y)      

##        x   y
##  [1,] 10 104
##  [2,] 12  58
##  [3,] 13  67
##  [4,] 22 111
##  [5,] 14  73
##  [6,] 18  87
##  [7,]  8  86
##  [8,]  9  46
##  [9,] 17 176
## [10,]  7  34
## [11,] 10  53
## [12,] 12  57

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -19.756 -16.719 -14.264  -1.801  74.386 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)   14.204     28.987   0.490   0.6347  
## x              5.142      2.169   2.371   0.0392 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 32.07 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3599, Adjusted R-squared:  0.2958 
## F-statistic: 5.622 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.03921

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.66761, p-value = 0.0004181

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 0.35393, df1 = 2, df2 = 8, p-value = 0.7124

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 0.65082, df = 1, p-value = 0.4198

  Resposta (d) - A hipótese de que existe regressão é rejeitada.

6. Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados a seguir. Assinale a alternativa FALSA:

#       x     y
# 1    16    44     
# 2    18    67     
# 3    15    32     
# 4    12    18     
# 5    14     7    
# 6    11     1    
# 7    15    18     
# 8    12    -9     
# 9    11    21     
# 10   16    58      
# 11   13    25      
# 12   19    71      

x = c(16,18,15,12,14,11,15,12,11,16,13,19)
y = c(44,67,32,18,7,1,18,-9,21,58,25,71)

cbind(x,y)      

##        x  y
##  [1,] 16 44
##  [2,] 18 67
##  [3,] 15 32
##  [4,] 12 18
##  [5,] 14  7
##  [6,] 11  1
##  [7,] 15 18
##  [8,] 12 -9
##  [9,] 11 21
## [10,] 16 58
## [11,] 13 25
## [12,] 19 71

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -19.589  -6.572   1.222   7.264  19.859 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -92.167     22.291  -4.135 0.002029 ** 
## x              8.483      1.532   5.538 0.000248 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 13.41 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7541, Adjusted R-squared:  0.7296 
## F-statistic: 30.67 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.0002481

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.92581, p-value = 0.3378

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 1.5936, df1 = 2, df2 = 8, p-value = 0.2615

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 1.661, df = 1, p-value = 0.1975

  (e) A hipótese de que o modelo y = a + bx é correta é rejeitada.

7. Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados a seguir. Assinale a alternativa FALSE.

#       x     y
# 1     7   338     
# 2    10   204     
# 3    11   208      
# 4    11   210      
# 5    12   222      
# 6    13   229      
# 7    14   235      
# 8    15   247      
# 9    15   259      
# 10   17   266       
# 11   17   270       
# 12   17   550  

x = c(7,10,11,11,12,13,14,15,15,17,17,17)
y = c(338,204,208,210,222,229,235,247,259,266,270,550)

cbind(x,y)      

##        x   y
##  [1,]  7 338
##  [2,] 10 204
##  [3,] 11 208
##  [4,] 11 210
##  [5,] 12 222
##  [6,] 13 229
##  [7,] 14 235
##  [8,] 15 247
##  [9,] 15 259
## [10,] 17 266
## [11,] 17 270
## [12,] 17 550

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -42.20 -39.80 -37.20 -32.43 243.31 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)  139.617    122.842   1.137    0.282
## x              9.828      9.038   1.087    0.302
## 
## Residual standard error: 94.9 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1057, Adjusted R-squared:  0.01632 
## F-statistic: 1.182 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.3024

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.52274, p-value = 0.00002612

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 2.6408, df1 = 2, df2 = 8, p-value = 0.1316

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 0.51211, df = 1, p-value = 0.4742

  (a) A hipótese de que os resíduos são normais é aceita.

8. Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados a seguir. Assinale a alternativa FALSE.

#       x     y
# 1    7.2  26.8     
# 2    5.3  18.4     
# 3    5.4  17.9      
# 4    6.3  23.9      
# 5    9.7  27.4      
# 6    7.3  25.1      
# 7    5.0  18.3      
# 8    6.0  21.0      
# 9    5.0  18.2      
# 10   6.6  20.8    

x = c(7.2,5.3,5.4,6.3,9.7,7.3,5.0,6.0,6.0,6.6)
y = c(26.8,18.4,17.9,23.9,27.4,25.1,18.3,21.0,18.2,20.8)

cbind(x,y)      

##         x    y
##  [1,] 7.2 26.8
##  [2,] 5.3 18.4
##  [3,] 5.4 17.9
##  [4,] 6.3 23.9
##  [5,] 9.7 27.4
##  [6,] 7.3 25.1
##  [7,] 5.0 18.3
##  [8,] 6.0 21.0
##  [9,] 6.0 18.2
## [10,] 6.6 20.8

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.4566 -1.3295 -0.3173  1.1365  3.3349 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)   6.6143     3.2813   2.016  0.07858 . 
## x             2.3404     0.4965   4.713  0.00151 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.036 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7352, Adjusted R-squared:  0.7021 
## F-statistic: 22.22 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.001515

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.9456, p-value = 0.6168

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 2.7326, df1 = 2, df2 = 6, p-value = 0.1433

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 1.1752, df = 1, p-value = 0.2783

  (a) A hipótese de que os resíduos são normais é rejeitada.

9. Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados a seguir. Assinale a alternativa FALSE.

#       x     y
# 1    18   180     
# 2    16    84     
# 3    14    76      
# 4    18    89      
# 5    10    56      
# 6    10    52      
# 7    13   126      
# 8    15    73      
# 9    12   120      
# 10   17    87       
# 11   13    68       
# 12   10    48  

x = c(18,16,14,18,10,10,13,15,12,17,13,10)
y = c(180,84,76,89,56,52,126,73,120,87,68,48)

cbind(x,y)      

##        x   y
##  [1,] 18 180
##  [2,] 16  84
##  [3,] 14  76
##  [4,] 18  89
##  [5,] 10  56
##  [6,] 10  52
##  [7,] 13 126
##  [8,] 15  73
##  [9,] 12 120
## [10,] 17  87
## [11,] 13  68
## [12,] 10  48

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -28.368 -20.388 -13.438   6.797  62.632 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)   -8.421     46.452  -0.181   0.8598  
## x              6.988      3.287   2.126   0.0594 .
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 32.82 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3112, Adjusted R-squared:  0.2424 
## F-statistic: 4.519 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.05944

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.7654, p-value = 0.003888

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 2.771, df1 = 2, df2 = 8, p-value = 0.1218

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 2.1824, df = 1, p-value = 0.1396

  (e) A hipótese de que os resíduos são normais é aceita.

10. Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados a seguir. Assinale a alternativa FALSE.

#       x     y
# 1    15    37     
# 2    21   143     
# 3    17    64      
# 4    18    68      
# 5    17    54      
# 6    17    48      
# 7    13    13      
# 8    19   100      
# 9    10    25      
# 10   15    24       
# 11   14    28       
# 12   14    19  

x = c(15,21,17,18,17,17,13,19,10,15,14,14)
y = c(37,143,64,68,54,48,13,100,25,24,28,19)

cbind(x,y)      

##        x   y
##  [1,] 15  37
##  [2,] 21 143
##  [3,] 17  64
##  [4,] 18  68
##  [5,] 17  54
##  [6,] 17  48
##  [7,] 13  13
##  [8,] 19 100
##  [9,] 10  25
## [10,] 15  24
## [11,] 14  28
## [12,] 14  19

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -18.537 -11.357  -6.280   2.323  38.744 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -126.305     32.088  -3.936 0.002792 ** 
## x             11.256      1.995   5.642 0.000215 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 19.51 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7609, Adjusted R-squared:  0.737 
## F-statistic: 31.83 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.0002149

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.81983, p-value = 0.01589

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 40.128, df1 = 2, df2 = 8, p-value = 0.00006751

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 0.38903, df = 1, p-value = 0.5328

1. Em um experimento, três diferentes pessoas resolveram dois tipos diferentes de jogos, sendo que cada tipo de jogo foi resolvido três vezes por cada uma das três pessoas. A tabela a seguir apresenta os tempos em minutos dispendidos por cada pessoa em cada resolução.

#                 Jogo 1            Jogo 2
#            ______________    ______________      
#            R1    R2    R3    R1    R2    R3
# Pessoa 1  6.20  6.44  5.07  5.34  5.99  4.89
# Pessoa 2  6.36  8.76  6.82  5.48  4.27  4.40
# Pessoa 3  6.57  8.31  8.31  5.55  4.99  6.10

dados = c(6.20,6.44,5.07,5.34,5.99,4.89,
          6.36,8.76,6.82,5.48,4.27,4.40,
          6.57,8.31,8.31,5.55,4.99,6.1)

g1 = as.factor(rep(1:3, each = 6))
g2 = as.factor(rep(1:2, each = 3, times = 3))
a = aov(dados~g1*g2)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## g1           2  2.970   1.485   2.110 0.163920    
## g2           1 13.922  13.922  19.784 0.000796 ***
## g1:g2        2  3.713   1.856   2.638 0.112299    
## Residuals   12  8.444   0.704                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

  Como há mais de uma resposta por célula, pode-se testar cada um dos efeitos, bem como a sua interação. Percebe-se que apenas o p-valor relativo ao fator jogo é significante, portanto pode-se dizer que um jogo é significativamente diferente do outro, considerado um α = 0.05.

2. Observa-se as notas médias de alunos que ocupam diferentes salas, em diferentes disciplinas. Cada sala é projetada para oferecer um ambiente mais adequado a cada disciplina. Supondo que você quer verificar se o projeto foi efetivo, como deve ser o desenho de sua pesquisa? Supondo que haja 4 disciplinas e 4 salas, qual deve ser o número mínimo de notas coletadas e em que condições para cumprir com os requisitos do trabalho de pesquisa?

  Para demonstrar que algumas combinações de disciplinas com salas funcionam melhor que outras, deve-se buscar a significãncia para a interação dos fatores disciplina e sala (disciplina:sala). Assim sendo, são necessárias ao menos duas observações por célula.Como são propostas 4 disciplinas e 4 salas, o desenho de pesquisa deve contemplar ao menos 32 observações (4 × 4 × 2).

3.Supondo que, nos dados a seguir, y = f(x), encontre o modelo de regressão e verifique sua adequação, comentando os resultados.

#     x1 x2 x3 x4 x5 y
# 1   4  3  5  5  2  5
# 2   3  3  1  5  5  5
# 3   3  2  3  3  4  4
# 4   1  5  2  1  2  4
# 5   4  5  2  2  4  4
# 6   2  3  2  1  3  2
# 7   1  2  1  3  1  1
# 8   4  1  2  4  4  3
# 9   5  3  3  1  1  3
# 10  4  3  1  3  5  5
# 11  4  1  2  2  4  3
# 12  3  1  4  1  3  3

x1 = c(4,3,3,1,4,2,1,4,5,4,4,3)
x2 = c(3,3,2,5,5,3,2,1,3,3,1,1)
x3 = c(5,1,3,2,2,2,1,2,3,1,2,4)
x4 = c(5,5,3,1,2,1,3,4,1,3,2,1)
x5 = c(2,5,4,2,4,3,1,4,1,5,4,3)

y = c(5,5,4,4,4,2,1,3,3,5,3,3)


m = lm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5, data.frame(x))
s = summary(m)
s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4 + x5, data = data.frame(x))
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -0.9596 -0.3186  0.0908  0.3106  0.7664 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)  -1.6924     1.0889  -1.554   0.1711  
## x1            0.1404     0.2072   0.678   0.5233  
## x2            0.5245     0.1679   3.123   0.0205 *
## x3            0.4292     0.2202   1.950   0.0991 .
## x4            0.2818     0.1592   1.770   0.1271  
## x5            0.5115     0.1994   2.565   0.0426 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.7378 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8079, Adjusted R-squared:  0.6478 
## F-statistic: 5.046 on 5 and 6 DF,  p-value: 0.03688

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.94874, p-value = 0.6186

library(lmtest)
bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 9.1864, df = 5, p-value = 0.1019

resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 0.81719, df1 = 2, df2 = 4, p-value = 0.504

  O p-value do teste RESET de Ramsey acima de 0.05 indica a correta forma funcional do modelo. Pode-se estimar que y é causado por x2 e x3 e que aproximadamente 64.8% da sua variação é explicada por essas duas variáveis.

4.A irritabilidade de uma pessoa foi medida em uma escala de 0 a 10, assim como as suas horas médias de sono diário ao longo de duas semanas e o resultado encontra-se tabulado a seguir. Monte um modelo de regressão, supondo que as horas médias de sono são um antecedente da irritabilidade e discuta os resultados.

#    irrit horas
# 1    9    5
# 2    6    6
# 3    9    4
# 4    2    9
# 5    10   5
# 6    4    7
# 7    4    8
# 8    5    9
# 9    6    3
# 10  10    4
# 11   2    6
# 12   2    8
# 13   4    5
# 14   9    3
# 15   5    6
# 16   4    8
# 17   2    8
# 18   3    7

irrit = c(9,6,9,2,10,4,4,5,6,10,2,2,4,9,5,4,2,3)
horas = c(5,6,4,9,5,7,8,9,3,4,6,8,5,3,6,8,8,7)

m = lm(irrit ~ horas)
s = summary(m)
s

## 
## Call:
## lm(formula = irrit ~ horas)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.5142 -1.3437 -0.0142  1.1505  3.4005 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value   Pr(>|t|)    
## (Intercept)  12.0258     1.6317    7.37 0.00000158 ***
## horas        -1.0853     0.2529   -4.29   0.000562 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.031 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.535,  Adjusted R-squared:  0.5059 
## F-statistic: 18.41 on 1 and 16 DF,  p-value: 0.0005617

plot(horas, irrit, xlim = c(0, max(horas)))
abline(m)

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.97374, p-value = 0.8644

bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 1.4731, df = 1, p-value = 0.2249

reset(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 2.3335, df1 = 2, df2 = 14, p-value = 0.1335

Observa-se uma estatística F significante, indicando a presença de regressão. Os testes de adequação não revelaram anormalidades. Como esperado, o sinal do coeficiente da variável horas é negativo, indicando que quanto mais horas de sono, menor a irritabilidade. Para zero horas de sono, tem-se uma irritablidade máxima em torno de 12.Observa-se um r^2 ajustado de 0.506, indicando que aproximadamente 51% da variância da irritabilidade é explicada pelas horas de sono.

1.Uma amostragem de tempos de tarefas executadas por quatro grupos diferentes apresentou os resultados descritos a seguir. Com base em um teste ANOVA, pode-se afirmar que:

#      1  2  3  4  5  6
# gr1 16 22 24 15
# gr2 12 11 13 18 18
# gr3 16 19 18 19 17 19
# gr4 20 21 18 19

dados = c(16, 22, 24, 15, 12, 11, 13, 18, 13, 16, 19, 18, 19, 17, 19, 20, 21, 18, 19)

g = c(rep(1, 4), rep(2, 5), rep(3, 6), rep(4, 4))
model = aov(dados ~ as.factor(g))
summary(model)

##              Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## as.factor(g)  3  113.5   37.82    5.62 0.00871 **
## Residuals    15  101.0    6.73                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

TukeyHSD(model)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = dados ~ as.factor(g))
## 
## $`as.factor(g)`
##      diff          lwr       upr     p adj
## 2-1 -5.85 -10.86568399 -0.834316 0.0199378
## 3-1 -1.25  -6.07634417  3.576344 0.8767443
## 4-1  0.25  -5.03699515  5.536995 0.9990542
## 3-2  4.60   0.07248784  9.127512 0.0458412
## 4-2  6.10   1.08431601 11.115684 0.0150575
## 4-3  1.50  -3.32634417  6.326344 0.8071663

  A média do grupo gr3 é significativamente maior que a média do grupo gr2

2.Uma amostragem de tempos de tarefas executadas por quatro grupos diferentes apresentou os resultados descritos a seguir.Com base em um teste ANOVA, pode-se afirmar que:

#      t1 t2 t3 t4 t5 t6
# gr1  16 12 14 15 19 20
# gr2  12 11 13 18 17 21
# gr3  16 19 18 19 17 19
# gr4  20 21 18 20 21 23

dados = c(16, 12, 14, 15, 19, 20,
          12, 11, 13, 18, 17, 21,
          16, 19, 18, 19, 17, 19,
          20, 21, 18, 20, 21, 23)

g1 = as.factor(rep(1:4, each = 6))
g2 = as.factor(rep(1:6, times = 4))
a = aov(dados~g1+g2)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## g1           3  97.13   32.38   7.573 0.00259 **
## g2           5  80.71   16.14   3.776 0.02057 * 
## Residuals   15  64.13    4.28                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

thsd = TukeyHSD(a, ordered = FALSE)
thsd

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = dados ~ g1 + g2)
## 
## $g1
##           diff        lwr      upr     p adj
## 2-1 -0.6666667 -4.1071845 2.773851 0.9427715
## 3-1  2.0000000 -1.4405178 5.440518 0.3696429
## 4-1  4.5000000  1.0594822 7.940518 0.0089545
## 3-2  2.6666667 -0.7738511 6.107184 0.1589008
## 4-2  5.1666667  1.7261489 8.607184 0.0029866
## 4-3  2.5000000 -0.9405178 5.940518 0.1995226
## 
## $g2
##                         diff            lwr      upr     p adj
## 2-1 -0.250000000000001776357 -5.00005366828 4.500054 0.9999748
## 3-1 -0.250000000000000000000 -5.00005366828 4.500054 0.9999748
## 4-1  1.999999999999996447286 -2.75005366828 6.750054 0.7443654
## 5-1  2.500000000000000000000 -2.25005366828 7.250054 0.5459628
## 6-1  4.750000000000000000000 -0.00005366828 9.500054 0.0500034
## 3-2  0.000000000000001776357 -4.75005366828 4.750054 1.0000000
## 4-2  2.249999999999998223643 -2.50005366828 7.000054 0.6466577
## 5-2  2.750000000000001776357 -2.00005366828 7.500054 0.4489559
## 6-2  5.000000000000001776357  0.24994633172 9.750054 0.0363675
## 4-3  2.249999999999996447286 -2.50005366828 7.000054 0.6466577
## 5-3  2.750000000000000000000 -2.00005366828 7.500054 0.4489559
## 6-3  5.000000000000000000000  0.24994633172 9.750054 0.0363675
## 5-4  0.500000000000003552714 -4.25005366828 5.250054 0.9992431
## 6-4  2.750000000000003552714 -2.00005366828 7.500054 0.4489559
## 6-5  2.250000000000000000000 -2.50005366828 7.000054 0.6466577

  A média do grupo t6 é significativamente maior que a média do grupo t3

3.Uma amostragem de tempos de tarefas executadas por quatro grupos diferentes apresentou os resultados descritos a seguir. Com base em um teste ANOVA, pode-se afirmar que:

#     ____________________________________    ______________________________________
#     b1     b1    b1     b2     b2     b2     b3     b3     b3     b4     b4     b4                                                 
#a1  13.9  14.7   12.5   13.9   13.3   12.7   14.1   12.3   13.8   14.0   10.9   13.0  
#a2  11.9  12.9   14.4   12.3   11.8   11.9   11.6   13.3   13.1   12.2   10.3   10.5 
#a3  12.9  14.6   12.9   11.8    9.6   11.7   12.2   13.5   10.4   12.6   10.1   12.4 

dados = c(13.9,14.7,12.5,13.9,13.3,12.7,14.1,12.3,13.8,14.0,10.9,13.0,
          11.9,12.9,14.4,12.3,11.8,11.9,11.6,13.3,13.1,12.2,10.3,10.5,
          12.9,14.6,12.9,11.8,9.6,11.7,12.2,13.5,10.4,12.6,10.1,12.4)


g1 = as.factor(rep(1:3, each = 12))
g2 = as.factor(rep(1:4, each = 3, times = 3))
a = aov(dados~g1*g2)
summary(a)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## g1           2 10.445   5.222   4.043 0.0307 *
## g2           3 13.887   4.629   3.584 0.0285 *
## g1:g2        6  4.768   0.795   0.615 0.7160  
## Residuals   24 31.000   1.292                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

TukeyHSD(a)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = dados ~ g1 * g2)
## 
## $g1
##       diff       lwr         upr     p adj
## 2-1 -1.075 -2.233692  0.08369219 0.0725588
## 3-1 -1.200 -2.358692 -0.04130781 0.0413740
## 3-2 -0.125 -1.283692  1.03369219 0.9608446
## 
## $g2
##           diff        lwr        upr     p adj
## 2-1 -1.3000000 -2.7779478  0.1779478 0.0988577
## 3-1 -0.7111111 -2.1890589  0.7668367 0.5552192
## 4-1 -1.6333333 -3.1112811 -0.1553856 0.0264734
## 3-2  0.5888889 -0.8890589  2.0668367 0.6934278
## 4-2 -0.3333333 -1.8112811  1.1446144 0.9239589
## 4-3 -0.9222222 -2.4001700  0.5557255 0.3350388
## 
## $`g1:g2`
##                diff        lwr       upr     p adj
## 2:1-1:1 -0.63333333 -3.9792157 2.7125490 0.9998815
## 3:1-1:1 -0.23333333 -3.5792157 3.1125490 1.0000000
## 1:2-1:1 -0.40000000 -3.7458823 2.9458823 0.9999989
## 2:2-1:1 -1.70000000 -5.0458823 1.6458823 0.7861326
## 3:2-1:1 -2.66666667 -6.0125490 0.6792157 0.2119744
## 1:3-1:1 -0.30000000 -3.6458823 3.0458823 0.9999999
## 2:3-1:1 -1.03333333 -4.3792157 2.3125490 0.9908857
## 3:3-1:1 -1.66666667 -5.0125490 1.6792157 0.8050243
## 1:4-1:1 -1.06666667 -4.4125490 2.2792157 0.9883328
## 2:4-1:1 -2.70000000 -6.0458823 0.6458823 0.1989700
## 3:4-1:1 -2.00000000 -5.3458823 1.3458823 0.5926454
## 3:1-2:1  0.40000000 -2.9458823 3.7458823 0.9999989
## 1:2-2:1  0.23333333 -3.1125490 3.5792157 1.0000000
## 2:2-2:1 -1.06666667 -4.4125490 2.2792157 0.9883328
## 3:2-2:1 -2.03333333 -5.3792157 1.3125490 0.5700123
## 1:3-2:1  0.33333333 -3.0125490 3.6792157 0.9999998
## 2:3-2:1 -0.40000000 -3.7458823 2.9458823 0.9999989
## 3:3-2:1 -1.03333333 -4.3792157 2.3125490 0.9908857
## 1:4-2:1 -0.43333333 -3.7792157 2.9125490 0.9999974
## 2:4-2:1 -2.06666667 -5.4125490 1.2792157 0.5474444
## 3:4-2:1 -1.36666667 -4.7125490 1.9792157 0.9343023
## 1:2-3:1 -0.16666667 -3.5125490 3.1792157 1.0000000
## 2:2-3:1 -1.46666667 -4.8125490 1.8792157 0.9000319
## 3:2-3:1 -2.43333333 -5.7792157 0.9125490 0.3209375
## 1:3-3:1 -0.06666667 -3.4125490 3.2792157 1.0000000
## 2:3-3:1 -0.80000000 -4.1458823 2.5458823 0.9989503
## 3:3-3:1 -1.43333333 -4.7792157 1.9125490 0.9124657
## 1:4-3:1 -0.83333333 -4.1792157 2.5125490 0.9984910
## 2:4-3:1 -2.46666667 -5.8125490 0.8792157 0.3034535
## 3:4-3:1 -1.76666667 -5.1125490 1.5792157 0.7462440
## 2:2-1:2 -1.30000000 -4.6458823 2.0458823 0.9521951
## 3:2-1:2 -2.26666667 -5.6125490 1.0792157 0.4171614
## 1:3-1:2  0.10000000 -3.2458823 3.4458823 1.0000000
## 2:3-1:2 -0.63333333 -3.9792157 2.7125490 0.9998815
## 3:3-1:2 -1.26666667 -4.6125490 2.0792157 0.9597342
## 1:4-1:2 -0.66666667 -4.0125490 2.6792157 0.9998060
## 2:4-1:2 -2.30000000 -5.6458823 1.0458823 0.3968278
## 3:4-1:2 -1.60000000 -4.9458823 1.7458823 0.8403792
## 3:2-2:2 -0.96666667 -4.3125490 2.3792157 0.9946632
## 1:3-2:2  1.40000000 -1.9458823 4.7458823 0.9238867
## 2:3-2:2  0.66666667 -2.6792157 4.0125490 0.9998060
## 3:3-2:2  0.03333333 -3.3125490 3.3792157 1.0000000
## 1:4-2:2  0.63333333 -2.7125490 3.9792157 0.9998815
## 2:4-2:2 -1.00000000 -4.3458823 2.3458823 0.9929754
## 3:4-2:2 -0.30000000 -3.6458823 3.0458823 0.9999999
## 1:3-3:2  2.36666667 -0.9792157 5.7125490 0.3577354
## 2:3-3:2  1.63333333 -1.7125490 4.9792157 0.8231259
## 3:3-3:2  1.00000000 -2.3458823 4.3458823 0.9929754
## 1:4-3:2  1.60000000 -1.7458823 4.9458823 0.8403792
## 2:4-3:2 -0.03333333 -3.3792157 3.3125490 1.0000000
## 3:4-3:2  0.66666667 -2.6792157 4.0125490 0.9998060
## 2:3-1:3 -0.73333333 -4.0792157 2.6125490 0.9995250
## 3:3-1:3 -1.36666667 -4.7125490 1.9792157 0.9343023
## 1:4-1:3 -0.76666667 -4.1125490 2.5792157 0.9992855
## 2:4-1:3 -2.40000000 -5.7458823 0.9458823 0.3390375
## 3:4-1:3 -1.70000000 -5.0458823 1.6458823 0.7861326
## 3:3-2:3 -0.63333333 -3.9792157 2.7125490 0.9998815
## 1:4-2:3 -0.03333333 -3.3792157 3.3125490 1.0000000
## 2:4-2:3 -1.66666667 -5.0125490 1.6792157 0.8050243
## 3:4-2:3 -0.96666667 -4.3125490 2.3792157 0.9946632
## 1:4-3:3  0.60000000 -2.7458823 3.9458823 0.9999299
## 2:4-3:3 -1.03333333 -4.3792157 2.3125490 0.9908857
## 3:4-3:3 -0.33333333 -3.6792157 3.0125490 0.9999998
## 2:4-1:4 -1.63333333 -4.9792157 1.7125490 0.8231259
## 3:4-1:4 -0.93333333 -4.2792157 2.4125490 0.9960070
## 3:4-2:4  0.70000000 -2.6458823 4.0458823 0.9996922

thsd = TukeyHSD(a)[[3]]
options(scipen = 999)
round(thsd[order(rownames(thsd)),],3)

##           diff    lwr   upr p adj
## 1:2-1:1 -0.400 -3.746 2.946 1.000
## 1:2-2:1  0.233 -3.113 3.579 1.000
## 1:2-3:1 -0.167 -3.513 3.179 1.000
## 1:3-1:1 -0.300 -3.646 3.046 1.000
## 1:3-1:2  0.100 -3.246 3.446 1.000
## 1:3-2:1  0.333 -3.013 3.679 1.000
## 1:3-2:2  1.400 -1.946 4.746 0.924
## 1:3-3:1 -0.067 -3.413 3.279 1.000
## 1:3-3:2  2.367 -0.979 5.713 0.358
## 1:4-1:1 -1.067 -4.413 2.279 0.988
## 1:4-1:2 -0.667 -4.013 2.679 1.000
## 1:4-1:3 -0.767 -4.113 2.579 0.999
## 1:4-2:1 -0.433 -3.779 2.913 1.000
## 1:4-2:2  0.633 -2.713 3.979 1.000
## 1:4-2:3 -0.033 -3.379 3.313 1.000
## 1:4-3:1 -0.833 -4.179 2.513 0.998
## 1:4-3:2  1.600 -1.746 4.946 0.840
## 1:4-3:3  0.600 -2.746 3.946 1.000
## 2:1-1:1 -0.633 -3.979 2.713 1.000
## 2:2-1:1 -1.700 -5.046 1.646 0.786
## 2:2-1:2 -1.300 -4.646 2.046 0.952
## 2:2-2:1 -1.067 -4.413 2.279 0.988
## 2:2-3:1 -1.467 -4.813 1.879 0.900
## 2:3-1:1 -1.033 -4.379 2.313 0.991
## 2:3-1:2 -0.633 -3.979 2.713 1.000
## 2:3-1:3 -0.733 -4.079 2.613 1.000
## 2:3-2:1 -0.400 -3.746 2.946 1.000
## 2:3-2:2  0.667 -2.679 4.013 1.000
## 2:3-3:1 -0.800 -4.146 2.546 0.999
## 2:3-3:2  1.633 -1.713 4.979 0.823
## 2:4-1:1 -2.700 -6.046 0.646 0.199
## 2:4-1:2 -2.300 -5.646 1.046 0.397
## 2:4-1:3 -2.400 -5.746 0.946 0.339
## 2:4-1:4 -1.633 -4.979 1.713 0.823
## 2:4-2:1 -2.067 -5.413 1.279 0.547
## 2:4-2:2 -1.000 -4.346 2.346 0.993
## 2:4-2:3 -1.667 -5.013 1.679 0.805
## 2:4-3:1 -2.467 -5.813 0.879 0.303
## 2:4-3:2 -0.033 -3.379 3.313 1.000
## 2:4-3:3 -1.033 -4.379 2.313 0.991
## 3:1-1:1 -0.233 -3.579 3.113 1.000
## 3:1-2:1  0.400 -2.946 3.746 1.000
## 3:2-1:1 -2.667 -6.013 0.679 0.212
## 3:2-1:2 -2.267 -5.613 1.079 0.417
## 3:2-2:1 -2.033 -5.379 1.313 0.570
## 3:2-2:2 -0.967 -4.313 2.379 0.995
## 3:2-3:1 -2.433 -5.779 0.913 0.321
## 3:3-1:1 -1.667 -5.013 1.679 0.805
## 3:3-1:2 -1.267 -4.613 2.079 0.960
## 3:3-1:3 -1.367 -4.713 1.979 0.934
## 3:3-2:1 -1.033 -4.379 2.313 0.991
## 3:3-2:2  0.033 -3.313 3.379 1.000
## 3:3-2:3 -0.633 -3.979 2.713 1.000
## 3:3-3:1 -1.433 -4.779 1.913 0.912
## 3:3-3:2  1.000 -2.346 4.346 0.993
## 3:4-1:1 -2.000 -5.346 1.346 0.593
## 3:4-1:2 -1.600 -4.946 1.746 0.840
## 3:4-1:3 -1.700 -5.046 1.646 0.786
## 3:4-1:4 -0.933 -4.279 2.413 0.996
## 3:4-2:1 -1.367 -4.713 1.979 0.934
## 3:4-2:2 -0.300 -3.646 3.046 1.000
## 3:4-2:3 -0.967 -4.313 2.379 0.995
## 3:4-2:4  0.700 -2.646 4.046 1.000
## 3:4-3:1 -1.767 -5.113 1.579 0.746
## 3:4-3:2  0.667 -2.679 4.013 1.000
## 3:4-3:3 -0.333 -3.679 3.013 1.000

  A média do grupo a3:b2 é significativamente menor que a média do grupo a1:b1

4.Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados abaixo. Assinale a alternativa FALSA.

#       x     y
# 1    7.7  -29.5     
# 2    6.0  -23.7     
# 3    5.6  -19.7      
# 4    5.2  -19.0      
# 5    3.7  -14.2      
# 6    6.4  -22.7      
# 7    4.2  -16.4      
# 8    4.7  -14.9      
# 9    6.7  -24.9      
# 10   3.4  -14.3  

x = c(7.7,6.0,5.6,5.2,3.7,6.4,4.2,4.7,6.7,3.4)
y = c(-29.5,-23.7,-19.7,-19.0,-14.2,-22.7,-16.4,-14.9,-24.9,-14.3)

cbind(x,y)      

##         x     y
##  [1,] 7.7 -29.5
##  [2,] 6.0 -23.7
##  [3,] 5.6 -19.7
##  [4,] 5.2 -19.0
##  [5,] 3.7 -14.2
##  [6,] 6.4 -22.7
##  [7,] 4.2 -16.4
##  [8,] 4.7 -14.9
##  [9,] 6.7 -24.9
## [10,] 3.4 -14.3

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.4710 -0.9873 -0.1997  0.8360  2.6388 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value   Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -0.5109     1.8389  -0.278      0.788    
## x            -3.6230     0.3332 -10.872 0.00000453 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.383 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9366, Adjusted R-squared:  0.9287 
## F-statistic: 118.2 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.000004531

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.93258, p-value = 0.4737

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 1.9528, df1 = 2, df2 = 6, p-value = 0.2222

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 0.24648, df = 1, p-value = 0.6196

  A hipótese de que o modelo y = a + bx é correta é rejeitada

5.Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados abaixo. Assinale a alternativa FALSA.

#       x     y
# 1    13   -460     
# 2    13   -468     
# 3    15    251      
# 4    15    251      
# 5    15    251      
# 6    16    253      
# 7    15    256      
# 8    16    261      
# 9    17    271      
# 10   17    271       
# 11   18    574       
# 12   20    602  

x = c(13,13,15,15,15,16,15,16,17,17,18,20)
y = c(-460,-468,251,251,251,253,256,261,271,271,574,602)

cbind(x,y)      

##        x    y
##  [1,] 13 -460
##  [2,] 13 -468
##  [3,] 15  251
##  [4,] 15  251
##  [5,] 15  251
##  [6,] 16  253
##  [7,] 15  256
##  [8,] 16  261
##  [9,] 17  271
## [10,] 17  271
## [11,] 18  574
## [12,] 20  602

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -254.66 -113.70   40.36  177.69  182.69 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -2076.55     427.13  -4.862 0.000660 ***
## x             143.32      26.78   5.351 0.000323 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 177 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7412, Adjusted R-squared:  0.7153 
## F-statistic: 28.64 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.000323

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.87547, p-value = 0.07671

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 14.632, df1 = 2, df2 = 8, p-value = 0.002124

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 4.2862, df = 1, p-value = 0.03842

  A hipótese de que os resíduos são normais é rejeitada

6.Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados abaixo. Assinale a alternativa FALSA.

x = c(14,12,15,12,23,12,15,18,17,17,15,12)
y = c(29,12,53,8,163,21,26,84,52,64,26,14)

cbind(x,y)      

##        x   y
##  [1,] 14  29
##  [2,] 12  12
##  [3,] 15  53
##  [4,] 12   8
##  [5,] 23 163
##  [6,] 12  21
##  [7,] 15  26
##  [8,] 18  84
##  [9,] 17  52
## [10,] 17  64
## [11,] 15  26
## [12,] 12  14

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -17.872  -8.402   2.127   8.598  17.009 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value    Pr(>|t|)    
## (Intercept) -147.601     18.654  -7.913 0.000012962 ***
## x             12.765      1.205  10.598 0.000000931 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 13.07 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9182, Adjusted R-squared:  0.9101 
## F-statistic: 112.3 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.0000009315

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.90899, p-value = 0.2071

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 5.3289, df1 = 2, df2 = 8, p-value = 0.0338

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 1.3071, df = 1, p-value = 0.2529

  A hipótese de que o modelo y = a + bx é correta é aceita

7.Uma regressão da forma y = a + bx foi conduzida com base nos dados abaixo. Assinale a alternativa FALSA.

x = c(21,28,26,28,19,25,23,26,19,23,20,17,19,20)
y = c(80,81,82,93,94,99,103,107,110,114,117,124,125,149)

cbind(x,y)      

##        x   y
##  [1,] 21  80
##  [2,] 28  81
##  [3,] 26  82
##  [4,] 28  93
##  [5,] 19  94
##  [6,] 25  99
##  [7,] 23 103
##  [8,] 26 107
##  [9,] 19 110
## [10,] 23 114
## [11,] 20 117
## [12,] 17 124
## [13,] 19 125
## [14,] 20 149

m = lm(y~x)
s = summary(lm(y~x))
plot(x, y)
abline(m)

s

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -30.007  -7.010   1.493   7.770  35.889 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)    
## (Intercept)  175.203     28.631   6.119 0.0000518 ***
## x             -3.105      1.261  -2.462    0.0299 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 16.61 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3356, Adjusted R-squared:  0.2802 
## F-statistic: 6.061 on 1 and 12 DF,  p-value: 0.02994

shapiro.test(m$res)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  m$res
## W = 0.95761, p-value = 0.6836

library(lmtest)
library(zoo)
resettest(m)

## 
##  RESET test
## 
## data:  m
## RESET = 0.015172, df1 = 2, df2 = 10, p-value = 0.985

lmtest::bptest(m)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  m
## BP = 0.98963, df = 1, p-value = 0.3198

  A hipótese Ho : b = −5 é rejeitada