Según la RAE, la intuición es “la facultad de comprender las cosas instantáneamente, sin necesidad de razonamiento”, lo cual resulta útil en nuestra vida cotidiana ya que no podemos analizar cada paso que damos nos valemos de formulaciones intuitivas que sirvan para explicar las cosas de una forma sencilla e inmediata, pero ¿se puede recurrir a la intuición para solucionar un problema especifico?

La intuición surge una vez que se ha identificado el funcionamiento del problema en cuestión, por lo que se puede decir que el problema y la solución preceden a la intuición, el siguiente caso es un ejemplo de ello:

¿Con qué probabilidad dos personas o más cumplen años el mismo día en un grupo de 40 personas? es decir:

Sea “x” es el número de coincidencias de cumpleaños,

\[ n=40\] \[prob(x≥1)= \ ?\]

  1. 0 < prob ≤ 0.20
  2. 0.20 < prob ≤ 0.50
  3. 0.51 < prob ≤ 0.80
  4. 0.81 < prob ≤ 0.90
  5. prob > 0.90

Este es un problema clásico de probabilidad e ilustra cómo la intuición no es confiable al momento de hacer estimaciones o al tratar de dimensionar la complejidad de un problema. La respuesta es inciso “(d)” ya que la probabilidad es 0.89, esto quiere decir que con un tamaño de muestra que tiende a infinito para grupos de 40 personas, aproximadamente en 89 de cada 100 grupos habrá dos o más personas que cumplan años el mismo día. La solución escapa a la intuición, percibimos que es sencillo de resolver aunque el planteamiento revelará su complejidad.

El problema se puede simplificar si se contesta a la pregunta contraria ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna persona cumpla años el mismo día en un grupo de 40 personas? y la respuesta a la pregunta inicial sería sólo el complemento de esta probabilidad, es decir

\[prob(x=0)+prob(x≥1)=1\] \[prob(x≥1)=1-prob(x=0)\] donde “x” es el número de coincidencias de cumpleaños.

La lógica del problema para las no coincidencias, es decir prob(x=0), es que si una persona del grupo, la que sea, cumple años el día 1 entonces buscamos identificar todas las posibilidades donde ningún otro de los 39 individuos restantes comparten día de cumpleaños con él y después identificamos todas las posibilidades donde el individuo cumple años el día 2 pero los 39 restantes no, y así sucesivamente hasta el día 365.

He tratado de describir de forma breve el mecanismo de identificación de no coincidencias pero considere por ejemplo que cuando digo “ningún otro de los 39 individuos restantes comparten día de cumpleaños” eso implica que si pensamos en la posibilidad de que un individuo cumpla años el día 1 entonces los 39 restantes tanto pueden cumplir el día 2,3,…,o 365 como que 1, 2 o 38 de ellos pueden cumplir cualquier otro día, lo cual para nuestra mente resulta caótico.

Por otro lado, la lógica del problema para las coincidencias de cumpleaños, es decir prob(x≥1), es que si dos individuos cumplen años el día 1 entonces buscamos identificar todas las posibilidades donde no comparten día de cumpleaños con los 38 restantes, y luego todas las posibilidades donde tres individuos cumplen años el día 1 pero los 37 restantes no y así sucesivamente hasta considerar la posibilidad de que 40 individuos cumplan años el día 1. Después repetimos el proceso anterior para los 364 días restantes.

Si lleváramos a la práctica el proceso de identificación de no coincidencias de cumpleaños notaríamos que con dificultad se encuentran casos de no coincidencias lo cual nos ayuda a comprender por qué la probabilidad resulta más elevada de lo que esperábamos ya que esta dinámica permite que el número de coincidencias de cumpleaños se aproxime al número de posibilidades conforme el tamaño de grupo aumenta.

x <-365   # SUPONGAMOS QUE TODOS LOS AÑOS TIENE 365 DÍAS
n <-40  # AJUSTAR TAMAÑO DE MUESTRA
z <- c(1:n)
total<-1 
prob_x_mayor_1<-c(1:n)
prob_yo_mayor_1<-c(1:n)
for(i in 1:n) { 
  total<-total*((x+1-i)/x)
  result <- ((x-1)/x)^i
  prob_x_mayor_1[z[i]] <- 1-total   # 1-(364/365)^n
      }
result
## [1] 0.8960676

En el problema original se planteaba un grupo de 23 personas resultando en una probabilidad de 0.5072 y llamaba la atención que con un grupo relativamente pequeño, en comparación con los 365 días que tiene el año, pudiese arrojar una probabilidad por arriba de lo esperado o dicho de otra forma que la intuición subestimaba la probabilidad.

Cuando el tamaño de grupo es de 57 la probabilidad resulta en 0.99, es decir que para un tamaño de muestra que tiende a infinito para grupos de 57 personas, aproximadamente en 99 de cada 100 grupos habrá dos o más personas que cumplan años el mismo día. A continuación se muestra un gráfico en el que se aprecia la convergencia de probabilidad para la pregunta de que dos o más personas cumplan años el mismo día conforme aumenta el tamaño de personas por grupo.

x <-365   # SUPONGAMOS QUE TODOS LOS AÑOS TIENE 365 DÍAS
n <-60  # AJUSTAR TAMAÑO DE MUESTRA
z <- c(1:n)
total<-1 
prob_x_mayor_1<-c(1:n)
prob_yo_mayor_1<-c(1:n)
for(i in 1:n) { 
  total<-total*((x+1-i)/x)
  prob_x_mayor_1[z[i]] <- 1-total   # 1-(364/365)^n
      }

plot(prob_x_mayor_1,main="Convergencia de Probabilidad*",xlab="", ylab="",las=1)
mtext("Número de individuos por grupo", side=1, line=2, cex.lab=1,las=0, col="black")
mtext("Probabilidad", side=2, line=3, cex.lab=1,las=0, col="black")
mtext(side=1,line=3,"*Probabilidad de que dos o más personas cumplan años el mismo día.")
abline(h=prob_x_mayor_1[50], lty=3)
abline(v=50, lty=3)
abline(h=prob_x_mayor_1[40], lty=3)
abline(v=40, lty=3)
abline(h=prob_x_mayor_1[23], lty=3)
abline(v=23, lty=3)

Se puede pensar que calcular una probabilidad es sencillo porque trata sobre una simple proporción pero la esencia del calculo de probabilidad no radica en resolver una división sino en determinar el numerador y denominador, es decir en determinar el número de éxitos y de la suma de éxitos y fracasos, respectivamente.

\[prob(x)={E\over E+F}\] \[ E= \ ?\] \[ F= \ ?\]

Para ilustra el problema supongamos que un año sólo tiene cinco días y que tenemos un grupo de tres personas. Luego, dado que se trata de hacer un conteo, con reemplazo y sin importar el orden, donde n = 5 y x= 3. En este caso tenemos 35 posibilidades distintas para días de cumpleaños de un grupo de tres individuos.

\[E+F=35 \]

nrow(gtools::combinations(5,3,repeats.allowed = TRUE))
## [1] 35

Dentro de esos 35 posibles resultados debemos encontrar aquellos donde coincidan los días de cumpleaños, lo cual ocurre en 25 ocasiones.

\[E=25\]

n <- 5
x <- 3

exitos <- rep(0,nrow(gtools::combinations(n,x,repeats.allowed = TRUE)))
for (i in (1:nrow(gtools::combinations(n,x,repeats.allowed = TRUE))) ){
exitos[i]<-
ifelse(
  max(
  table(
  (gtools::combinations(n,x,repeats.allowed = TRUE))[i,]
  )
  )>1
  ,1,0)
}

sum(exitos)
## [1] 25
sum(exitos)/nrow(gtools::combinations(n,x,repeats.allowed = TRUE))
## [1] 0.7142857

Luego viene la parte sencilla,

\[prob(x≥1)={E\over E+F}= {25 \over 35}= 0.71\]

También se puede solucionar identificando las no coincidencias de cumpleaños. \[F=10\]
\[prob(x≥1)=1-prob(x=0)=1-{F\over E+F}= 1-{25 \over 35}= 0.71\]

n <- 5
x <- 3

fracasos <- rep(0,nrow(gtools::combinations(n,x,repeats.allowed = TRUE)))
for (i in (1:nrow(gtools::combinations(n,x,repeats.allowed = TRUE))) ){
fracasos[i]<-
ifelse(
  max(
  table(
  (gtools::combinations(n,x,repeats.allowed = TRUE))[i,]
  )
  )==1
  ,1,0)
}

sum(fracasos)
## [1] 10
1-sum(fracasos)/nrow(gtools::combinations(n,x,repeats.allowed = TRUE))
## [1] 0.7142857

A continuación se muestran los posibles resultados para el ejercicio anterior. No tenemos suficientes dedos para contarlos ni cerebro para imaginarlos, entonces ¿por qué esperamos intuirlo?

Es muy difícil imaginar las coincidencias y no coincidencias de cumpleaños posibles dentro de un grupos de personas y aún así sobreestimamos nuestro entendimiento del mundo.

gtools::combinations(5,3,repeats.allowed = TRUE)
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,]    1    1    1
##  [2,]    1    1    2
##  [3,]    1    1    3
##  [4,]    1    1    4
##  [5,]    1    1    5
##  [6,]    1    2    2
##  [7,]    1    2    3
##  [8,]    1    2    4
##  [9,]    1    2    5
## [10,]    1    3    3
## [11,]    1    3    4
## [12,]    1    3    5
## [13,]    1    4    4
## [14,]    1    4    5
## [15,]    1    5    5
## [16,]    2    2    2
## [17,]    2    2    3
## [18,]    2    2    4
## [19,]    2    2    5
## [20,]    2    3    3
## [21,]    2    3    4
## [22,]    2    3    5
## [23,]    2    4    4
## [24,]    2    4    5
## [25,]    2    5    5
## [26,]    3    3    3
## [27,]    3    3    4
## [28,]    3    3    5
## [29,]    3    4    4
## [30,]    3    4    5
## [31,]    3    5    5
## [32,]    4    4    4
## [33,]    4    4    5
## [34,]    4    5    5
## [35,]    5    5    5

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Los límites de la intuición y el problema del cumpleaños by Ricardo Arturo Cárdenas Ovalle is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.