Ejercicio 6

Suponga que el correlograma de una serie de tiempo con 100 observaciones tiene: p1 = 0.31, p2 = 0.37, p3 = -0.05, p4 = 0.06, p5 = -0.21, p6 = 0.11, p7 = 0.08, p8 = 0.05, p9 = 0.12, p10 = -0.01. ¿Qué modeloARMA es apropiado?

El rango se encuentra definido por: (-2/sqrt(N), 2/sqrt(N)) entonces nos quedará (-2/sqrt(10), 2/sqrt(10)) = (-0.6325,0.6325)

Podemos ver que solo p1 y p2 son significativamente diferentes de cero, y p5 es marginalmente significativo, lo que podemos ignorar, ya que la serie de tiempo demasiado pequeñas (N = 100). En este caso, solo p1 y p2 son significativos y el modelo ARMA que es apropiado es el MA (2), ya que es un proceso de medias móviles de orden 2, es decir, explica el valor actual (Xt) como una función lineal de dos valores pasados de un proceso de ruido blanco (at-1 y at-2)

Ejercicio 7

  1. Observamos que tiene variaciones irregulares, variaciones erráticas respecto de la tendencia que no pueden atribuirse a influencias cíclicas o estacionales, por lo que si se podrí implementar un modelo estacionario debido a que se mantiene estable a lo largo del tiempo.

b) Autocorrelación simple y parcialmente

En ambas herramientas notamos que al terminar abrutamente puede tratarse de un MA(q),ya que al ser un promedio móvil y estacionario (como en el inciso anterior se menciono); en contraste con lo que ocurre con procesos autoregresivos, los valores de los procesos de promedio móvil de orden 0.5 no están correlacionados si el retardo es mayor a 0.5

Ejercicio 8

Primero guardamos los datos proporcionados en un vector para tener las 35 obsevaciones y se las asignamos a un variable a la cual denominamos color y para fines prácticos creamos la Serie de Tiempo correpondiente a nuestro vector asignandole el nombre de colores y así crear la gráfica de corresppndiente de la Serie de Tiempo.

Gráfica de la Serie de Tiempo del Proceso Químico Industrial

observar que en la gráfica que no es una serie de tiempo estacionaria debido a que no se puede observar una tendencia, es decir, las observaciones estas muy dispersas, lo cual provoca que se complique calcular un pronostico para los días 36,37,38. Comprobemos que lo observado en la gráfica anterior sea efectivamente una serie de tiempo NO estacionaria.

Media de nuestra y la desviación estandar de nuestra serie de tiempo no son constantes

## [1] 74.88571
## [1] 6.091322

AUTOCORRELACIÓN SIMPLE Y PARCIAL

El eje x del gráfico de ACF indica el retardo en el que se calcula la autocorrelación; el eje y indica el valor de la correlación (entre -1 y 1). Se puede notar que el primer rezajo se encuentra fuera del intervalo y en la de autocorrelación parcial, podemos observar que hay un rezago fuera del intervalo también.

Por tanto de lo anterior podemos confirmar que dicha serie de tiempo NO es estacionaria. Para que se le pueda ajustar un modelo debe de ser estacionaria pero como no lo es se tiene que diferenciar por ende realizamos siguiente.

Serie de Tiempo en Diferencias

Podemos notar que los datos son menos dispersos pero aun aún se ve en la gráfica que no es estacionaria pero para comprobar si estamos en lo cierto,relizamos las obsevaciones anteriores y de las cuales dedujimos que la autocorrelación simple tanto como en la parcial todos los rezagos se encuentran dentro del intervalo, sin embargo la media y la varianza no son constantes.

Por consiguiente realizaremos nuestro modelo para poder pronosticar los 3 días siguientes (36,37,38). La función que se llama auto.arima nos ayuda con modelo preliminar para nuestro pronóstico.

Pronóstico

## Series: colores 
## ARIMA(1,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1     mean
##       0.5705  74.3293
## s.e.  0.1435   1.9151
## 
## sigma^2 estimated as 26.34:  log likelihood=-106.07
## AIC=218.15   AICc=218.92   BIC=222.81

En este caso el modelo que nos propuso es un Autoregresivo(p=1) o bien un ARIMA(1,0,0)

Con ayuda de la función forecast realizamos nuestras respectivas predicciones con un intervalo de confianza al 95%

##    Point Forecast    Lo 95    Hi 95
## 36       70.14757 60.08871 80.20644
## 37       71.94342 60.36250 83.52434
## 38       72.96803 60.93310 85.00296

Por tanto : para el día 36 el pronostico de la propiedad de color es 70, para el día 37 la propiedad de color es de 72 para el da 38 la propiedad de color es de 73 tomando en cuenta que redondeamos los resultados dados.

Otra forma general del pronóstico

En esta parte realizamos un ajuste a nuestra serie de tiempo ya que no es estacionaria y con ayuda de la función sarima y del ARIMA (1,0,0) que se obtuvo anteriormente se obtienen la siguientes gráficas, las cuales pueden ayudar un poco más a comprender el comportamiento de nuestra serie de tiempo, asi como resumir todo lo que se hizo ya que nos genera la serie de tiempo, la autocorrelación simple, la Normal Q-Q donde se puede observar que no todas nuestras observaciones tiende a una distribución normal por lo que de aquí también se puede deducir que su somportamiento es no estacionario.

## initial  value 1.781591 
## iter   2 value 1.597667
## iter   3 value 1.596840
## iter   4 value 1.596800
## iter   5 value 1.596792
## iter   5 value 1.596792
## iter   5 value 1.596792
## final  value 1.596792 
## converged
## initial  value 1.614339 
## iter   2 value 1.611801
## iter   3 value 1.611739
## iter   4 value 1.611734
## iter   5 value 1.611734
## iter   5 value 1.611734
## iter   5 value 1.611734
## final  value 1.611734 
## converged

## $fit
## 
## Call:
## stats::arima(x = xdata, order = c(p, d, q), seasonal = list(order = c(P, D, 
##     Q), period = S), xreg = xmean, include.mean = FALSE, transform.pars = trans, 
##     fixed = fixed, optim.control = list(trace = trc, REPORT = 1, reltol = tol))
## 
## Coefficients:
##          ar1    xmean
##       0.5705  74.3293
## s.e.  0.1435   1.9151
## 
## sigma^2 estimated as 24.83:  log likelihood = -106.07,  aic = 218.15
## 
## $degrees_of_freedom
## [1] 33
## 
## $ttable
##       Estimate     SE t.value p.value
## ar1     0.5705 0.1435  3.9771   4e-04
## xmean  74.3293 1.9151 38.8124   0e+00
## 
## $AIC
## [1] 6.232774
## 
## $AICc
## [1] 6.243488
## 
## $BIC
## [1] 6.36609

En esta parte vamos a generar los pronósticos de los 3 días que nos piden y donde tambien podemos notar que nos dan su media, asi como su desviación estandar las cuales como ya se había notado no son constantes porvocando que no sea estacionaria nuestra serie de tiempo.

## $pred
## Time Series:
## Start = 36 
## End = 38 
## Frequency = 1 
## [1] 70.14757 71.94342 72.96803
## 
## $se
## Time Series:
## Start = 36 
## End = 38 
## Frequency = 1 
## [1] 4.983379 5.737436 5.962361

El pronóstio que nos arrojó para los 3 días siguientes fue de: 36 =70.14757 37=71.94342 38=72.96803