Ejercicio 6

Suponga que el correlograma de una serie de tiempo con 100 observaciones tiene: \(\hat{\rho}_1 = 0.31\), \(\hat{\rho}_2 = 0.37\), \(\hat{\rho}_3 = -0.05\), \(\hat{\rho}_4 = 0.06\), \(\hat{\rho}_5 = -0.21\), \(\hat{\rho}_6 = 0.11\), \(\hat{\rho}_7 = 0.08\), \(\hat{\rho}_8 = 0.05\), \(\hat{\rho}_9 = 0.12\), \(\hat{\rho}_{10} = -0.01\). ¿Qué modelo ARMA es apropiado?

Para poder deducir el modelo ARMA que es apropiado a los datos que se nos proporcionan, se debe hacer un análisis de las gráficas de autocorrelación simple, que nos proporciona el modelo MA (medias móviles) y la autocorrelación parcial, que proporciona el modelo AR (autoreresivo).

En primera instancia, debido a que se nos dan los coeficientes \(\hat{\rho_k}\) los graficaremos para obtener el grafica de autocorrelación simple (ACF).

x=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
y=c(0.31,0.37,-0.05,0.06,-0.21,0.11,0.08,0.05,0.12,-0.01)
plot(x,y,type = "h", ylim = c(-1,1), main = "Correlograma") %>% abline(h = 0)

Para saber el grado del MA es necesario, dibujar las bandas de confianza.

Los intervalos de confianza elegidos para la prueba están dados por

\[\pm\frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{N}}\] donde \(N\) es el tamaño de la muestra y \(z\) el percentil elegido de una distribución normal para un nivel de confianza \(\alpha\).

Entonces para un $= 95% $ se tiene:

\[ \pm\frac{1.96}{\sqrt{100}} = \pm 0.196\]

plot(x,y,type = "h", ylim = c(-1,1), main = "Correlograma ACF") %>% abline(h = 0) %>% 
  abline (h = 0.196, col = "blue", lty=2) %>%
  abline (h = -0.196, col = "blue", lty=2)

Podemos observar que 3 coeficientes se salen de las bandas de confianza, por lo tanto es un MA(3)

Notemos que la función de autocorrelación simple se puede ver de la siguiente manera:

\[ \rho_k = \phi_1\rho_{k-1} + ... + \phi_p\rho_{k-p} \] para \(k>0\)

donde \(k = 1, 2, ..., p.\)

Podemos obtener un sistema de \(p\) ecuaciones que relacionan las \(p\) primeras autocorrelaciones (simples y parciales). Se pueden llamar ecuaciones de Yule-Walker al sistema:

\[\begin{eqnarray} \rho_1 = \phi_1 + \phi_2\rho_1 + ... + \phi_p\rho_{p-1} \\ \rho_2 = \phi_1\rho_1 + \rho_2 + ... + \phi_p\rho_{p-2}\\ .\\ . \\ . \\ \rho_p = \phi_1\rho_{p-1} + \phi_2\rho_{p-2} + ... + \phi_p \end{eqnarray}\]

Así podemos obtener los coeficientes \(\phi_k\) de la siguiente manera:

\[\begin{equation} \begin{bmatrix} 0.31 \\ 0.37 \\ -0.05 \\ 0.06 \\ -0.21 \\ 0.11 \\ 0.08 \\ 0.05 \\ 0.12\\ -0.01 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0.31 & 0.37 & -0.05 & 0.06 & -0.21 & 0.11 & 0.08 & 0.05 & 0.12 \\ 0.31 & 1 & 0.31 & 0.37 & -0.05 & 0.06 & -0.21 & 0.11 & 0.08 & 0.05 \\ 0.37 & 0.31 & 1 & 0.31 & 0.37 & -0.05 & 0.06 & -0.21 & 0.11 & 0.08 \\ -0.05 & 0.37 & 0.31 & 1 & 0.31 & 0.37 & -0.05 & 0.06 & -0.21 & 0.11 \\ 0.06 & -0.05 & 0.37 & 0.31 & 1 & 0.31 & 0.37 & -0.05 & 0.06 & -0.21 \\ -0.21 & 0.06 & -0.05 & 0.37 & 0.31 & 1 & 0.31 & 0.37 & -0.05 & 0.06 \\ 0.11 & -0.21 & 0.06 & -0.05 & 0.37 & 0.31 & 1 & 0.31 & 0.37 & -0.05 \\ 0.08 & 0.11 & -0.21 & 0.06 & -0.05 & 0.37 & 0.31 & 1 & 0.31 & 0.37 \\ 0.05 & 0.08 & 0.11 & -0.21 & 0.06 & -0.05 & 0.37 & 0.31 & 1 & 0.31 \\ 0.12 & 0.05 & 0.08 & 0.11 & -0.21 & 0.06 & -0.05 & 0.37 & 0.31 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \phi_3 \\ \phi_4 \\ \phi_5 \\ \phi_6 \\ \phi_7 \\ \phi_8 \\ \phi_9 \\ \phi_{10} \end{bmatrix} \end{equation}\]

Resolviendo el sistema anterior obtenemos los coeficientes \(\phi_k\)

z
##  [1]  0.4357821  0.2720093 -0.2780870  0.1632420 -0.3796975  0.3127751
##  [7]  0.1462622 -0.2933871  0.2582019 -0.1342832

Obteniendo la grágica para la correlación parcial (PACF) se tiene:

plot(x,z,type = "h", ylim = c(-1,1), main = "Correlograma PACF") %>% abline(h = 0)

De igual manera que en la correlación simple, es necesario graficar las bandas de confianza para saber el nivel del modelo AR

Para las bandas de confianza de la autocorrelación parcial al \(95\%\) es tomar bandas \[\pm\frac{2}{\sqrt{N}} = \pm\frac{2}{\sqrt{100}} = \pm 0.2 \]

plot(x,z,type = "h", ylim = c(-1,1), main = "Correlograma PACF") %>% abline(h = 0) %>% 
  abline (h = 0.2, col = "blue", lty=2) %>%
  abline (h = -0.2, col = "blue", lty=2)

Podemos notar que 7 coeficientes se salen de las bandas de confianza, por lo tanto tenemos un AR(7)

Analizando las dos gráficas podemos deducir que su comportamiento nos indica que en efecto, como se nos pedía en las instrucciones, es un modelo ARMA.

Finalmente, se concluye un modelo ARMA(p,q) como ARMA(3,7), el cual se puede estimar, probar el mejor y pronosticar su comportamiento si se tuvieran los datos de la serie de tiempo.