Suponga que el correlograma de una serie de tiempo con 100 observaciones tiene: \(\hat{\rho_1}=0.31\), \(\hat{\rho_2}=0.37\), \(\hat{\rho_3}=-0.05\), \(\hat{\rho_4}=0.06\), \(\hat{\rho_5}=-0.21\), \(\hat{\rho_6}=0.11\), \(\hat{\rho_7}=0.08\), \(\hat{\rho_8}=0.05\), \(\hat{\rho_9}=0.12\), \(\hat{\rho_{10}}=-0.01\)

¿Qué modelo ARMA es apropiado?

Los coeficientes de correlación que nos dan son proporcionados por la Función de Autocorrelación Simple.

Observemos que la Función de Autocorrelación Simple se ve de la siguiente forma:

k <- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

y <- c(0.31,0.37,-0.05,0.06,-0.21,0.11,0.08,0.05,0.12,-0.01)

plot(k,y, type="h", ylab="Coeficiente de Correlaci?n", main="Funci?n de Autocorrelaci?n")
abline(a=NULL,b=NULL,h=0,v=NULL, col="black", lty=1)

knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)

Notas:

  1. En la gráfica se muestran los diez primeros retardos
  2. Se observa que la función de autocorrelación decrece rápidamente hacía cero de forma sinusoidal.
  3. Todos los coeficientes son distintos de cero.
  4. Para saber si un determinado coeficiente de autocorrelación es significativo calcularemos un intervalo de confianza. Sabemos que los coeficientes significativos deber?n superar a: \[-2\sqrt{1/N}\leq\hat{\rho_k}\leq2\sqrt{1/N}\] En este caso \(N=100\), Entonces \[-0.2\leq\hat{\rho_k}\leq0.2\] Con los coeficientes que nos proporcionaron pudimos observar que solo tres de ellos resultaron significativos: \(\hat{\rho_1}=0.31\), \(\hat{\rho_2}=0.37\) y \(\hat{\rho_5}=-0.21\)

Por lo que la grafica se veria de la siguiente manera:

##Observaciones N
N=100

a<- (-2)*sqrt(1/N)
b<- (2)*sqrt(1/N)

plot.default(k,y,type="h", ylab="Coeficiente de Correlación", main="Funcion de Autocorrelacion",bg="pink")
abline(a=NULL,b=NULL,h=0,v=NULL, col="black", lty=1)
abline(a=NULL,b=NULL,h=-0.2,v=NULL, col="blue", lty=3)
abline(a=NULL,b=NULL,h=0.2,v=NULL, col="blue", lty=3)

Por lo que el modelo apropiado, será el modelo \(AR(2)\) o lo que es lo mismo \(ARMA (2,0)\), el cual presenta una función de autocorrelacion que decrece rápidamente hacia cero de forma sinusoidal, junto con una funci?n de autocorrelación parcial con tantos valores distintos de cero como orden del autoregresivo, que es este caso, será con dos valores distintos de cero.