Tarea
Luis Saucedo
14 de mayo de 2019
Ejercicio 3
Encuentre los valores \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\) tales que el proceso \(AR(2)\) definido por:
\(Z_t=\lambda_1Z_{t-1}+\lambda_2Z_{t-2}+a_t\) sea estacionario. Si \(\lambda_1=\frac{1}{3}\), \(\lambda_2=\frac{2}{9}\), demuestre que la función de autocorrelación de \(Z_t\) está dada por:
\(\rho_k=\frac{16(2^{|k|})}{21(3^{|k|})}\) donde \(k=0,\pm1,\pm2,\ldots\)
Solución
Tenemos \(Z_t=\lambda_1Z_{t-1}+\lambda_2Z_{t-2}+a_t\) entonces el polinomio catacterístico asociado es:
\(\phi(z)=1-\lambda_1z-\lambda_2z^2\) así, buscamos las raíces de \(\phi\) fuera del círculo unitario. Para esto hay que considerar la parametrización:
\(C=\{(\lambda_1, \lambda_2)|1-\lambda_1z-\lambda_2z^2\neq0, ||z||\leq1\}\) con \(z\in\mathcal{C}\) (complejos).
Así \(\phi(z)=1-\lambda_1z-\lambda_2z^2=(1-\frac{z}{\alpha_1})(1-\frac{z}{\alpha_2})\) tal que \(\alpha_i\) son las raíces de \(\phi\) en \(\mathcal{C}\)
Tomamos \(\tilde{\phi}(z)=(1-z \alpha_1)(1-z\alpha_2)=1+\frac{\lambda_1}{\lambda_2}z+\frac{1}{\lambda_2}z^2\) el cual es el polinomio dual de \(\phi\).
Entonces las raíces, fuera del círuclo unitario, de \(\phi\) son iguales a las raíces dentro del círculo unitario de \(\tilde{\phi}\), tomando \(\tilde{\phi}(z)=\frac{1}{\lambda_2}\bigg(z^2-\lambda_1z-\lambda_2\bigg)\) y considerando \(\bar{\phi}(z)=z^2-\lambda_1z-\lambda_2\), podemos encontrar las raíces \(\beta=\frac{1}{2}(\lambda_1\pm\sqrt{\lambda_1^2+4\lambda_2})\)
Sea \(\bigtriangleup=\lambda_1^2+4\lambda_2\), entonces si \(0<\bigtriangleup\) se tiene que \(-1<\frac{1}{2}(\lambda_1\pm\bigtriangleup)<1\) y de aquí , \(\lambda_2>-1\), \(\lambda_2-\lambda_1<1\) y \(\lambda_2+\lambda_1<1\)
Si sucede que \(\bigtriangleup=o\), entonces tenemos solo una raíz y \(|\lambda_1|<2\)
Si \(\bigtriangleup<o\) tenemos dos raíces (conjugadas) en los complejos y \(||\beta||^2=-\lambda_2\), por lo que \(\lambda_2>-1\)
Así que para el proceso \(AR(2)\) sea estacionario debe de cumplr de manera necesaria y suficiente que
\(\lambda_2-\lambda_1<1\)
\(\lambda_2+\lambda_1<1\)
\(|\lambda_2|<1\)
\(|\lambda_1|<2\)
Ejercicio 4
Para el modelo \((1-B)(1-.2B)Z_t=(1-.5B)a_t\):
- Clasifique el modelo como un proceso \(ARIMA(p,d,q)\), encontrar \(p\), \(q\) y \(d\).
El polinomio asociado al modelo \(ARIMA\) es:
\(\phi_p(B)(1-B)^dZ_t=\theta_q(B)a_t\) donde
\(\phi_p=a-\phi_1B-\ldots-\phi_pB\rightarrow AR(p)\) y
\(\theta_q=a-\theta_1B-\ldots-\theta_qB\rightarrow MA(q)\)
\(\implies\) \((1-B)=(1-B)^d\) \(\implies\) \(d=1\), \((1-.02B)=\theta_q=1-\theta_1B\) \(\implies\) \(\theta_1=0.2\) \(\implies\) \(p=1\)
y \((1-0.5B)=\theta_q\) \(\implies\) \(\theta_1=0.5\) \(\implies\) \(\theta_q=\theta_1\) \(\implies\) \(q=1\)
Por lo tanto tenemos un modelo \(ARIMA(1, 1, 1)\).
- Determine si el proceso es estacionario e invertible.
Para que el proceso sea estacionario necestia cumplirse \(|\phi_1|<1\), aquí \(|\phi_1|=0.2\), por lo tanto el proceso es estacionario.
Para que el proceso sea invertible \(|\theta_1|<1\), de hecho \(|\theta_1|=0.5\), entonces el proceso es invertible.
Ejercicio 7
- Graficar la serie de tiempo. ¿Qué patrón observa? ¿Un modelo estacionaraio podría ser adecuado a ese gráfico?
plot(deere3, xlab="Tiempo", ylab="Xt", col="darkcyan")
Parece ser que la serie es estacionaria, ya que no hay tendencia y tampoco hay un comportamiento de estacionalidad, incluso en el intervalo de tiempo (20, 40) la media es constante
Al graficar las medias móviles es fácil ver el comportamiento de la media con el transcurso del tiempo.
medmov(D=deere3, ord=4, cen=TRUE)
Una forma visual para ver si la serie es estacionaria es el histograma, si la distribución parece la de una norma, entonces es factible pensar que la serie es estacionaria. Además el gráfico de cajas ayuda a ver el punto en donde se acumula la mitad de los datos.
hist(deere3)
boxplot(deere3)
En el histograma se ven los datos distribuidos como una distribución normal, además están centrados al 0; en el gráfico de cajas se observa que la mitad de los datos están distribuidos de manera simétrica alrededor del cero. Por lo tanto tenemos evidencia visual de que la serie es estacionaria. Por lo cual tiene sentido aplicar un modelo ARMA.
- Usado herramientas como ACF y PACF especifique el modelo tentativo (AR(p), MA(q), ARMA(p,q)). Justifique.
Para identificar los parámetros p y q hay que ver las gráficas de ACF y PACF. Los parámetros del modelo AR se pueden obtener al ver la gráfica de la PACF
stats::pacf(deere3)
En la gráfica están las autocorrelaciones parciales y una banda de confianza que dice señala si el lag es significativo. El primer lag rebasa las bandas de confianza, por lo que el modelo adecuado sería AR(1).
Ahora, para identificar el modelo MA hay que usar la gráfica de ACF.
stats::acf(deere3)
Los lags 1 y 2 son significativos, por lo tanto el modelo es MA(2).
Entonces una propuesta para modelo es el ARMA(1,2).
Ejercicio 8.
Se tiene una serie de tiempo de un proceso químico industrial. La variable medida es la propiedad de color de lotes consevutivos en el proceso, los cuales se han observado durante 35 días. Se necesita realizar un pronóstico de sicha variable sobre el día 36, 37 y 38. ¿Cuál es el pronóstico?
Primero hay que graficar la serie de tiempo y ver si es estacionaria para poderle ajustar un modelo.
plot(color)
A simple vista se ve que hay la manera en que cambia la serie se mantiene conforme pasa el tiempo. Viendo las medias móviles se ve que hay un patrón.
medmov(color, ord=4, cen=TRUE)
Parece que el comportamiento de la serie se mantiene, ahora hay que fijarse en el histograma y el gráfico de caja de la serie de tiempo.
hist(color)
boxplot(color)
Los datos están al rededor del 75 ligeramente sesgados hacia la izquierda, sin embargo el histograma de los datos sí se parece al de una distribución normal. Por lo tanto se puede ajustar un modelo ARMA y con éste predecir.
Primero los parámetros del AR
stats::pacf(color)
Solo el primer lag es significativo, por lo tanto es un AR(1).
Ahora los parámetros del MA.
stats::acf(color)
Hay dos lags significativos, por lo tanto es el modelo MA(2), así el modelo final es ARMA(1,2), con esto ya se puede predecir.
model<-stats::arima(color, order=c(1, 0, 2))
p<-predict(model, 3)
c<-c(p$pred[1], p$pred[2], p$pred[3])
color1<-append(color, c)
plot(as.ts(color1), ylab="Xt", xlab="Tiempo")
points(c(36:38), c, col="darkred")
Haciendo la preicción sobre los días 36, 37 y 38 se obtienen los siguientes valores: 70.53, 71.36 y 72.41. En estos tres puntos la propiedad del color aumenta, así que el pronóstico es que en los días siguientes haya un aumento en la propiedad del color.