Introducción
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Antes de empezar con definiciones formales sobre las series de tiempo estacionarias, vale la pena considerar porqué el concepto de estacionalidad se ha vuelto importante en series de tiempo. Desde el punto de vista más intuitivo, estacionalidad significa que las propiedades estad?sticas de un proceso que genera una serie de tiempo no cambian con en el transurso del tiempo. No significa que la serie de tiempo no cambie con el tiempo, sino, que la manera en que cambia la serie es la que permance con el transcurso del tiempo. Es decir, que al pasar el tiempo la serie puede ir variando, pero la manera en que var?a es la misma sin importar el transcurso del tiempo.
El equivalente algebráico es, entonces, una funci?n lineal, y no es una función constante. Así, el valor de la funión lineal cambia conforme \(x\) crece, pero la manera en que cambia es constante. Esto es, intuituvamente, lo que es una serie de tiempo estacionaria.
Las series estacionarias son importantes porque son más f?ciles para analizar, modelar y/o investigar. Además con estas series es más fácil predecir, dado que la manera en que cambia es predecible. Debido a sus propiedades, la estacionalidad se ha vuelto un supuesto muy común en métodos y herramientas del análisis de series de tiempo. De hecho, para muchos casos que involucren series de tiempo, se tiene que ser capaz de transformar las series para que tengan las propiedades de una muestra generada por un proceso estacionario.
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No Estacionaria
Fig 1. Gráfica de una serie de tiempo no estacionaria
Estacionaria
Fig 2. Gráfica de una serie de tiempo estacionaria
Formalmente
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Definición
Para empezar; la estacionalidad, de cualquier tipo, es una propiedad de un proceso estocástico y no de cualquier realización, finita o infinita, del proceso. Hay dos definiciones para estacionalidad, la débil y la fuerte. Aquí presento la definición débil de una serie estacionaria.
Formalmente, el proceso \(\{ x_i;i\in Z \}\) es débilmente estacionario si:
Tiene media constante. \(\forall i\in Z, E[x_i]=\mu\)
El segundo momento de \(x_i\) es finito para toda i. \(\forall i\in Z, E[x_i^2]<\infty\) (Lo que implica que la varianza es constane para toda i).
La autocovarianza depende sólamente en la deferencia del tiempo, es decir: \(\forall u, v, a, cov(x_u, x_v)=cov(x_{u+a}, x_{v+a})\)
La tercera condición implica que la varianza será constante, ya que la covarianza entre \(X_{t_1}\) y \(X_{t_2}\) solo depende de la diferencia entre los tiempos \(t_1\) y \(t_2\). Es decir:
\(cov(X_{t_1}, X_{t_2})=K_{XX}(t_1, t_2)=E[(X_{t_1}-m_X(t_1))(X_{t_2}-m_X(t_2))]\)
\(\therefore\) \(Var(X_t)=cov(X_t,X_t)=K_{XX}(t,t)=K_{XX}(0)=d\)
Así, los procesos débilmente estacionarios son aquellos con media y varianza constantes. Sus propiedades están contrastadas de buena manera en la gráfica.
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Diferencias
Fig 3. La primer gráfica corresponde a una serie de iempo con media y varianza estacionaria. La segunda gráfica es media no estacionaria y varianza estacionaria. La tercer gráfica es media estacionaria y varianza no estacionaria.
Ruido Blanco
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Definición
Un Ejemplo muy usado de procesos débilmente estacionarios son los procesos de Ruido Blanco. Un Ruido Blanco es un proceso estocástico serialmente no correlacionado, con media cero y varianza finita.
Formalmente, el proceso \(\{ x_i;i\in Z \}\) es un Ruido Blanco si:
Media es cero. \(\forall i\in Z, E[x_i]=0\)
El segundo momento es finito. \(\forall i\in Z, E[(x_i-\mu)^2]<\infty\)
\(E[X_u, E_v]= 0\) cuando \(v\neq u\), es decir, \(\forall u,v,w,u\neq v[ cov(x_u, x_t)=0]\)
Si además cada variable \(x_i\) sigue una distribución normal con media cero y varianza \(\sigma^2\), entonces el proceso se dice que es un Ruido Blanco Gaussianco.
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Gráfica
Fig 4. Gráfica de un Ruido Blanco.