Palautus 1

Tehtävä 1

Heikki mittasi lepopulssiaan ja sai seuraavat tulokset: 67, 62, 58, 74, 65, 66, 63. Määritä 95 % luottamusväli Heikin keskimääräiselle lepopulssille.

x <- c(67, 62, 58, 74, 65, 66, 63)
mean(x)

## [1] 65

hajonta <- sqrt(mean(x ^ 2) - mean(x)^2)
hajonta

## [1] 4.598136

luottamusvali <- function(sampleMean, standardDeviation, sampleCount, confidenceLevel) {
x <- 1-(1-confidenceLevel/100)/2
error <- qt(x, df=sampleCount-1) * standardDeviation/sqrt(sampleCount)
left <- sampleMean - error
right <- sampleMean + error
return( round(c(left, right), 2) )
}
luottorajat <- luottamusvali(mean(x), hajonta, 7 , 95)
round(((luottorajat[2]-luottorajat[1])/2), 2)

## [1] 4.25

round(luottorajat[1],2)

## [1] 60.75

round(luottorajat[2],2)

## [1] 69.25

Vastaus: Luottamusväli on 60.75 ; 69.25

Tehtävä 2

Estimoitaessa normaalisti N(;2,2) jakautuneen satunnaissuureen odotusarvoa , otetaan n kpl:n otos. Kuinka suuri otos on valittava, että :n 99 %:n luottamusvälin pituus ei ole suurempi kuin 1,5?

jaetaan luottamusväli kahdella

esim2 <- function(error, standardDeviation) {
  n <- qnorm(0.995)^2 * standardDeviation^2 / error^2
  return(n)
}
round(esim2(0.75, 2.2), 0)

## [1] 57

Vastaus: 57 otosta

Tehtävä 3

Internetgallupissa kysyttiin 1500 suomalaiselta, onko heillä ilmalämpöpumppua. Ilmalämpöpumpun sanoi omistavansa 52,9 %. Määritä 95 %:n luottamusväli ilmalämpöpumpun omistavien suhteelliselle osuudelle.

n <- 1500
p <- 0.529

#download.package(Hmisc)
library(Hmisc)

## Loading required package: lattice

## Loading required package: survival

## Loading required package: Formula

## Loading required package: ggplot2

## 
## Attaching package: 'Hmisc'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     format.pval, units

round(binconf((p*n), n, alpha = 0.05), 3)

##  PointEst Lower Upper
##     0.529 0.504 0.554

Vastaus: Luottamusväli on 50.4 : 55.4

Tehtävä 4

Otoksesta, jonka koko on a) 35 b) 100, saadaan otoskeskiarvoksi 168.1 cm? Perusjoukon keskihajonta on =10,0 cm. Testaa, poikkeaako  arvosta 172 tilastollisesti.

n1 <- 35

hajonta <- 10.0
otoskeskiarvo <- 168.1
mu <- 172

z.testi <- function(keskiarvo, n, mu, sd) {
  zeta <- (keskiarvo - mu) / (sd / sqrt(n))
  return (zeta)
}
z <- z.testi(otoskeskiarvo, n1, mu, hajonta)
z

## [1] -2.307271

pnorm(z, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.01051986

Vastaus: 0.01051986 poikkeaa melkein merkitsevästi (0.01<0.05)

n2 <- 100

hajonta <- 10.0
otoskeskiarvo <- 168.1
mu <- 172

z.testi <- function(keskiarvo, n, mu, sd) {
  zeta <- (keskiarvo - mu) / (sd / sqrt(n))
  return (zeta)
}
z <- z.testi(otoskeskiarvo, n2, mu, hajonta)
z

## [1] -3.9

pnorm(z, lower.tail = TRUE)

## [1] 4.809634e-05

Vastaus 0.00004809634 poikkeaa erittäin merkittävästi (0.00005 < 0.001)

Tehtävä 5

Suklaakonvehtirasian sisällön painoksi ilmoitetaan 300 g. Tuotannon luotettavuutta testattiin 20 rasian otoksella. Otoksen keskiarvo oli 295 g ja keskihajonta 7,8 g. Testaa kaksisuuntaisella testillä 5 %:n riskitasolla voidaanko luottaa siihen, että rasioiden keskipaino on 300 g.

n <- 20
ka <- 295
hajonta <- 7.8
paino <- 300

t.testi <- function(keskiarvo, n, mu, sd){
  tee <- (keskiarvo - mu) / (sd / sqrt(n))
  return(tee)
}
t <- t.testi(ka, n, paino, hajonta)
t 

## [1] -2.866754

p_arvo <- 2*pt(-abs(t), df = 20 - 1, lower.tail = TRUE)
p_arvo 

## [1] 0.009873326

Vastaus: p:n arvo on 0.009873326. Koska 0.001 < 0.05, nollahypoteesi H0 hylätään, eikä voida luottaa että 5% rasioista painaisi 300g.

Tehtävä 6

Empaattisuutta käsittelevässä tutkimuksessa tyttöjen ja poikien saamat pistemäärät olivat seuraavat: Tyttö 52 56 56 58 60 62 68 74 Poika 60 58 56 54 52 50 48 46 Selvitä kaksisuuntaisella testillä, onko tyttöjen ja poikien keskiarvoissa eroa.

Tytto <- c(52, 56, 56, 58, 60, 62, 68, 74)
Poika <- c(60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46)

t.test(Tytto, Poika, var.equal = TRUE, paired = FALSE, alternative = "two.sided") 

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  Tytto and Poika
## t = 2.5251, df = 14, p-value = 0.02426
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   1.167342 14.332658
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##     60.75     53.00

#kaksisuuntainen testi, arvot riippumattomia toisistaan

Vastaus: p-arvo = 0.02426. 0.0242<0.05, joten H0 hylätään. Keskiarvoissa on tällöin eroa.

Tehtävä 7

Testaa 5 % riskillä, noudattavatko linja-autojen kulkuajat tasaista jakaumaa. Tätä varten laskettiin tunnin aikana havaintopisteen ohittavat linja-autot ja saatiin seuraava empiirinen jakauma: Tunnin neljännes 1. 2. 3. 4. Autojen lukumäärä 6 15 9 18

a <- c(6, 15, 9, 18)
b <- c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

chisq.test(a, p = b)

## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  a
## X-squared = 7.5, df = 3, p-value = 0.05756

Vastaus: Hypoteesi H0 hyväksytään eli kulkuajat noudattavat tasaista jakaumaa 5%:n riskillä ( p= 0.057 > 0.05 )

Tehtävä 8

Väitettiin, että pojat ovat enemmän poissa koulusta kuin tytöt. Asiaa selvitettiin valitsemalla umpimähkään 50 pojan ja 75 tytön otos. Pojista 14 ja tytöistä 13 oli ollut poissa koulusta edellisen kuukauden aikana. Testaa väite 5%:n riskitasolla.

matriisi <- matrix(
c(50,75,14,13), # the data elements
nrow=2, # number of rows
ncol=2, # number of columns

byrow = TRUE) # fill matrix by rows
chisq.test(matriisi) # Tulkitaan p-arvosta jääkö H0 voimaan.

## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  matriisi
## X-squared = 0.83945, df = 1, p-value = 0.3596

Vastaus: H0 jää voimaan, eli sukupuolella ei ole vaikutusta poissaoloihin 5% riskitasolla (0.35 > 0.05)