¿Por qué es importante la Estacionariedad?

Intuitivamente el concepto se refiere a que las propiedades de la serie no varían con respecto al tiempo. En otras palabras significa que su variación (la forma en la que cambia) no cambia en función del tiempo.

Esto tiene una importante implicación a la hora de predecir.Pues de tener estacionariedad, estariamos prediciendo que las características estadísticas de nuestra serie de tiempo serán las mismas en el futuro como en el pasado.

Otra consecuencia importante es que “estacionarizando” una serie de tiempo podemos obtener información significativa como media, varianza y autocorrelaciones (correlaciones entre distintos valores de la serie de tiempo); dichos valores son putiles para describir el comportamiento futuro únicamente si la serie es estacionaria. Por ejemplo si hay presencia de tendencia positiva, la media y varianza muestral aumentarán y se subestimará a la media y varianza en periodos posteriores. Y si la media y varianza no están bien definidas, tampoco lo estarán las autocorrelaciones. Por ende cuando se trabaja con series de tiempo no es recomendble ajustar una regresión, pues los datos no son estáticos (estacionarios).

A grandes rasgos verificar esta propiedad en el estudio de las series de tiempo tiene su importancia en los siguientes aspectos.

1.Facilidad de Análisis: Entre todos los procesos estocásticos,los procesos estacionarios resultan ser un caso particular mucho más fácil de analizar.

2.Mejor Entendimiento: Aunque en el punto anterior recalcamos que puede ser de ayuda para analizar de forma más sencilla algún fenómeno, no es de sorprenderse que también nos permite modelar fenómenos de mayor complejidad. Por ejemplo, la estacionariedad es un supuesto común a la hora de realizar estimación de tendencia, previsión financiera (forecasting), inferencia, entre otros.

3.Ubicuidad: Es decir la presencia de la estacionariedad no sólo en el problema que estemos analizando, sino en el campo de estudio.

Serie estacionaria

Serie no estacionaria

Nota 1

Estacionariedad Fuerte NO implica estacionariedad débil, ni al revés. Los procesos Gaussianos son la única excepción. Es decir sólo aquellos cuya distribución sea \(Normal(\mu,\sigma^2).\)

Nota 2

Un ejemplo proceso estacionario famoso es el Ruido Blanco. Es decir aquel en donde cada \(\varepsilon_t\sim Normal(\mu,\sigma^2)\) y \(Cov(\varepsilon_{t_{i}},\varepsilon_{t_{j}})=0 \quad \forall i\neq j\). Tiene uan gran relevancia en los procesos autoregresivos AR.

Gráfica de un Ruido Blanco

Definición de Estacionariedad

Las siguientes definiciones involucran conceptos relacionados con procesos estocásticos, por lo que mencionaremos algunos para entender las definiciones.

Estacionariedad Fuerte: Un proceso estocástico es fuertemente estacionario si cumple la siguiente propiedad: \[F_{X}(x_{t_{1}+\tau},...,x_{t_{n}+\tau})=F_{X}(x_{t_{1}},...,x_{t_{n}})\] Con \(X\in \mathbb{Z}\) y \(T\in \mathbb{N}\).

Lo que quiere decir que la probabilidad de que el proceso tome cierto valor en cada estado, permanece igual con el transcurso del tiempo. Como podemos ver es evidente la fuerza de esta propiedad.

Estacionariedad Débil: Un proceso estocástico es débilmente estacionario si:

1. \(E[X_t]=\mu \quad \forall t\in T\) es decir media constante.

2. \(E[X_t^2]< \infty \quad \forall t\in T\) es decir que el segundo momento sea finito en cualquier tiempo, esto garantiza que la varianza sea finita.

3. \(Cov(X_{t_{1}},X_{t_{2}})=Cov(X_{t_{1}+h},X_{t_{2}+h}) \quad \forall t \in \mathbb{N},\forall h \in \mathbb{Z}\)

Nótese entonces que la propiedad 3 hereda la varianza constante (homocedasticidad), porque:

\[Cov(X_t,X_t)=Cov[X_{t+h},X_{t+h}] \Leftrightarrow Var[X_t]=Var[X_{t+h}] \quad \forall t \in \mathbb{N}, \forall h \in \mathbb{Z}\] Lo anterior implica que la varianza de cada estado del proceso es la misma.

Cómo nos ayudan las gráficas

A continuación daremos una explicación concisa sobre como determinar y qué atributos de la serie de tiempo (media o varianza) son constantes, ya que estas características son propias de la estacionariedad.

1.Gráfica 1: Media y Varianza Constantes: Si uno es observador es la gráfica exuesta al principio,sin embargo es un ejemplo perfecto de este caso.Este es el caso más sencillo de identificar y el más de mayor relevancia para lo que queremos hallar. Observamos que eventualmente nuestras observaciones van y vuelven al punto cero, por lo que al calcular la media de nuestros datos obtendremos un valor muy aproximado. Ahora veamos que las variaciones no son lo suficientemente “alocadas” y que de hecho podríamos encerrar a la gráfica entre dos bandas.

2.Gráfica 2: Media No Constante y Varianza Constante: Ahora nótese primeramente que la serie tiene una tendencia negativa (no lineal) y después positiva. La presencia esta tendencia es la que hace que no exista media constante, es fácil ver que no hay ningpun punto en el que la serie sea recurrente (que vaya y vuelva a él). Sin embargo las variaciones siguen un comportamiento homogéneo a lo largo del tiempo, por lo que es evidencia visual de varianza constante.

3.Gráfica 3: Media y Varianza No Constantes: En este caso vemos que primeramente hay tendencia positiva. Por lo que no hay media constante. En adición, notemos que las variaciones aumentan con el paso del tiempo, por lo que si intentamos acotar a la serie entre dos bandas como en los casos anteriores, no podríamos.

Gráfica 1

Media No constante y Varianza Constante

Media y Varianza No Constantes