Series de Tiempo

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title: "Series de Tiempo"
author: Angélica Flores Soto
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    theme: simplex
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```{r setup, include=FALSE}
library(flexdashboard)
library(dygraphs)
```

Una serie de tiempo es una colección de observaciones realizadas de forma secuencial a lo largo del tiempo.

La serie $\{Y_t\}^T_{t=1}$ podrá ser estacionaria o no estacionaria.

Estacionarias {data-icon="fas fa-chevron-down"}
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Row
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### Serie (debilmente) estacionaria.

Una serie es estacionaria cuando es estable a lo largo del tiempo, es decir, cuando la media y varianza son constantes en el tiempo, es decir:

* Media: $E(Y_{t+m})$ para todo $t,m$  
* Varianza: $\sigma(Y_t)=\sigma(Y_{t+m})$ para todo $t,m$  
* Covarianza: $cov(Y_t,Y_{t+k})=cov(Y_{t+m},Y_{t+m+k})$ para todo $t,m,k$.

Veamoslo con un ejemplo: La serie que se muestra es **estacionaria**. 

Notemos que gráficamente, mediante su *histograma* que los valores de la serie tienden a oscilar alrededor de una media constante y la variabilidad con respecto a esa media también permanece constante.

Para probar la tercera propiedad, nos auxiliamos de la función de autocovarianza, que no depende del momento en el tiempo (retardo/lag), sino sólo de la distancia temporal, $\gamma_t = E[(Y_t-\mu)(Y_{t+s}-\mu)]$.  
En otras palabras, las características de un segmento de los datos, son similares a las de cualquier otro segmento.
 
Graficando el *correlograma* se puede nota que la autocorrelación muestra la asociación entre valores de la misma variable en diferentes periodos de tiempo (no aleatoria). La altura de la líneas en el correlograma representa la correlación entre las observaciones que están separadas por la cantidad de unidades de tiempo que aparecen en el eje horizontal. La correlación para el primer rezago siempre es uno por lo que no deben tomarse en cuenta en las interpretaciones. Además, en el correlograma, los coeficientes están muy cercanos a cero, donde nos indica que no existe efecto entre una observación y la otra.

Row {.tabset .tabset-fade}
-------------------------------------------------------------------------------------
### Ejemplo
```{r}
x=0:300
data1<-data.frame(0:300,rnorm(length(x),mean=0,sd=1))
colnames(data1)<- c("t", "y")
mn = mean(data1$y)
std = sd(data1$y)
dygraph(data1, main="Serie estacionaria") %>%
  dyShading(from = mn - std, to = mn + std, axis = "y") %>%
  dyRangeSelector()
```

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### Histograma

```{r}
hist(data1$y, main = "Histograma de la \n serie estacionaria", xlab = "y")
```

### Autocorrelación

```{r}
autocorrelacion <- acf(data1$y,type = "correlation", main= "Correlograma de la Serie estacionaria")
```

No Estacionarias {data-icon="fas fa-chevron-down"}
====================================================================================
Row 
------------------------------------------------------------------------------------
### Series No Estacionarias 

Son series en las cuales la tendencia y/o variabilidad cambian en el tiempo. Los cambios en la media determinan una tendencia a crecer o decrecer a largo plazo, por lo que la serie no oscila alrededor de un valor constante.

Veamos un ejemplo, la siguiente gráfica que se presenta es **no estacionaria**

Gráficamente se puede determinar que presenta una tendencia ascendente, además la serie no es estacionaria en media como podemos notar es su *histograma.*  
Con esto se puede afirmar que la serie no es estacionaria.

Para confirmar lo dicho vamos a trazar la gráfica de su función de *autocorrelación*.

Se puede apreciar en esta gráfica como la serie no es estacionaria ya que el valor de la función de autocorrelación no decae de manera exponencial a medida que aumentan los rezagos en el tiempo. Además que los coeficientes son muy próximos a 1 por lo que indica que hay mucha relación entre una observación y la otra.

Row {.tabset .tabset-fade}
-------------------------------------------------------------------------------------
### Ejemplo
```{r}
e2<-rnorm(200,mean=0,sd=1)
Yt<-c()
for(t in 1:length(e2)){
Yt[t]<-1+0.05*t+e2[t]
}
Yt2<-ts(Yt)
par(mfrow=c(1,2))
dygraph(Yt2,main="Serie No estacionaria") %>%
  dyRangeSelector()
```

------------------------------------------------------------------------------------
### Histograma

```{r}
hist(Yt2, main = "Histograma de la \n serie no estacionaria", xlab = "y")
```

------------------------------------------------------------------------------------
### Autocorrelación
```{r}
acf(Yt2,main="Correlograma serie no estacionaria")
```