Dado un especio normado \(C\) dotado de una norma \(\ ||*||_{c}\), la cual satisface las 3 propiedades de una norma Vamos a definir y demostrar que la siguiente función es una métrica en \(C\): \[d:C×C \longrightarrow \mathbb{R}^{+}\] \[d(c_{1},c_{2})=||c_{1}-c_{2}||_{C}\] Como \(\ ||*||_{c}\) es norma entonces :
1).Si \(c_{1},c_{2}\in C\) tal que \(c_{1}=c_{2}\implies d(c_{1},c_{2})=||c_{1}-c_{2}||_{C}=||c_{1}-c_{1}||_{C}=0\) ,además si \(d(c_{1},c_{2})=0\implies||c_{1}-c_{2}||_{C}=0\) por la por la tercera propiedad de la norma \(c_{1}=c_{2}\)
2).Si \(c_{1},c_{2}\in C\implies d(c_{1},c_{2})=||c_{1}-c_{2}||_{C}=||c_{2}-c_{1}||_{C}=d(c_{2},c_{1})\) por la segunda propiedad de la norma aplicada a \(a=-1\)
3).Si \(c_{1},c_{2},c_{3}\in C\implies d(c_{1},c_{2})=||c_{1}-c_{2}||_{C}\leq||c_{1}-c_{3}||_{C}+||c_{3}-c_{2}||_{C}=d(c_{1},c_{3})+d(c_{3},c_{2})\) por la primera propiedad de la norma
4).Como \(\ ||*||_{c}\) satisface ser positiva: \(\forall c\in C\) \(||c||_{c}\geq0\implies\forall c_{1},c_{2}\in C\) \(d(c_{1},c_{2})\geq0\)
Por lo tanto la norma indujo una métrica sobre el mismo espacio
Considerando el anterior espacio métrico \(C\) ahora con \(d_{1},...,d_{n}\) métricas definidas. Sean \(n\in \mathbb{N}\),\((\alpha_{i})_{i=1}^{n}\in \mathbb{R}^{+}\) tal que \(1= \sum_{i=1}^{n}(\alpha_{i})\). Vamos a definir y demostrar que la siguiente función es una métrica en \(C\): \[d^{*}:C×C \longrightarrow \mathbb{R}^{+}\] \[d^{*}(c_{1},c_{2})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{2})\] 1).Si \(c_{1},c_{2}\in C\) tal que \(c_{1}=c_{2}\implies d^{*}(c_{1},c_{2})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{2})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{1})=0\) puesto que \(\forall_{i=1}^{n} di\) es una métrica, ello implica que se satisface la segunda propiedad de la definición de métrica por lo tanto \(\forall i\) \(d_{i}(c_{1},c_{2})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{2})\) .Además si \(d^{*}(c_{1},c_{2})=0\implies\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{2})=0\) por la por la primera propiedad de la norma y por hipótesis \(\forall i\) \(\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{2})=0\implies c_{1}=c_{2}\).
2).Si \(c_{1},c_{2}\in C\implies d(c_{1},c_{2})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{2})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{2},c_{1})=d(c_{2},c_{1})\) debido a la tercera propiedad de la métrica.
3).Si \(c_{1},c_{2},c_{3}\in C\implies d^{*}(c_{1},c_{2})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{2})\leq\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*(d_{i}(c_{1},c_{3})+d_{i}(c_{3},c_{2}))=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{3})+\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{3},c_{2})\)
por lo tanto \(d^{*}(c_{1},c_{2}) \leq d^{*}(c_{1},c_{3})+d^{*}(c_{3},c_{2})\)
Eso se debe a que para toda i \(d_{i}\) satisface la desigualdad triangular (cuarta propiedad de la definición de métrica)
4).Como \(\forall i=1,...,n\) \(\alpha_{i}\geq0\) y \(\forall c_{1},c_{2}\in C\) \(d_{i}(c_{1},c_{2})\geq0\implies d^{*}(c_{1},c_{2})=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*d_{i}(c_{1},c_{2})\geq0\)
Por lo tanto, la convinación convexa de métricas también es métrica.