Questão 1) Um fabricante afirma que seus cigarros contêm não mais que 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece o seguinte conjunto de dados:

\[ 30.0 ~~~39.0 ~~~34.5 ~~~32.4 ~~~30.9 ~~~37.1 ~~~31.3 ~~~31.0 ~~~30.9 ~~~32.4 ~~~29.2 ~~~31.7 ~~~33.7 \\ ~~~31.2 ~~~29.1 ~~~28.7 ~~~34.1 ~~~37.5 ~~~34.3 ~~~26.7 ~~~29.8 ~~~31.5 ~~~29.5 ~~~28.4 ~~~29.9 \]

No nível de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?

\[ H_{0}: \mu = 30 \\ H_{1}: \mu > 30 \]

nic <- c(30.0, 39.0, 34.5, 32.4, 30.9, 37.1,
         31.3, 31.0, 30.9, 32.4, 29.2, 31.7,
         33.7, 31.2, 29.1, 28.7, 34.1, 37.5,
         34.3, 26.7, 29.8, 31.5, 29.5, 28.4,
         29.9)
alpha = 0.05
t.test(nic,
       mu = 30, # Hipotese a ser testada
       alternative = "greater", 
       conf.level = 1 - alpha)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  nic
## t = 2.9872, df = 24, p-value = 0.003198
## alternative hypothesis: true mean is greater than 30
## 95 percent confidence interval:
##  30.76566      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##    31.792

Questão 2) Estamos desconfiados de que a média das receitas municipais per capita das cidades pequenas (0 - 20.000 habitantes) é maior do que a das receitas do estado, que é de 1.229 unidades. Para comprovar ou não essa hipótese, sorteamos dez cidades pequenas, e obtivemos os seguintes resultados: 1.230; 582; 576; 2.093; 2.621; 1.045; 1.439; 717; 1.838; 1.359.

Mostre que o teste de hipótese usado, com \(\alpha= 0,05\), levará à aceitação de que a média das cidades pequenas é igual à do estado.

\[ H_{0}: \mu = 1229 \\ H_{1}: \mu > 1229 \]

rec <- c(1230, 582, 576, 2093, 2621, 1045,
         1439, 717, 1838, 1359)
alpha = 0.05
t.test(rec,
       mu = 1229, # Hipotese a ser testada
       alternative = "greater", 
       conf.level = 1 - alpha)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  rec
## t = 0.56618, df = 9, p-value = 0.2926
## alternative hypothesis: true mean is greater than 1229
## 95 percent confidence interval:
##  958.2372      Inf
## sample estimates:
## mean of x 
##      1350

Questão 3) Um analista da qualidade quer avaliar se existe diferença entre as variabilidades na produção de eixo comando desenvolvido por dois sistemas de usinagem. Os dados a seguir apresentam as medições de duas populações independentes com distribuição Normal. Podemos dizer que as variâncias de ambas são iguais (alpha=0,05)?

\[ H_0: \sigma_{A}^{2} = \sigma_{B}^{2} \\ H_1: \sigma_{A}^{2} \neq \sigma_{B}^{2} \]

usi1 <- c(18.80, 20.50, 18.62, 19.92, 21.12, 20.84,
          17.53, 17.08, 17.62, 21.43, 18.75, 19.20,
          18.42, 20.76, 21.06, 17.59, 18.76, 18.98,
          20.31, 18.90, 19.17, 19.29, 22.06, 18.59,
          17.89)
usi2 <- c(21.16, 26.14, 21.47, 30.99, 22.84, 24.41,
          20.41, 25.55, 21.88, 22.67, 24.75, 25.72,
          22.64, 26.23, 26.80, 28.47, 26.99, 25.15,
          24.62, 27.02, 25.06, 22.11, 20.31, 23.68,
          27.12, 29.61, 25.99, 18.22, 23.73, 22.42)
alpha = 0.05

var.test(usi1, usi2,
         ratio=1,
         alternative = "two.sided", #Bilateral
         conf.level = 1-alpha)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  usi1 and usi2
## F = 0.22271, num df = 24, denom df = 29, p-value = 0.0003595
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.1033945 0.4938520
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.2227124

Questão 4) Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recém-formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de liberais em geral e outro de formados em Administração de Empresas. Com os resultados abaixo, expressos em salários mínimos, quais seriam suas conclusões (\(\alpha=0,05)\)?

Liberais 6,6 10,3 10,8 12,9 9,2 12,3 7,0
Administradores 8,1 9,8 8,7 10,0 10,2 8,2 8,7 10,1 
lib <- c(6.6, 10.3, 10.8, 12.9, 9.2, 12.3, 7.0)
adm <- c(8.1, 9.8, 8.7, 10.0, 10.2, 8.2, 8.7, 10.1)
summary(lib)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   6.600   8.100  10.300   9.871  11.550  12.900
sd(lib)
## [1] 2.432909
summary(adm)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   8.100   8.575   9.250   9.225  10.025  10.200
sd(adm)
## [1] 0.8876132
alpha=0.05

var.test(lib, adm,
         alternative = "two.sided",
         conf.level = 1-alpha)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  lib and adm
## F = 7.5128, num df = 6, denom df = 7, p-value = 0.01768
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   1.467755 42.789180
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           7.512844
alpha=0.05
t.test(lib, adm,
       var.equal = F,
       conf.level = 1-alpha)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  lib and adm
## t = 0.6653, df = 7.393, p-value = 0.5261
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -1.626575  2.919433
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  9.871429  9.225000

Questão 5) Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa de dez minutos para um cafezinho sobre a produtividade de seus trabalhadores. Para isso, sorteou seis operários, e contou o número de peças produzidas durante uma semana sem intervalo e uma semana com intervalo. Os resultados sugerem se há ou não melhora na produtividade? Utilize \(\alpha = 0.05\).

Operário 1 2 3 4 5 6
Sem Intervalo 23 35 29 33 43 32
Com Intervalo 28 38 29 37 42 30 
sem <- c(23, 35, 29, 33, 43, 32)
com <- c(28, 38, 29, 37, 42, 30)


diff_AB <- sem - com

summary(diff_AB)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   -5.00   -3.75   -1.50   -1.50    0.75    2.00

\[ H_0: \mu_{sem} = \mu_{com} \\ H_0: \mu_{sem} < \mu_{com} \]

alpha = 0.05

t.test(sem, com,
       alternative = "less",
       paired = TRUE,
       conf.level = 1 - alpha)
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  sem and com
## t = -1.2753, df = 5, p-value = 0.1291
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf 0.870003
## sample estimates:
## mean of the differences 
##                    -1.5