Atividade: Distribuições de Probabilidade

1) Os dados a seguir (link), refere-se as variáveis climaticas medidas diariamente na cidade de Dourados/MS.

• Link para download: https://www.dropbox.com/s/zx6311dpfcso2c0/clim_dou.csv?dl=0

Extraia deste conjunto de dados, os valores referentes ao mês de março.

clim_dou <- read.csv2("C:/Users/Carol/Dropbox/UFGD/2019.01_Disciplinas/Topicos de Estatistica/4_Aula/clim_dou.csv")

#head(clim_dou)

mar = subset(clim_dou, Meses==3)

• Para a variável Temperatura Máxima:

1. Construa um histograma em que seja possível analisar se a distribuição Normal é adequada para modelar os dados de temperatura máxima durante o mês de março.

require(ggplot2)

## Loading required package: ggplot2

ggplot(mar, aes(x = Tem_max)) +
  
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 binwidth = 1,     # Amplitude da classe
                 fill = 'dodgerblue',
                 color = 'black') +
  
  labs(title = "Distribuição da temperatura máxima diária",
       x = "Temperatura Máxima (º C) em Março",
       y = "Densidade") +
  
  geom_density(alpha = 0.5)+     # Linha de densidade
  
  stat_function(fun = dnorm, color='red', size = 2,
                args = list(mean = mean(mar$Tem_max),
                            sd = sd(mar$Tem_max)))+   
  
  theme_light()

2. Durante o mês de março, qual a probabilidade da temperatura máxima em um dia ser superior a 33 ºC?

mean(mar$Tem_max)

## [1] 31.44524

sd(mar$Tem_max)

## [1] 2.711143

pnorm(q = 33,                    # x=36
      mean = mean(mar$Tem_max),  # Média
      sd = sd(mar$Tem_max),      # Desvio padrão
      lower.tail = FALSE         # Calcula P[X > x]
      )

## [1] 0.2831636

3. Durante o mês de março, qual a probabilidade da temperatura máxima ser inferior a 26 ºC?

pnorm(q = 26,             # x=36
      mean = mean(mar$Tem_max),  # Média
      sd = sd(mar$Tem_max),      # Desvio padrão
      lower.tail = TRUE          # Calcula P[X ??? x]
      )

## [1] 0.02229677

4. Durante o mês de março, qual a probabilidade da temperatura máxima está entre 30 ºC e 36 ºC?

pnorm(q = c(30, 36),             # x=36
      mean = mean(mar$Tem_max),  # Média
      sd = sd(mar$Tem_max),      # Desvio padrão
      lower.tail = TRUE          # Calcula P[X ??? x]
      )

## [1] 0.2969906 0.9535227

0.9535227-0.2969906

## [1] 0.6565321

2) Utilizando o conjunto de dados do item 1), Para a variável Temperatura Mínima, faça:

1. Construa um histograma em que seja possível analisar se a distribuição Normal é adequada para modelar os dados de temperatura mínima durante o mês de março.

require(ggplot2)

ggplot(mar, aes(x = Tem_min)) +
  
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 binwidth = 1,     # Amplitude da classe
                 fill = 'dodgerblue',
                 color = 'black') +
  
  labs(title = "Distribuição da temperatura mínima diária",
       x = "Temperatura Mínima (º C) em Março",
       y = "Densidade") +
  
  geom_density(alpha = 0.5)+     # Linha de densidade
  
  stat_function(fun = dnorm, color='red', size = 2,
                args = list(mean = mean(mar$Tem_min),
                            sd = sd(mar$Tem_min)))+   
  
  theme_light()

2. Durante o mês de março, qual a probabilidade da temperatura mínima diárias ser inferior a 17 ºC?

mean(mar$Tem_min)

## [1] 20.05335

sd(mar$Tem_min)

## [1] 2.108374

pnorm(q = 17,                    # x=36
      mean = mean(mar$Tem_min),  # Média
      sd = sd(mar$Tem_min),      # Desvio padrão
      lower.tail = TRUE          # Calcula P[X ??? x]
      )

## [1] 0.07378035

3. Durante o mês de março, qual a probabilidade da temperatura mínima está entre 15 ºC e 18 ºC?

pnorm(q = c(15, 18),             # x=36
      mean = mean(mar$Tem_min),  # Média
      sd = sd(mar$Tem_min),      # Desvio padrão
      lower.tail = TRUE          # Calcula P[X ??? x]
      )

## [1] 0.008269474 0.165052527

0.165052527 - 0.008269474

## [1] 0.1567831

3) Considere nascimentos de 16 filhotes de coelhos de uma determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/9. Sendo X a ocorrência de fêmeas e utilizando a distribuição binomial faça:

1. Construa um gráfico de probabilidades

femeas <- 0:16
probabilidade <- dbinom(x=femeas,   # Quantidade de sucessos
                        size = 16,   # Quantidade de nascimento
                        prob=5/9)   # Probabilidade a priori de sucesso

plot(femeas, probabilidade, 
     type='h',   # Desenha uma linha vertical
     col='red',   # Cor da linha
     lwd=3)      # Espessura da linha/ponto

2. Qual a probabilidade de nascer mais de 12 fêmeas.

 pbinom(q=12,         # Quantidade de fêmeas
        size=16,      # Quantidade total de filhores
        prob=5/9,    # Probabilidade inicial de fêmea
        lower.tail = FALSE #P[X> x]
        )

## [1] 0.03107061

4) O conjunto de dados a seguir refere-se a quantidade de peixes capturados por hora em um certo pesqueiro, durante 30 dias.

set.seed(33)
cap <- rpois(n=30, lambda = 2.80)
cap

##  [1] 2 2 3 5 4 3 2 2 0 1 3 2 1 2 4 4 4 2 1 5 3 0 3 2 6 4 3 2 4 2

1. Construa um gráfico em que seja possível analisar a distribuição de probabilidade para a quantidade de peixes capturados por hora.

peixes <- data.frame('cap' = cap)
ggplot(peixes, aes(x = as.factor(cap), y=..count../sum(..count..),
                     fill = as.factor(cap))) +
  geom_bar(width=0.1) +
  labs(title = "Peixes capturados por hora",
     x = "Quantidade de peixes",
     y = "Frequência",
     fill='QTD peixes')

2. Obtenha a média e a variância para a quantidade de peixes capturados por hora.

mean(peixes$cap)

## [1] 2.7

sd(peixes$cap)

## [1] 1.441981

3. Qual a probabilidade de capturar 2 peixes durante uma hora neste pesqueiro?

dpois(x = 2,
      lambda = mean(peixes$cap))

## [1] 0.2449641

4. Qual a probabilidade de capturar 4 peixes ou mais durante uma hora neste pesqueiro? Dica: \(P[X \geq 4] = P[X > 3]\)

ppois(q = 3,
      lambda = mean(peixes$cap),
      lower.tail = FALSE)

## [1] 0.2859078

5) Setenta por cento dos estudantes que se candidataram a cursar uma universidade são aceitos. Utilizando a distribuição binomial, qual é a probabilidade de que entre os próximos 18 candidatos:

1. Pelo menos 6 serão aceitos?

pbinom(q=5,           
        size=18,      
        prob=0.70,    
        lower.tail = FALSE #P[X> x]
        )

## [1] 0.9997309

2. Exatamente 10 serão aceitos?

dbinom(x=10,          
        size=18,      
        prob=0.70 )

## [1] 0.08109758

3. No máximo 14 serão aceitos?

pbinom(q=14,           
        size=18,      
        prob=0.70,    
        lower.tail = TRUE
        )

## [1] 0.8354495

6) Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha:

1. Dez ou mais chamadas.

ppois(q = 9,
      lambda = 8,
      lower.tail = FALSE)    #P[X > x]

## [1] 0.2833757

2. Menos que nove chamadas.

ppois(q = 8,
      lambda = 8,
      lower.tail = TRUE)    # P[X ??? x], 

## [1] 0.5925473