Algunas distribuciones de probabilidad

Este notebook muestra como usar algunas instrucciones propias del lenguaje y programa estadístico de software libre R, útiles en el calcualo de probabilidades, sin pretender ser exhaustiva ni agotar cada capacidad que ofrece el mismo. Se asume que el lector esta familiarizado con los fundamentos de probabilidad.

No olvide repdoducir este ejercicio escribiendo el código. Recuerde: no copiar y pegar. Cuando copia y pega, casi siempre tiene una vista general que concluye con “claro, ya entiendo la lógica” (pero no es así). Cuando escribe cada linea de código, está viendo cada instrucción y se ve obligado a inspeccionarla con mayor detalle (y probar sus propias variaciones para mejorarla). Como resultado, aprende mucho mejor.

Finalmente, sería beneficioso si aplicara las instrucciones de código presentadas aquí a sus propios datos.

Distribución binomial

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es de 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad:

¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan por lo menos 10 personas?

1-pbinom(9,15,0.4)
## [1] 0.0338333

¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de 3 a 8 personas?

pbinom(8,15,0.4)-pbinom(2,15,0.4)
## [1] 0.8778386

¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 5 personas?

dbinom(5,15,0.4)
## [1] 0.1859378

Distribución de Poisson

El número promedio de camiones de carga que llegan cada día al puerto de Buenaventura es 10. Las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo menos 15 camiones de carga por día.

¿Cuál es la probabilidad de en un día dado los camiones se tengan que regresar?

1-ppois(15,10)
## [1] 0.0487404

Distribución uniforme

En la Universidad Nacional de Colombia sede Bogotá, se puede reservar un auditorio grande por no más de cuatro horas. Sin embargo, la demanda del auditorio es tal que frecuentemente tiene lugar conferencias largas y cortas. La duración X de una conferencia tiene una distribución uniforme en el intervalo [0,4]. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier conferencia dada dure más de tres horas?

1-punif(3,0,4)
## [1] 0.25

Distribución normal

La duración de Cierto tipo de batería de smartphone se distribuye normalmente, con una duración promedio de tres años y una desviación estándar de medio año.

¿Cuàl es la probabilidad de que una batería dada dure más de 2.3 años?

pnorm(2.3,3,0.5)
## [1] 0.08075666

Otros ejemplos

El Departamento de Matemáticas, adscrito a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá, propone un examen tipo test consistente en 25 preguntas. Cada pregunta tiene 5 respuestas listadas, siendo correcta sólo una de ellas. Si un estudiante no conoce la respuesta correcta de ninguna pregunta y prueba suerte, se desea saber:

examen <- data.frame(Pr=dbinom(0:25, 25, 0.2))
rownames(examen) <- 0:25
examen
##              Pr
## 0  3.777893e-03
## 1  2.361183e-02
## 2  7.083550e-02
## 3  1.357680e-01
## 4  1.866811e-01
## 5  1.960151e-01
## 6  1.633459e-01
## 7  1.108419e-01
## 8  6.234855e-02
## 9  2.944237e-02
## 10 1.177695e-02
## 11 4.014869e-03
## 12 1.171003e-03
## 13 2.927509e-04
## 14 6.273233e-05
## 15 1.150093e-05
## 16 1.797020e-06
## 17 2.378409e-07
## 18 2.642676e-08
## 19 2.434044e-09
## 20 1.825533e-10
## 21 1.086627e-11
## 22 4.939212e-13
## 23 1.610613e-14
## 24 3.355443e-16
## 25 3.355443e-18

¿Cuál es la probabilidad de responder exactamente 7 respuestas correctas?.

dbinom(7, 25, 0.2)
## [1] 0.1108419

¿Cuál es la probabilidad de acertar como máximo 9 respuestas?.

#pbinom(9,25,0.2)
pbinom(9, 25, 0.5)
## [1] 0.1147615

Si se aprueba el examen cuando se responden correctamente 13 cuestiones, ¿cuál es la probabilidad de que pase el alumno que ha probado suerte?

1-pbinom(c(12), size=25, prob=0.2)
## [1] 0.000369048

¿Cuál es el conjunto de números menores posibles de aciertos, con probabilidad de alcanzarse en torno a 0.95?

qbinom(0.95, 25, 0.2)
## [1] 8
pbinom(8, size=25, prob=0.2)
## [1] 0.9532258

La función de densidad probabilidad

test <- 0:12
plot(test, dbinom(test, size=25, prob=0.2), xlab="Numero de aciertos", ylab="Función de densidad", main="Distribución Binomial: Ensayos = 25, Probabilidad de exito = 0.2", type="h")
points(test, dbinom(test, size=25, prob=0.2), pch=16)
abline(h=0, col="gray")

La función de distribución

test <- 0:12
test <- rep(test, rep(2, length(test)))
plot(test[-1], pbinom(test, size=25, prob=0.2)[-length(test)], xlab="Numero de aciertos", ylab="Probabilidad Acumulada", main="Distribución Binomial: Ensayos = 25, Probabilidad de exito = 0.2", type="l")
abline(h=0, col="gray")

test <- rnorm(100,0,1)
plot(test, dnorm(test, mean=0, sd=1), xlab="x", ylab="Densidad", main=expression(paste("Distribución normal: ", mu, " = 0, ", sigma, " = 1")))
abline(h=0, col="gray")