Prova 03

 

Principais Funções de Probabilidade

Distribuição Multinomial

• Número máximo de ocorrências finito
• Probabilidades independentes para cada evento
• Múltiplas categorias

\[ p = \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}p_1^{n_{1}}p_2^{n_2}...{p_k^{n_k}} \] Onde k é o número de categorias observadas, n é o tamanho da amostra colhida, cada \(n_i\) é o tamanho da subamostra desejada e \(p_i\) é a sua probabilidade. Observe-se que:

\[ \sum(n_i)=n \] e que \[ \sum(p_i)=1 \] e de forma geral:

\[ p=\frac{\sum(n_i)!}{\pi(n_i!)}\pi(p_i^{n_i}) \]  

Distribuição Binomial

• Número máximo de ocorrências finito
• Probabilidades independentes para cada evento
• Duas categorias

Fórmula da probabilidade binomial \[p=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \]

Este é um caso especial da probabilidade multinomial, onde só há duas categorias, onde n é o tamanho da amostra, x é o número de ocorrências favoráveis, p é a probabilidade favorável e 1-p é a probabilidade desfavorável. No R,

\(dbinom(x, size, prob)\) # distribuição pontual

\(pbinom(q, size, prob)\) # distribuição acumulada à esquerda

\(qbinom(p, size, prob)\) # quantil da probabilidade p

\(rbinom(n, size, prob)\) # gerar n números aleatórios

 

Distribuição de Poisson

• Número máximo de ocorrências infinito
• Taxa uniforme de ocorrência de eventos

Fórmula da Probabilidade de Poisson

\[P(x)= \dfrac{\lambda^x\,e^{-\lambda}}{x!}\]

No R temos:

\(dpois(x, lambda)\) # distribuição pontual

\(ppois(q, lambda)\) # distribuição acumulada à esquerda

\(qpois(p, lambda)\) # quantil da probabilidade p

\(rpois(n, lambda)\) # gerar n números aleatórios

 

Distribuição Hipergeométrica

• Número máximo de ocorrências finito
• Probabilidades dependentes para cada evento
• Múltiplas categorias

Fórmula da probabilidade hipergeométrica:

\[ p =\dfrac{\binom{n1}{x1}\binom{n2}{x2}...\binom{n_k}{x_k}}{\binom{n_1+n_2+...+n_k}{x_1+x_2+...+x_k}} \]

Onde cada \(n_i\) é o tamanho da subamostra desejada e cada \(x_i\) é o número de ocorrências desejado para cada subamostra. De forma geral, temos:

\[ p=\dfrac{\pi\binom{n_i}{x_i}}{\binom{\sum n_i}{\sum x_i}} \] No R, Para as duas categorias temos:

\(dhyper(x1, n1, n2, x1+x2)\) # distribuição pontual

\(phyper(x1, n1, n2, x1+x2)\) # distribuição acumulada à esquerda

\(qhyper(p1, n1, n2, x1+x2)\) # quantil da probabilidade p

\(rhyper(N, n1, n2, x1+x2)\) # gerar N números aleatórios

 

Distribuição Binomial

As características para se usar esta distribuição são:

• Eventos enumeráveis
• Enumeráveis
• Os eventos são realmente independentes

\[ P(x)=\binom{n}{x}*p^n*(1-p)^{n-x} \]

ou então pela fórmula do R:

\(sum(choose(N,n)*p^n*(1-p)^{N-n})\)

ou na forma reduzida

\(dbinom(x=x, size=n, prob=p)\)

 

Exemplos

Em uma prova de 10 questões do tipo verdadeiro ou falso, qual a probabilidade de um aluno passar com média pelo menos sete se ele nada souber da matéria?

N=10
s=7:10
p=0.5

sum(choose(10, s)*0.5^s*0.5^(10-s))

 

Um grupo de 50 manifestantes de um mesmo grupo político e contrários a uma proposta participa de uma assembleia onde estão presentes, no total, 300 pessoas, das quais 60% são favoráveis à mesma proposta. Se for formada uma comissão de 10 pessoas, qual a probabilidade de, dentre as 10, existirem 5 favoráveis à proposta e apenas um membro do grupo político destacado anteriormente?

# membros do grupo
n1=50
# total de favoráveis
n2=180
# total de contrários
n3=120
# total de contrários fora do grupo
n4=n3-n1

choose(n1,1)*choose(n2,5)*choose(n4,4)/choose(300,10)

 

O mesmo exercício com fórmula reduzida:

n=10
p=0.5
x=7:10 

sum(dbinom(x, n, p))

 

Qual a probabilidade, em um lançamento de 10 moedas honestas, de se obter 4 ou menos caras?

n = 10
x = 0:4
p = 0.5
sum(choose(n, x)*p^x*(1-p)^(n-x))

ou utilizando a fórmula

sum(dbinom(x = x, size = n, prob = p))

 

Numa prova com 9 questões de múltipla escolha cada uma com cinco alternativas, qual a probabilidade de, ao acaso, um aluno tirar nota maior ou igual que 7?

p = 1/5
n = 9
x = 7
1 - pbinom(6, 9, 1/5)

 

Distribuição Hipergeométrica

As características de seu uso são:

• Eventos enumeráveis
• Probabilidades não são constantes

\[ p(x) = \dfrac{\displaystyle\binom{a}{x}\binom{b}{k-x}}{\displaystyle\binom{a+b}{k}} \]

ou então pela fórmula do R:

\(p(x)=choose(a,x)*choose(b,k-x)/choose(a+b,k)\)

ou na forma reduzida \(p = sum(dhyper(x, m, n, k))\)

Exemplos

 

Um funcionario da expedição deveria remeter 6 de 15 pacotes por via expressa para a Europa, mas ele acaba misturando todos e aleatoriamente manda 6 dos pacotes por via expressa para a Europa. Qual a probabilidade de que apenas 3 dos pacotes que deveriam ir por via sigam realmente por via expressa?

a=6
x=3
b=9
k=6
choose(a,x)*choose(b,k-x)/choose(a+b,k)

 

Num grupo de 5 engenheiros e 4 arquitetos, qual a prob de serem escolhidos aleatoriamente 4 individuos que sejam 2 engenheiros e 2 arquitetos?

a=5
b=4
x=2
k=4

choose(5,2)*choose(4,2)/choose(9,4)

 

Num grupo de 10 engenheiros, 6 arquitetos, 3 advogados, 5 administradores, qual a probabilidade de ter um grupo de 1 de cada?

choose(10,1)*choose(6,1)*choose(3,1)*choose(5,1)/choose(24,4)

 

Uma empresa fabricou 1000 peças automotivas, das quais 22 com defeito e as restantes OK. Qual a probabilidade de um inspetor tirar uma amostra de 120 peças e encontrar 3 ou menos com defeito?

N = 1000
def = 22
ok = N-def
n = 120
x = 3
p = sum(dhyper(x = n-0:x, m = ok, n = def, k = n))
p

 

Uma empresa tem um histórico de fabricação apresentando 1.5% de peças com defeito. Qual a probabilidade de um inspetor tirar uma amostra de 120 peças e encontrar 4 ou mais com defeito?

n = 120
x = 4
perc = 0.015

p=pbinom(q=x-1, size=n, prob=perc) # explicação: P(4 ou mais) = 1 - p(3 ou menos) = 1 - pbinom(3, 120, 0.015)

p=round(1-p,4)
p

 

Examina-se um lote de 100 frascos de perfume, dos quais 50 sao falsificados e os restantes são originais. Qual a probabilidade de um inspetor escolher uma amostra de 10 frascos e encontrar 2 ou menos falsificados?

\[ p = \dfrac{\displaystyle\binom{50}{0}\binom{50}{10}}{\displaystyle\binom{100}{10}} + \dfrac{\displaystyle\binom{50}{1}\binom{50}{9}}{\displaystyle\binom{100}{10}} + \dfrac{\displaystyle\binom{50}{2}\binom{50}{8}}{\displaystyle\binom{100}{10}} \] logo

fHyperGeom2 = function(x, i, y, j, dec = 4) {
  round(choose(x,i)*choose(y, j)/choose(x+y, i+j),dec)
}

fHyperGeom2ToLaTeX = function(x, i, y, j, z, k, dec = 4) {
  res = paste0(
    "\\ensuremath{", 
    "\\dhipergeom{", x, "}{", i, "}{", y, "}{", j, "}{", x+ y, "}{", i + j, "}" ,
    "}"
  )
  val = fHyperGeom2(x, i, y, j, dec)
  return(list(code = res, val = val))
}

N = 100
def = 50
ok = N-def
n = 10
x = 2
l = fHyperGeom2ToLaTeX(def, 0:x, N-def, n-0:x)   # Ver o pacote que contem a função fHyperGeom2ToLaTeX
p = sum(l$val)
p

 

Distribuição de Poisson

As características para se usar esta distribuição ocorre quando o \(\lambda\) é uma taxa de chegada ou de ocorrência - ou quando o n é grande e a probabilidade é pequena, ou seja, n>=100 e p<10.

\[P(x)= \dfrac{\lambda^x\,e^{-\lambda}}{x!}\] ou então pelas fórmulas reduzidas do R:

\(dpois(x,\lambda)\)

\(\lambda^x*e^{-\lambda}/factorial(x)\)

 

Exemplos

Um posto de correio atende, normalmente, 3 clientes no período de 11 às 13h. Qual a probabilidade desse posto

a) Não receber cliente algum das 11 às 12h?

taxa = 3/2  #clientes por hora
p = ppois(q=0, lambda=taxa)
p

b) Receber mais que 5 clientes das 11 às 13h?

taxa = 3 #clientes em um período de duas horas
#probabilidade de 5 ou menos
p = ppois(q=5, lambda=taxa)
1-p

 

Um posto de observacao registra a passagem de 10 veiculos em media por hora. Qual a prob de em uma hora nao passar veiculo algum?

10^0*exp(-10)/factorial(0)

dpois(0,10/1)

ppois(0, 10/1)

 

Numa instalação, queimam 2.000 lâmpadas por ano. Qual a probabilidade de queimarem mais de 20 lâmpadas em uma dada semana?

taxa = 2000/365*7 # queimas por semana

1 - ppois(20, taxa)

 

Numa instalação, queimam 2.000 lâmpadas por ano. Qual a probabilidade de queimarem mais de 50 lâmpadas em uma dada semana?

taxa = 2000/365*7

1 - ppois(50, taxa)

 

Pessoas chegam a uma fila de supermercado com um tempo medio entre chegadas de 27 segundos. Qual a probabilidade de chegarem menos de 4 clientes em um intervalo de tempo de 3 minutos?

tempo = 27/60  #em minutos
janela = 3
nchegadas = 4
lambda = 1/tempo * janela

p = round(ppois(nchegadas-1,lambda),4)
p

 

Foi comprado um lote de lampadas que apresentam defeito com um tempo médio entre falhas de 2000 horas. Em um grande escritorio onde foram usadas essas lâmpadas, qual a probabilidade de ter que trocar 3 ou mais lâmpadas em um período de 180 dias de funcionamento ininterrupto?

tempo = 2000/24  #em dias
janela = 180     #em dias
nfalhas = 3
lambda = 1/tempo*janela

p = round(ppois(nfalhas-1,lambda),4)
p=1-p
p

 

Uma secretária, tipicamente, comete 2 erros a cada 10 páginas. Qual a probabilidade de um relatório, digitado por a ela e com 250 páginas, apresentar mais de 50 erros?

1-pbinom(50, 250, 0.2)

ou então

1-ppois(50, 50)

 

Se a probabilidade de um documento apresentar erro é de 10%, qual a probabilidade de um lote de 10 documentos apresentar no máximo um documento com erro?

p=0.1
n=10
x=1
pbinom(q = x, size = n, prob = p)

 

Uma secretária comete 1 erro a cada 50 páginas. Qual a probabilidade de pegar um documento de 200 páginas gerado por essa secretária e ele não conter erros?

q=0
size=200
prob=1/50
pbinom(q, size, prob)

ou pela aproximação de Poissoon

q=0
lambda=1/50*200
ppois(q,lambda)

 

Pessoas chegam a uma fila de supermercado com um tempo medio entre chegadas de 27 segundos. Qual a probabilidade de chegarem menos de 4 clientes em um intervalo de tempo de 3 minutos?

tempo = 27 # em segundos
janela = 3 # em minutos
nchegadas = 4
tempo = 27/60
lambda = 1/tempo*janela
p = round(ppois(q = (nchegadas-1), lambda = lambda), 4)
p

 

Uma máquina falha tipicamente três vezes por ano. Qual a probabilidade dela falhar mais que uma vez em um determinado mês?

p = ppois(1, 3/12) # falhar uma vez ou menos no mês
1 - p  # falhar mais que uma vez no mês

 

Em uma oficina mecânica, tipicamente chegam 12 carros em um dia de 8 horas de serviço. Qual a probabilidade de chegarem mais de 2 carros em uma determinada hora?

1 - ppois(2, lambda = 12/8)

 

Caminhões chegam a um posto de pedágio com uma taxa de chegadas de 18 veículos por hora. Qual a probabilidade de chegarem 10 ou mais caminhões em um intervalo de tempo de 30 minutos?

lambda=18 #veiculos por hora
janela=30/60
nchegadas=10
lambda=lambda*janela

p=round(ppois(nchegadas-1,lambda=lambda),4)
p=1-p
p

 

Foi comprado um lote de 400 lâmpadas, que apresentam defeito de fábrica com um percentual de 0.15%. Qual a probabilidade de, nesse lote, haver 2 ou mais lâmpadas com defeito?

n = 400
percfalha = 0.0015
nfalhas = 2

p = round(dbinom(x = nfalhas-1, size = n, prob = percfalha), 4)
p = 1-p
p

 

Distribuição Multinomial

As características para se usar esta distribuição é quando há mais de dois resultados possíveis em cada prova, as probabilidades dos vários resultados permanecem as mesmas para cada prova, e as provas são todas independentes.

\[ p = \dfrac{n!}{x_1!x_2!x_3!x_4!}\,p_1^{x_1}\,p_2^{x_2}\,p_3^{x_3}\,p_4^{x_4} \]

ou pela fórmula do R:

\(p = factorial(n)/(factorial(x1)*factorial(x2)*factorial(x3)*factorial(x4))*p1^x1*p2^x2*p3^x3* p4^x4\)

 

Exemplos

Uma rede de TV aberta de Curitiba tem 30% da audiência nas noites de sexta-feira, um canal local tem 20%, a TV a cabo tem 40%, e 10% assistem videocassetes. Qual a probabilidade de que entre 7 espectadores de televisão selecionados aleatoriamente naquela cidade numa noite de sexta-feira, 3 estejam assistindo à TV aberta, 1 esteja assistindo ao canal local, 2 estejam vendo TV a cabo e 1 esteja assistindo videocassetes?

n=7
x1=3
x2=1
x3=2
x4=1
p1=0.3
p2=0.2
p3=0.4
p4=0.1

p = factorial(n)/(factorial(x1)*factorial(x2)*factorial(x3)*factorial(x4))*p1^x1*p2^x2*p3^x3* p4^x4
p

 

Em uma determinada noite uma pessoa tem a probabilidade de 30% de ficar em casa e ver TV, 20% de ir ao shopping fazer compras e 50% de ir ao cinema. Qual a probabilidade de, em uma determinada noite, em um grupo de 10 amigos, 5 irem ao cinema, 4 irem ao shopping fazer compras e apenas 1 ficar em casa vendo TV?

n=10
n1=5
n2=4
n3=1
p1=0.30
p2=0.20
p3=0.50
x1=1
x2=4
x3=5
p = factorial(10)/(factorial(n1)*factorial(n2)*factorial(n3))*p1^x1*p2^x2*p3^x3
p

 

Meu historico de passeios é bastante consistente, resume-se a sair para jantar e para ir ao cinema. Analisando esse histórico, constatei que tenho uma probabilidade de 0.9 de jantar, de 0.5 de ir ao cinema e 0.4 de fazer as duas coisas na mesma noite. Considerando um universo de 10 saídas, qual a probabilidade de eu ter todas as vezes jantado e em 5 delas eu tambem ter ido ao cinema?

pA = 0.9
pB = 0.5
pab = 0.4
pa = pA - pab
pb = pB - pab
na = 5
nb = 0
nab = 5

p = factorial(na+nb+nab)/(factorial(na)*factorial(nb)*factorial(nab))*pa^na*pb^nb*pab^nab

p = round(p, 4)
p

 

Um destino turístico possui 4 restaurantes — A, B, C, D — cujas possibilidades de escolha por parte dos visitantes são, respectivamente, p1 = 0.3, p2 = 0.2, p3 = 0.4, p4 = 0.1. Qual a probabilidade de, em um conjunto de 5 visitantes, n1 = 1, n2 = 1, n3 = 2, n4 = 1 visitantes escolherem os restaurantes A, B, C, D, respectivamente?

pmultinom = function(n, p) {
  if(length(n)!=length(p)) stop("Vetores com comprimentos diferentes")
  if(sum(p)!=1) stop("Probabilidades não somam 1")
  factorial(sum(n))/prod(sapply(n, factorial))*prod(p^n)
}
pp = c(0.3, 0.2, 0.4, 0.1)
nn = c(1, 1, 2, 1)
p = pmultinom(nn, pp)
p = round(p, 4)
p

 

Sejam duas variaveis aleatórias normalmente distribuídas, x1, x2, com médias µ1 = 10, µ2 = 20 e desvios padrão σ1 = 2 e σ2 = 3. Ao somar essas duas variaveis obtêm-se x3 = x1 + x2; espera-se que:

Sabendo-se que, se x1 ~ N(µ1,σ1) e x2 ~ N(µ2,σ2), então x3 ~ N(µ1 + µ2), (σ1^2+σ22)^1/2. Assim:

mu1 = 10
sigma1 = 2
mu2 = 20
sigma2 = 3
mu3 = mu1 + mu2
sigma3 = sqrt(sigma1^2+sigma2^2)
c(mu3, sigma3)

 

Supondo que a medição do tempo para executar uma determinada tarefa por meio de uma amostragem em uma escala arbitrária resultou em uma variável que apresenta uma distribuição aproximadamente normal, com média x¯ = 100 e desvio padrão s = 20. Qual a probabilidade de um novo valor, coletado ao acaso, ser menor que 65 ou maior que 95?

xbarra = 100
desvpad = 20
xmin = 65
xmax = 95
p = 1-pnorm(xmax,xbarra,desvpad)+pnorm(xmin,xbarra,desvpad)
p = round(p, 4)
p

 

Se a probabilidade de um determinado dia em Curitiba ser ensolarado é de 22%, de estar chovendo é de 34% e de estar nublado é de 44%, qual a probabilidade de termos 1 dia de cada em um conjunto de 3 dias?

x = c(1, 1, 1)
p = c(0.22, 0.34, 0.44)
factorial(sum(x))/prod(factorial(x))*prod(p^x)

 

Uma amostragem apresentou os seguintes resultados.

a = [102 91 112 101 105 85 92 98 80 95]

Apos a padronização dos dados, com a operação $ ap = $

pode-se afirmar que:

a = c(102, 91, 112, 101, 105, 85, 92, 98, 80, 95)
ap = scale(a)
summary(ap)

 

Distribuição aproximadamente Normal com Média e Desvio Padrão

\(p = pnorm(xmax,xbarra,desvpad)-pnorm(xmin,xbarra,desvpad)\)

Exemplos

Supondo que a medicão da habilidade para executar uma determinada tarefa por meio de uma amostragem em uma escala arbitrária resultou em uma variável que apresenta uma distribuicão aproximadamente normal, com média x¯ = 10 e desvio padrao s = 2. Qual a probabilidade de um novo valor, coletado ao acaso, ficar entre 6 e 8?

xbarra = 10
desvpad = 2
xmin = 6
xmax = 8

p = pnorm(xmax,xbarra,desvpad)-pnorm(xmin,xbarra,desvpad)
p

 

Supondo que a medição da habilidade para executar uma determinada tarefa por meio de uma amostragem em uma escala arbitraria resultou em uma variável que apresenta uma distribuição ao aproximadamente normal, com média x¯ = 15 e desvio padrão s = 2.7, Qual a afirmação verdadeira?

xbarra = 15
desvpad = 2.7
q = round(qnorm(0:4/4, xbarra, desvpad),4)
names(q) = paste("q",0:4, sep = "")

q

q[4]-q[2]

 

Distribuição Normal

Uma característica importante das distribuições normais, é que elas dependem apenas da média \((\mu)\) e do desvio padrão \((\sigma)\).

 

Exemplos

Em uma população com altura média de 180cm e desvio-padrão de 22cm, normalmente distribuída, qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ter altura entre 150cm e 200cm?

plotareas(x1 = 150, x2 = 200, media = 180, dp = 22, density = 80)

pnorm(200, 180, 22)-pnorm(150, 180, 22)

 

Imaginando que o chamado quociente de inteligência (QI) seja uma medida normalmente distribuída, possuindo média igual a 100 e desvio padrão igual a 15, determine:

 

a) A probabilidade de alguém possuir QI acima de 120.

m=100
sd=15
q=120
1-pnorm(q, m, sd)

 

b)O QI de uma pessoa que está acima de 99% da população.

q=qnorm(0.99,100,15)

plotareas(q,999,100,15)

 

c) A probabilidade de uma pessoa possuir QI acima de 90 ou abaixo de 70.

plotareas(c(90,-999), c(999,70),100,15)

pnorm(70,100,15) + (1 - pnorm(90,100,15))

 

d) A probabilidade de uma pessoa possuir QI entre 90 e 120 ou acima de 110.

plotareas(c(90, 110), c(120, 999), 100, 15, col = c(4, 2), density = 50, angle = c(45, -45))

O que, por meio de observação e cálculo direto, fornece

1-pnorm(90, 100, 15)

 

e) Uma variável x normalmente distribuída apresenta média igual a 20 e desvio-padrão igual a 3. Calcule o limite superior do intervalo de probabilidade que inicia em x = 15 e compreende 80% da probabilidade de ocorrência de valores para essa variável.

q = qnorm(0.8+pnorm(15, 20, 3), 20, 3)

q

verificando:

pnorm(q, 20, 3) - pnorm(15, 20, 3)

plotareas(15, q, 20, 3)

 

Supondo uma distribuição normal, com média 10 e desvio-padrão 2, calcule as probabilidades:

 

a) De que um valor escolhido ao acaso seja menor que 3.

pnorm(3, 10, 2)

 

De que um valor escolhido ao acaso seja maior que 8.

1-pnorm(8, 10, 2)

 

De que um valor escolhido ao acaso esteja entre 9 e 11.

pnorm(11, 10, 2)-pnorm(9, 10, 2)

 

De que um valor escolhido ao acaso esteja entre 10 e 12.

pnorm(12, 10, 2)-pnorm(10, 10, 2)

 

O tempo para atendimento de clientes na fila de um banco está normalmente distribuído com média igual a 8 min, e o desvio padrão de 2 min. Qual a probabilidade que um atendimento dure:

 

a) Menos do que 5 min?

s=2
m=8
p=5

q=pnorm(p,m,s)
q 

Portanto, como o valor da probabilidade é 0.0668 (6,68%) que é a área hachurada, o restante da área obtem-se subtraindo 6,668 de 50 que resulta em uma probabilidade de 43.32

plotareas(5,q,8,2)

 

b) Mais do que 10 min?

q=pnorm(10,m,s)
q

plotareas(10,q,8,2)

Portanto, conforme a figura, o valor hachurado equivale a 0.84134 ou 84,13%. Logo subtraindo este valor de 100, teremos a probabilidade de 15.87 referente a área não hachurada que é a solução do problema.

 

c) entre 7 e 9?

q=pnorm(9,8,2)-pnorm(7,8,2)
q

x1 = 7
x2 = 9
m = 8
s = 2

plotareas(x1,x2,m,2)

A área hachurada do gráfico equivale a 38,29%