Jälkitehtävä 1

Tehtävä 1

Heikki mittasi lepopulssiaan ja sai seuraavat tulokset: 67, 62, 58, 74, 65, 66, 63. Määritä 95 % luottamusväli Heikin keskimääräiselle lepopulssille.

pulssi <-c(67,62,58,74,65,66,63)
#Laskee luottamusvälin. Parametreina keskiarvo, keskihajonta, alkoiden määrä ja vaaditun luottamusvälin prosentit
luottamusvali <- function(sampleMean, standardDeviation, sampleCount, confidenceLevel) {
  x <- 1-(1-confidenceLevel/100)/2
  error <-qt(x, df=sampleCount-1)*standardDeviation/sqrt(sampleCount)
  left <- sampleMean - error
  right <- sampleMean + error
  return(c(left, right) )
}
round(luottamusvali(mean(pulssi), sd(pulssi), length(pulssi), 95), 1)

## [1] 60.4 69.6

Vastaus: Luottamusväli [60,4 ; 69,6]

Tehtävä 2

Estimoitaessa normaalisti N(myy: 2,2) jakautuneen satunnaissuureen odotusarvoa myy, otetaan n kappaleen otos. Kuinka suuri otos on valittava, että myyn:n 99 %:n luottamusvälin pituus ei ole suurempi kuin 1,5?

otosKoko <- function(todennakoisyys, error, standardDeviation){
  n <-qnorm(((1-todennakoisyys/100)/2)+todennakoisyys/100)^2 * standardDeviation^2 / error^2
  return(n)
}
round(otosKoko(99, 0.75, 2.2), 0)

## [1] 57

Vastaus: Otoksen tulee olla suurempi tai yhtä suuri kuin 57

Tehtävä 3

Internetgallupissa kysyttiin 1500 suomalaiselta, onko heillä ilmalämpöpumppua. Ilmalämpöpumpun sanoi omistavansa 52,9 %. Määritä 95 %:n luottamusväli ilmalämpöpumpun omistavien suhteelliselle osuudelle.

library(Hmisc)

## Loading required package: lattice

## Loading required package: survival

## Loading required package: Formula

## Loading required package: ggplot2

## 
## Attaching package: 'Hmisc'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     format.pval, units

v <-c(binconf((1500*0.529), 1500, alpha = 0.05))
round(v,2)

## [1] 0.53 0.50 0.55

Vastaus: Luottamusväli [0.50 ; 0.55]

Tehtävä 4

Otoksesta, jonka koko on a) 35 b) 100, saadaan otoskeskiarvoksi 168.1 cm? Perusjoukon keskihajonta on sigma=10,0 cm. Testaa, poikkeaako myy arvosta 172 tilastollisesti.

#a)
round(luottamusvali(172,10,35,99))

## [1] 167 177

#99% todennäköisyydelle luottamusväli on [167 ; 177], joten 168.1 ei poikkea tilastollisesti arvosta 172

#b)
round(luottamusvali(172,10,100,99))

## [1] 169 175

#99% todennäköisyydelle luottamusväli on [169 ; 175], joten 168.1 poikkeaa tilastollisesti arvosta 172

Vastaus: a) Ei poikkea b) Poikkeaa

Tehtävä 5

Suklaakonvehtirasian sisällön painoksi ilmoitetaan 300 g. Tuotannon luotettavuutta testattiin 20 rasian otoksella. Otoksen keskiarvo oli 295 g ja keskihajonta 7,8 g. Testaa kaksisuuntaisella testillä 5 %:n riskitasolla voidaanko luottaa siihen, että rasioiden keskipaino on 300 g.

H0 = Rasioiden keskipaino 5 % riskillä on 300 g, toisin sanoen p-arvo <= 0,05. H1 = kone ei ole riittävän tarkka

t.testi <- function(otoksenKeskiarvo, perusjoukonKeskiarvo, otoksenKeskihajonta, otoskoko){
  t<- (otoksenKeskiarvo - perusjoukonKeskiarvo)/(otoksenKeskihajonta/sqrt(otoskoko))
  return(t)
}

t<-t.testi(295.0,300.0,7.8,20)
t

## [1] -2.866754

p_arvo <- 2 *pt(-abs(t), df= 20-1)
p_arvo

## [1] 0.009873326

Vastaus: Koska p-arvo 0,00987 <= 0,05, nollahypoteesi jää voimaan. 5 % riskillä rasioiden keskipaino on 300 g.

Tehtävä 6

Empaattisuutta käsittelevässä tutkimuksessa tyttöjen ja poikien saamat pistemäärät olivat seuraavat: Pojat {60,58,56,54,52,50,48,46}

Selvitä kaksisuuntaisella testillä, onko tyttöjen ja poikien keskiarvoissa eroa. H0: empaattisuus ei ole riippuvaista sukupuolesta

m <- matrix(c(52,56,56,58,60,62,68,74,60,58,56,54,52,50,48,46),nrow = 2, ncol = 8, byrow = TRUE)
chisq.test(m)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  m
## X-squared = 8.403, df = 7, p-value = 0.2984

Vastaus: p-arvo on 0.29, joten nollahypoteesi hylätään täysin perusteettomana. Empaattisuus riippuu sukupuolesta.

Tehtävä 7

Testaa 5 % riskillä, noudattavatko linja-autojen kulkuajat tasaista jakaumaa. Tätä varten laskettiin tunnin aikana havaintopisteen ohittavat linja-autot ja saatiin seuraava empiirinen jakauma: Tunnin neljännes 1. 2. 3. 4. Autojen lukumäärä 6 15 9 18

a<-c(6,15,9,18)
chisq.test(a)

## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  a
## X-squared = 7.5, df = 3, p-value = 0.05756

Vastaus: p-arvoksi saadaan 0.05756, joka > 0.05. Linja-autot eivät noudata tasaista jakaumaa

Tehtävä 8

Väitettiin, että pojat ovat enemmän poissa koulusta kuin tytöt. Asiaa selvitettiin valitsemalla umpimähkään 50 pojan ja 75 tytön otos. Pojista 14 ja tytöistä 13 oli ollut poissa koulusta edellisen kuukauden aikana. Testaa väite 5 %:n riskitasolla.

x1<-(14/50)
x2<-(13/75)
n1<-50
n2<-75
ylaosa<-(x1-x2)
alaosa1<-((n1+n2)/(n1+n2-2))
alaosa2<-((n1+n2)/(n1*n2))
alaosa3<-sqrt(alaosa1*alaosa2)
t<-ylaosa/alaosa3
t

## [1] 0.5795446