Economia Regional: análise de insumo-produto de Leontief em R

Abstract

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Citação

Sugestão de citação: FIGUEIREDO, Adriano Marcos Rodrigues. Economia Regional: análise de insumo-produto de Leontief em R. Campo Grande-MS,Brasil: RStudio/Rpubs, 2019. Disponível em http://rpubs.com/amrofi/Regional_Economics_mip.

1 O modelo de recursos e usos (insumo-produto) de Leontief

O modelo parte de uma matriz de insumo-produto com dois setores do tipo abaixo:

Modelo Insumo Produto Teórico (2x2)

A ideia básica deste arquivo é apresentar uma rotina para calcular multiplicadores de Insumo-Produto de Leontief em R. Os passos são: 1. chamar os dados, quando será preciso criar a matriz A dos Coeficientes tecnicos. Portanto chamarei a matriz de Consumo Intermediario e a linha dos totais do Valor Bruto da Producao. O comando dput() gerou a estrutura de dados de modo a colocá-los embeded.

A matriz insumo-produto deste exemplo será algo como:

==========================================
            s1    s2       C    G   I   X 
------------------------------------------
s1        25      20       5    30  35  35
s2        35      15      45    20  25  50
M          5    10  
trib      10       5                
sal       55      98                
outros    20      42                
vbp      150     190                
po        15      11                
==========================================

em que: \(s1\) e \(s2\) são os setores; \(C\), \(G\), \(I\) e \(X\) são, respectivamente, consumo das famílias, gasto do governo, investimento e exportações, ou seja, os componentes da demanda final; \(M\) são importações; \(trib\) são os impostos; \(sal\) são os salários; \(outros\) são os demais componentes do valor adicionado; vbp é o valor bruto da produção; e \(po\) é o pessoal ocupado.

A imagem fornece uma ideia mais intuitiva:

Modelo Insumo Produto (2x2)

exemplo_powerpoint <- structure(list(X__1 = c(25, 35, 5, 10, 55, 20, 150, 15), 
    X__2 = c(20, 15, 10, 5, 98, 42, 190, 11), X__3 = c(5, 45, NA, NA, NA, NA, 
        NA, NA), X__4 = c(30, 20, NA, NA, NA, NA, NA, NA), X__5 = c(35, 25, 
        NA, NA, NA, NA, NA, NA), X__6 = c(35, 50, NA, NA, NA, NA, NA, NA)), 
    row.names = c(NA, -8L), class = c("tbl_df", "tbl", "data.frame"))
(exemplo_powerpoint)

CI <- as.matrix(exemplo_powerpoint[1:2, 1:2])
(CI)

  X__1 X__2
1   25   20
2   35   15

2 Procedimentos

Organizaremos os dados em seus componentes: consumo intermediário (CI), demanda final, totais de linhas e colunas.

# CI - consumo intermediário
flowtable <- rbind(c(25, 20), c(35, 15))
# demanda final de consumo das famílias
finaldemand.C <- rbind(c(5), c(45))
# demanda final total (fd.T)
fd.T <- rbind(c(105), c(140))
# Combinando em uma tabela insumo-produto
inputoutputtable <- cbind(flowtable, fd.T)
# Converter objeto em um `data.frame`
inputoutputtable <- as.data.frame(inputoutputtable)
# Nomear colunas da tabela (dataframe)
names(inputoutputtable) <- c("x1", "x2", "finaldemand.total")
# Calcular o produto total, adicionar demanda final e colunas intermediárias
inputoutputtable$totaloutput <- inputoutputtable$x1 + inputoutputtable$x2 + 
    inputoutputtable$finaldemand.total
# Mostrar uma tabela MIP pequena
knitr::kable(inputoutputtable)

x1	x2	finaldemand.total	totaloutput
25	20	105	150
35	15	140	190

# Salvar o produto total como vetor em objeto separado para uso posterior
totaloutput <- inputoutputtable$totaloutput

3 Matriz de coeficientes técnicos

Os coeficientes técnicos que compõem a matriz A de coeficientes técnicos serão obtidos fazendo:

\[{a_{ij}} = \frac{{{X_{ij}}}}{{{X_j}}}\]

ou ainda,

\[{X_{ij}} = {a_{ij}}{X_j}\]

A matriz \(A\) é a matriz de coeficientes técnicos de produção; e as colunas da matriz \(A\) fornecem ideia da estrutura tecnológica do setor:

\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1i}}}& \ldots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2i}}}& \ldots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{i1}}}&{{a_{i2}}}& \ldots &{{a_{ii}}}& \ldots &{{a_{in}}}\\ \vdots & \vdots &{}& \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{ni}}}& \ldots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\]

e as matrizes \(X\) e \(Y\) são tais que:

\[X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}}\\ {{X_2}}\\ \vdots \\ {{X_i}}\\ \vdots \\ {{X_n}} \end{array}} \right]\]

\[Y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Y_1}}\\ {{Y_2}}\\ \vdots \\ {{Y_i}}\\ \vdots \\ {{Y_n}} \end{array}} \right]\]

O sistema aberto de Leontief é denotado por: \(X = (I-A)^{-1}Y\)

3.1 Procedimento 1

## Calculate coefficient matrix:
z <- (totaloutput)^-1 * diag(2)
A <- flowtable %*% z
# Show A
A

          [,1]       [,2]
[1,] 0.1666667 0.10526316
[2,] 0.2333333 0.07894737

3.2 Procedimento 2

# Using 'Sweep' - ALTERNATIVA PARA GERAR MATRIZ A
A.alternative <- sweep(flowtable, MARGIN = 2, totaloutput, "/")
A.alternative

          [,1]       [,2]
[1,] 0.1666667 0.10526316
[2,] 0.2333333 0.07894737

3.3 Inversa de Leontief

A inversa de Leontief será \((I-A)^{-1}\):

# matriz Identidade menos a matriz de coeficientes técnicos $A$
IminusA <- diag(2) - A
## Calcular inversa
B <- solve(IminusA)
# Mostrar matriz de Leontief (L ou B)
B

          [,1]      [,2]
[1,] 1.2396694 0.1416765
[2,] 0.3140496 1.1216057

4 Multiplicadores de Leontief

4.1 Multiplicadores Tipo I

4.1.1 Emprego tipo I

# pessoal ocupado (PO)
PO <- as.data.frame(exemplo_powerpoint[8, 1:2])
# multiplicador de emprego: efeito direto: matriz 'e'
e <- PO/totaloutput
e

# multiplicador de emprego: efeito direto e indireto: GE = e%*%B #gerador
GE <- as.matrix(e) %*% as.matrix(B)
GE

       [,1]       [,2]
8 0.1421488 0.07910272

# multiplicador ME=GE/e
ME <- GE/e
ME

# 1.421488 1.36632

4.1.2 Renda tipo I

# r = salarios / vbp salarios (sal)
sal <- as.data.frame(exemplo_powerpoint[5, 1:2])
# multiplicador de renda: efeito direto: matriz 'r'
r <- sal/totaloutput
r

# multiplicador de renda: efeito direto e indireto: GR = r%*%B #gerador
GR <- as.matrix(r) %*% as.matrix(B)
GR

       [,1]      [,2]
5 0.6165289 0.6304604

# multiplicador MR=GR/r
MR <- GR/r
MR

# 1.681443 1.222321

4.1.3 Produto - tipo I

# multiplicador de produto:efeito direto e indireto: soma dos coeficientes
# da matriz B em cada coluna
B

          [,1]      [,2]
[1,] 1.2396694 0.1416765
[2,] 0.3140496 1.1216057

# [,1]      [,2]
# [1,] 1.2396694 0.1416765
# [2,] 0.3140496 1.1216057

MP <- colSums(B)
MP

[1] 1.553719 1.263282

# [1] 1.553719 1.263282

4.2 Multiplicadores Tipo II - fechado

Levam em conta os aumentos nos gastos dos consumidores.

# altera a matriz A e B, chamaremos de A2 e B2

flowtable2 <- rbind(flowtable, as.matrix(sal))
flowtable2

  X__1 X__2
    25   20
    35   15
5   55   98

finaldemand.C2 <- rbind(finaldemand.C, 0)
# Using 'Sweep' - ALTERNATIVA PARA GERAR MATRIZ A
Ap <- sweep(flowtable2, MARGIN = 2, totaloutput, "/")
Ap

       X__1       X__2
  0.1666667 0.10526316
  0.2333333 0.07894737
5 0.3666667 0.51578947

# ao lado da coluna 2 colocarei C/U
c_U <- sweep(finaldemand.C2, MARGIN = 1, sum(finaldemand.C), "/")
# matriz A do tipo II - fechado
A2 <- cbind(Ap, c_U)
A2

       X__1       X__2    
  0.1666667 0.10526316 0.1
  0.2333333 0.07894737 0.9
5 0.3666667 0.51578947 0.0

# X__1       X__2    
# [1,] 0.1666667 0.10526316 0.1
# [2,] 0.2333333 0.07894737 0.9
# [3,] 0.3666667 0.51578947 0.0

# B2 é a matriz inversa (Leontief) para A2 - Leontief fechado Identity
# matrix minus technical coefficient matrix.
IminusA2 <- diag(3) - A2
## Calculate inverse.
B2 <- solve(IminusA2)
# Show Leontief matrix. (L ou B)
B2

                                5
X__1 1.657648 0.5691005 0.6779553
X__2 2.044051 2.8906996 2.8060348
     1.662105 1.6996626 2.6959068

# B2
# [,1]      [,2]      [,3]
# X__1 1.657648 0.5691005 0.6779553
# X__2 2.044051 2.8906996 2.8060348
#      1.662105 1.6996626 2.6959068

4.2.1 Emprego tipo II

# pessoal ocupado (PO)
PO <- as.data.frame(exemplo_powerpoint[8, 1:2])
# multiplicador de emprego: efeito direto: matriz 'e'
e <- PO/totaloutput
e

e2 <- cbind(e, 0)
# multiplicador de emprego: efeito direto e indireto: GE2 = e2%*%B2 #gerador
GE2 <- as.matrix(e2) %*% as.matrix(B2)
GE2

                              5
8 0.2841047 0.2242663 0.2302502

# multiplicador ME=GE/e
ME2 <- GE2/e2
ME2

#       X__1     X__2   0
#   2.841047 3.873691 Inf
# posso ignorar o Inf da terceira coluna 
# foi usado somente para contas

4.2.2 Renda tipo II

# r = salarios / vbp salarios (sal)
sal <- as.data.frame(exemplo_powerpoint[5, 1:2])
# multiplicador de renda: efeito direto: matriz 'r'
r <- sal/totaloutput
r

r2 <- cbind(r, 0)
# multiplicador de renda: efeito direto e indireto: GR = r%*%B #gerador
GR2 <- as.matrix(r2) %*% as.matrix(B2)
GR2

                           5
5 1.662105 1.699663 1.695907

# multiplicador MR=GR/r
MR2 <- GR2/r2
MR2

# X__1 X__2 0 4.533012 3.295264 Inf

4.2.3 Produto tipo II

# multiplicador de produto:efeito direto e indireto: soma dos coeficientes
# da matriz B2 em cada coluna

MP2 <- colSums(B2)
MP2

                         5 
5.363804 5.159463 6.179897 

# [1] 5.363804 5.159463 6.179897 o resultado da coluna 3 pode ser ignorado.
# foi usado apenas para as contas

# Efeito renda no emprego
ER = ME2[, 1:2] - ME
ER

# 1.419559 2.507372

4.3 Setores-chave - Indicadores de Ligação de Rasmussen-Hirschman

Os efeitos para trás são a forma encontrada por Hirschman (1958) para expressar as externalidades decorrentes da implantação de indústrias, que, ao aumentarem a demanda de insumos no setor a montante (para trás ou para nascente) , viabilizariam suas escalas mínimas de produção na região determinada.

Os efeitos para frente, por sua vez, resultariam da oferta de insumos, que tornaria viáveis os setores que se posicionassem a jusante (para a frente ou para poente). O investimento deve priorizar o setor chave da economia, o qual tem efeitos de encadeamentos (ligação) para trás e para frente no processo produtivo acima da média (grau de interdependência entre setores). A indústria chave (mestre) pode induzir o surgimento de várias outras, chamadas indústrias satélites.

A falta de interdependência setorial e, consequentemente, os baixos linkage effects, constituem uma das principais características das economias subdesenvolvidas e dominadas por atividades tradicionais (têxtil, alimentos, calçados etc). A adoção de políticas intervencionistas (tarifas, subsídios, etc.) de estímulos ao desenvolvimento de indústrias mestres nos países subdesenvolvidos é necessária para que estes setores chave maximizem os linkage effects.

4.3.1 Ligação para frente

# media dos coeficientes da linha do setor i / média de todos os
# coeficientes de B
mean_B <- mean(B)
mean_B

[1] 0.7042503

nsetores <- ncol(B)
Ui <- matrix(0, nrow = nsetores, ncol = 1)
for (i in 1:nsetores) {
    Uf <- mean(B[i, ])/mean_B
    Ui[i, 1] <- Uf
}
Ui

          [,1]
[1,] 0.9807209
[2,] 1.0192791

#           [,1]
# [1,] 0.9807209
# [2,] 1.0192791

4.3.2 Ligação para trás

# media dos coeficientes da coluna do setor j / média de todos os
# coeficientes de B
Uj <- matrix(0, nrow = nsetores, ncol = 1)
for (j in 1:nsetores) {
    Ut <- mean(B[, j])/mean_B
    Uj[j, 1] <- Ut
}
Uj

          [,1]
[1,] 1.1031014
[2,] 0.8968986

4.3.3 Tabela Resumo de ligações

ligacoes_frente_tras <- cbind(Ui, Uj)
round(ligacoes_frente_tras, 3)

      [,1]  [,2]
[1,] 0.981 1.103
[2,] 1.019 0.897

#  |          |          |    
#  |---------:|---------:|      
#  | 0.9807209| 1.1031014|    
#  | 1.0192791| 0.8968986| 

Ou seja, nesse caso, valores maiores que 1 indicam maior ligação. A primeira coluna é para frente e a segunda para trás.

Referências