Inferência Estatística: Intervalo de Confiança

Introdução

• Vimos como resumir descritivamente variáveis associadas a um ou mais conjuntos de dados.

• Em seguida, construímos modelos teóricos (probabilísticos), identificados por parâmetros, capazes de representar adequadamente o comportamento de algumas variáveis.

Agora apresentaremos os argumentos estatísticos para fazer afirmações sobre as características de uma população, com base em informações dadas por amostras.

Processo de Inferência

Estatísticas e Parâmetros

• Obtida uma amostra, muitas vezes desejamos usá-la para produzir alguma característica específica. Por exemplo, se quisermos calcular a média da amostra \((X_1,X_2,...,X_n)\), esta será dada por: \(\bar{X}=1/n{X_1+X_2+???+X_n}\)

• Tem-se que \(\bar{X}\) é também uma variável aleatória. Podemos também estar interessados em qualquer outra característica da amostra, que será sempre uma função do vetor aleatório \((X_1,X_2,...,X_n)\).

Definição: Uma estatística é uma característica da amostra, ou seja, uma estatística T é uma função de \(X_1,X_2,...,X_n\).

Definição: Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população.

Métodos para selecionar uma amostra

• Amostra Aleatória Simples: Seleciona um indivíduo de forma aleatória dentre N indivíduos.

• Outros métodos: Amostra Sistemática; Por Conglomerado; dentre outros.

Distribuições Amostrais

Considere o seguinte procedimento:

• 1. uma população X, com determinado parâmetro de interesse ??;
• 2. todas as amostras retiradas da população, de acordo com certo procedimento;
• 3. para cada amostra, calculamos o valor t da estatística T; e
• 4. os valores t formam uma nova população, cuja distribuição recebe o nome de distribuição amostral de T.

Distribuição amostral

Exemplo

• Considere uma população formada pelos elementos: {1, 2, 4, 5}. Desta população temos os seguintes valores para os parâmetros:

\[\mu=(1+2+4+5)/4=12/4=3\] \[\sigma^2=((1-3)^2+(2-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2)/4=2,5\] - Agora vamos obter todas as amostras possíveis de tamanho 2 e calcular a média e a variância:

Amostragem	Elemento 1	Elemento 2	Média
Amostra 1	1	2	1,5
Amostra 2	1	4	2,5
Amostra 3	1	5	3,0
Amostra 4	2	1	1,5
Amostra 5	2	4	3,0
Amostra 6	2	5	3,5
Amostra 7	4	1	2,5
Amostra 8	4	2	3,0
Amostra 9	4	5	4,5
Amostra 10	5	1	3,0
Amostra 11	5	2	3,5
Amostra 12	5	4	4,5
Amostra 13	1	1	1,0
Amostra 14	2	2	2,0
Amostra 15	4	4	4,0
Amostra 16	5	5	5,0

• Calculando a média e a variância da nossa nova variável aleatória \((\bar{X})\):

1,5 2,5 3,0 1,5 3,0 3,5 2,5 3,0 4,5 3,0 3,5 4,5 1,0 2,0 4,0 5,0

\[\mu_\bar{X} =(1,5+2,5+\cdots+5,0)/16=48/16=3,0\]

\[\sigma_\bar{X}^2=((1,5-3)^2+(2,5-3)^2+\cdots+(5-3)^2)/20=1,25\] - Note que a média de v.a. \(\bar{X}\) é igual a média da população \(\mu\).

• A variância populacional \(\sigma^2\) dividida pelo tamanho de cada amostra \(n=2\) é igual a variância de \(\bar{X}\): \(\sigma^2/n=2,5/2=1,25=\sigma_{\bar{X}}^2\).

• Podemos construir o histograma para amostras de tamanho 2 (conforme este exemplo), e outros diferentes tamanhos:

Vamos ao R

pop <- c(1, 2, 4, 5)

sel <- expand.grid(pop, pop)
sel

##    Var1 Var2
## 1     1    1
## 2     2    1
## 3     4    1
## 4     5    1
## 5     1    2
## 6     2    2
## 7     4    2
## 8     5    2
## 9     1    4
## 10    2    4
## 11    4    4
## 12    5    4
## 13    1    5
## 14    2    5
## 15    4    5
## 16    5    5

media_amostral <- apply(sel, 1, mean)

hist(media_amostral,
     main=paste('n =',ncol(sel)))

Exemplo:

• Vamos supor que temos um população referente a quantidade de acidentes por minutos em uma certa avenida.

set.seed(19)
pop <- rpois(n = 6, lambda = 8)
pop

## [1] 5 8 9 4 7 6

• Selecionando todas as amostras possíveis de tamanho 4

sel <- expand.grid(pop, pop, pop, pop)
head(sel)

##   Var1 Var2 Var3 Var4
## 1    5    5    5    5
## 2    8    5    5    5
## 3    9    5    5    5
## 4    4    5    5    5
## 5    7    5    5    5
## 6    6    5    5    5

• Calculando a média para cada amostra

media_amostral <- apply(sel, 1, mean)

• Esboçando o gráfico da distribuição amostral da média

hist(media_amostral,
     main=paste('n =',ncol(sel)))

• Note que a média, da distribuição amostral da média, é igual a média da população

mean(media_amostral)

## [1] 6.5

mean(pop)

## [1] 6.5

Corolário: Se \((X_1,X_2,...,X_n)\) for uma amostra aleatória simples da população X, com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\) finita, e \(\bar{X} = (X_1,X_2,...,X_n)/n\), então:

\[Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma^{2}/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\]

• Aplicação ao nosso exemplo anterior

mu = mean(pop)
sigma2 = var(pop)
n = 4

Z = ( media_amostral-mu )/( sigma2/sqrt(n) )

hist(Z, main="N(0,1)")

Intervalo de Confiança

• Um intervalo de confiança (IC) é um intervalo estimado de um parâmetro de interesse de uma população. Em vez de estimar o parâmetro por um único valor, é dado um intervalo de estimativas prováveis.

• O quanto estas estimativas são prováveis será determinado pelo coeficiente de confiança \((1-\alpha)\), para \(\alpha \in (0,1)\).

• Nível de Confiança: \((1-\alpha)\)

• Nível de Significância: \(\alpha\)

Intervalo de Confiança para \(\mu\) com variância conhecida

• Suponha que queiramos estimar a média \(\mu\) de uma população com distribuição normal com variância \(\sigma^2\) conhecida.

• O estimador de máxima verossimilhança para a média populacional \(\mu\) é dado pela média amostral \(\bar{X}\) de uma amostra de tamanho n. Assim, temos a seguinte quantidade pivotal:

\[Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)\]

Queremos construir um intervalo de confiança da forma:

\[P(-z_{(\alpha/2)} \leq Z \leq z_{(\alpha/2)} )=1-\alpha\] O valor \(z_{(\alpha/2)}\) pode ser obtido de uma distribuição Normal Padrão, N(0,1).

• Com isso, o intervalo de confiança para a média populacional com variância conhecida é dado por:

\[IC(\mu;1-\alpha) = \left(\bar{X} - z_{(\alpha/2)}\sigma/\sqrt{n}; \bar{X} + z_{(\alpha/2)}\sigma/\sqrt{n}\right)\] Chamamos \(\varepsilon = z_{(\alpha/2)}\sigma/\sqrt{n}\) de o erro amostral.

Exemplo:

• O projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto (minutos) para montar um determinado brinquedo.

##  [1] 19 19 24 19 10 17 23 23 14 12 28 20 23 19 19 21 20 17 15 23 21 20 20
## [24] 22 28 26 27 25 19 17 20 19 16 22 19 13

• De acordo com estudos anteriores e conhecimento dos pesquisadores tem-se que \(\sigma = 5,73\).

• Pede-se, construir um intervalo de confiança de nível \(95\%\) para a média populacional \(\mu\).

• Passo 1) Determinar o quantl \((z_{\alpha/2})\) da distribuição normal padrão N(0,1)

alpha = 0.05
zc <- qnorm(p = 1-alpha/2,
             mean = 0,
             sd = 1)
zc

## [1] 1.959964

• Passo 2) Calcular o erro amostral: \(\varepsilon = z_{(\alpha/2)}\sigma/\sqrt{n}\)

sigma = 5.73
n = 36

erro <- zc*sigma/sqrt(n)
erro

## [1] 1.871766

• Passo 3) Construir o intervalo para \(\mu\) com \(95\%\) de confiança

media = mean(tempo)

media - erro

## [1] 18.10046

media + erro

## [1] 21.84399

Com uma confiança de \(95\%\), o tempo médio populacional gasto para montar um brinquedo encontra-se entre 18,10 e 21,84.

• Uma forma mais simples

require(TeachingDemos)

## Loading required package: TeachingDemos

## Warning: package 'TeachingDemos' was built under R version 3.5.1

z.test(tempo,
       mu = media,
       stdev = sigma,
       conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample z-test
## 
## data:  tempo
## z = 0, n = 36.000, Std. Dev. = 5.730, Std. Dev. of the sample mean
## = 0.955, p-value = 1
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 19.97222
## 95 percent confidence interval:
##  18.10046 21.84399
## sample estimates:
## mean of tempo 
##      19.97222

Intervalo de Confiança para \(\mu\) com variância desconhecida

• Tendo os conceitos básicos sobre intervalos de confiança, vamos agora tratar uma situação mais realista: quando a variância \(\sigma^2\) da população é desconhecida.

• Consideremos uma amostra aleatória simples \(X_1,X_2,.,X_n\), obtida de uma população com distribuição normal, com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\) desconhecidas.

• Como neste caso a variância é desconhecida, utilizaremos a variância amostral \(S^2\) no lugar de \(\sigma^2\). Assim, temos que

\[T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_(n-1)\] - A variável T tem distribuição t de Student com \(n-1\) graus de liberdade.

Queremos construir um intervalo de confiança da forma:

\[P(-t_{n-1;\alpha/2} \leq T \leq t_{n-1;\alpha/2} )=1-\alpha\] O valor \(t_{(\alpha/2)}\) pode ser obtido de uma distribuição t-Student com \(n-1\) graus de liberdade.

• Com isso, o intervalo de confiança para a média populacional com variância desconhecida é dado por:

\[IC(\mu;1-\alpha) = \left(\bar{X} - t_{(n-1;\alpha/2)}S/\sqrt{n}; \bar{X} + t_{(n-1;\alpha/2)}S/\sqrt{n}\right)\]

Chamamos \(\varepsilon = t_{(n-1;\alpha/2)}S/\sqrt{n}\) de o erro amostral.

Aplicação: Diâmetro de árvores castanheiras

A seguir encontra-se uma amostra de 10 árvores castanheiras todas com 8 anos de idade numa certa floresta. O diâmetro (polegadas) das árvores foram medidos à uma altura de 3 pés:

\[ 19.4 ~~~ 21.4 ~~~ 22.3~~~ 22.1~~~ 20.1~~~ 23.8 ~~~ 24.6 ~~~ 19.9 ~~~ 21.5~~~ 19.1\]

diametro <- c(19.4, 21.4, 22.3, 22.1, 23.8, 24.6, 19.9, 21.5, 19.1)

Com base neste dados, construa um intervalo com \(95\%\) de confiança

• Passo 1) Determinar o quantl \((t_{\alpha/2})\) da distribuição t-Student com n-1 graus de liberdade

alpha = 0.05
n = length(diametro)
n

## [1] 9

tc <- qt(p = 1-alpha/2,
         df = n-1)

tc

## [1] 2.306004

• Passo 2) Calcular o erro amostral: \(\varepsilon = t_{(\alpha/2)}S/\sqrt{n}\)

S = sd(diametro)

erro <- tc*S/sqrt(n)
erro

## [1] 1.453372

• Passo 3) Construir o intervalo para \(\mu\) com \(95\%\) de confiança

media = mean(diametro)

media - erro

## [1] 20.11329

media + erro

## [1] 23.02004

Com uma confiança de \(95\%\), o diâmetro médio da população da qual a amostra foi retirada encontra-se entre 20.11 e 23.02.

• Uma forma mais simples

t.test(diametro,
       conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  diametro
## t = 34.219, df = 8, p-value = 5.814e-10
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  20.11329 23.02004
## sample estimates:
## mean of x 
##  21.56667

Resolva

Foram realizados testes glicêmicos em 25 pacientes após um jejum de 8 horas. Os resultados são apresentados na tabela abaixo.

\[80 ~~~ 118 ~~~ 100 ~~~ 90 ~~~ 83\] \[117 ~~~ 95 ~~~ 84 ~~~ 102 ~~~ 80\] \[112 ~~~78 ~~~102 ~~~121 ~~~ 82\] \[77 ~~~88 ~~~73 ~~~104 ~~~88\] \[132 ~~~91 ~~~103 ~~~140 ~~~101\]

glic <- c(80,    118,   100,    90,   83,
          117, 95,  84,     102,    80,
          112, 78,  102,    121,    82,
           77, 88,  73,     104,    88,
          132, 91,  103,    140,    101)

1. Realize uma análise exploratória (“namore os dados”): medidas descritivas e gráficos.

summary(glic)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   73.00   83.00   95.00   97.64  104.00  140.00

sd(glic)

## [1] 17.82059

hist(glic, col='purple')

2. Encontrar um intervalo de confiança de nível $ 95% $ para a média $ $. Interprete.

t.test(glic,
       conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  glic
## t = 27.395, df = 24, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   90.28402 104.99598
## sample estimates:
## mean of x 
##     97.64

Com \(95\%\) de confiança, a média populacional para os níveis de glicose desta amostra encontra-se entre 90,284 (mg/dL) e 104,996 90.284 (mg/dL)

Intervalo de confiança para Proporção

Temos que: \[\hat{p} \sim N\left(p; \frac{p(1-p)}{n}\right)\] Observemos que a variância de \(\hat{p}\) depende do parâmetro desconhecido p. No entanto, pelo fato de n ser grande, podemos substituir \(p\) por \(\hat{p}\). Com isso temos que \[Z = \left(\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}\right) \sim N(0,1)\] Considerando o mesmo procedimento de montagem do intervalo para a média, construímos o intervalo com \(100(1 -\alpha)\%\) de confiança para a proporção p:

\[IC(p;1-\alpha) = \left(\hat{p} - z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}; ~~\hat{p} + z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)\] Neste caso o erro amostral é dada por: \(\varepsilon = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\).

Exemplo:

Numa amostra aleatória de tamanho n=700 foram encontrados 68 elementos defeituosos. Achar um intervalo de confiança de nível \(95\%\) para a proporção p de defeituosos.

• Passo 1) Determinar o quantl \((z_{\alpha/2})\) da distribuição normal padrão N(0,1)

alpha = 0.05
zc <- qnorm(p = 1-alpha/2,
             mean = 0,
             sd = 1)
zc

## [1] 1.959964

• Passo 2) Calcular o erro amostral:

p = 68/700
n = 700

erro <- zc*sqrt( p*(1-p)/n  )
erro

## [1] 0.02193886

• Passo 3) Construir o intervalo para \(p\) com \(95\%\) de confiança

p - erro

## [1] 0.075204

p + erro

## [1] 0.1190817

Com uma confiança de \(95\%\), a proporção populacional de elementos defeituosos encontra-se entre \(7,5%\) e \(11,9%\).

• Uma forma mais simples, porém com uma correção:

O intervalo de confiança para proporção p com correção de continuidade, é dado por:

\[IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}_c-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)}{n}},\hat{p}_c+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)}{n}}\right).\]

prop.test(x = 68,
          n = 700,
          conf.level = 0.95)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  68 out of 700, null probability 0.5
## X-squared = 452.81, df = 1, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.0767133 0.1221119
## sample estimates:
##          p 
## 0.09714286

Resolva:

Amostra do PNAD: No ano de 2015 foi realizada na região Centro-Oeste uma Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD). Nesta pesquisa foi coleta uma amostra de 5215 domicílios. Destes domicílios, 2684 não possuíam microcomputadores.

Construa um intervalo, ao nível de \(95\%\) de confiança, para a proporção populacional dos domicílios da região Centro-Oeste que não possuíam computadores no ano de 2015. Interprete o resultado.

• Para resolver este problema, utilize a função prop.test do programa R.

prop.test(x = 2684,
          n = 5215,
          conf.level = 0.95)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  2684 out of 5215, null probability 0.5
## X-squared = 4.4303, df = 1, p-value = 0.03531
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5010030 0.5283137
## sample estimates:
##         p 
## 0.5146692

Com uma confiança de \(95\%\),a proporção populacional dos domicílios da região Centro-Oeste que não possuíam computadores no ano de 2015, encontrou-se entre \(50,01\%\) e \(52,8\%\).