Calculs de proba

EXO 1

1) X ~ Ber(p)

\(p=0.4\)

\(\mathbb P(X ≤ 0.5)\)

## [1] 0.6

\(\mathbb P(X > 1)\)

## [1] 0

\(\mathbb P(e^{−X} < 0.5)\)

## [1] 0.4

2) X ~ Bin(p,n)

\(n=4\)

\(\mathbb P(X ≤ 2)\)

## [1] 0.8208

\(\mathbb P(X > 1)\)

## [1] 0.5248

\(\mathbb P(1 < X < 3)\)

## [1] 0.4992

3) X ~ Exp(a)

\(\mathbb P(X ≤ 1)\)

## [1] 0.09516258 0.63212056

\(\mathbb P(X > 10)\)

## [1] 3.678794e-01 4.539993e-05

\(\mathbb P(1 < X < 8)\)

## [1] 0.4555085 0.3675440

4) X ~ Unif[-2,1]

\(\mathbb P(X ≤ -0.5)\)

## [1] 0.8333333

\(\mathbb P(X > 0)\)

## [1] 0.3333333

\(\mathbb P(-1 < X < 0.5)\)

## [1] 0.5

5) X ~ chi^2

\(d =c(1,5,10)\)

\(\mathbb P(X ≤ 0)\)

## [1] 0 0 0

\(\mathbb P(X > 5)\)

## [1] 0.02534732 0.41588019 0.89117802

EXO 2

Les jurys du baccalauréat ont pour habitude de modéliser les différentes notes de la facon suivante :

X représente la note en mathématiques et suit une \(\mathcal N(10,4)\) Y représente la note en économie et suit une \(\mathcal N(10,16)\) Z représente la note en anglais et suit une \(\mathcal N(12,9)\)

1) Calculer la probabilité qu’un lycéen ait plus de 12 en math, entre 5 et 7 en anglais.

En supposant que les notes X,Y,Z sont indépendantes, calculer la probabilité qu’un lycéen ait plus de 16 dans chacune des 3 matières.

Utilisez la fonction de répartition \(\mathbb P(\mathcal N(m,s2) ≤ t)\) de la loi gaussienne \(\mathcal N(m,s2)\) donnée par proba \(= pnorm(t,m,s)\)

\(\mathbb P(X > 12)\)

## [1] 0.1586553

\(\mathbb P(5 < Z < 7)\)

## [1] 0.03797502

\(\mathbb P(X > 16) \times P(Y > 16) \times P(Z > 16)\)

## [1] 8.225693e-06

Tests d’ajustement

## 'data.frame':    190 obs. of  3 variables:
##  $ ID.DPT : int  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
##  $ BRUT.AN: int  39923 34297 43703 29615 44157 59633 61947 35351 38756 51787 ...
##  $ TYPO   : Factor w/ 2 levels "CADRE","NON.CADRE": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
## 
##     CADRE NON.CADRE 
##        95        95

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   23438   38170   43395   43758   47986   72327
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    6568   14820   17237   17088   20020   26079

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  cadre
## W = 0.97791, p-value = 0.1084
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  tech
## W = 0.98156, p-value = 0.2017
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  cadre
## D = 0.092558, p-value = 0.3672
## alternative hypothesis: two-sided
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  tech
## D = 0.056328, p-value = 0.907
## alternative hypothesis: two-sided
## 
##  Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  cadre and tech
## D = 0.97895, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided