Stöðurúmslíkön / Kvik línuleg líkön
- Upphaf í verkfræðinni kringum 1960
- Rudolf E. Kalman (Kalman filter)
- Rekja t.d. flugvélar og geimskutlur
- Upphaflega þróað fyrir normaldreifða ferla vegna þæginda
\[
\begin{gathered}
x_t = B_tx_{t-1} + C_tu_t + w_t, \mspace{10mu} w_t \sim \mathcal N(0, Q) \\
y_t = Z_tx_t + D_ta_t + v_t, \mspace{10mu} v_t \sim \mathcal N(0, R) \\
x_0 = \mu
\end{gathered}
\]
Einn slembigangur
Það er ein dánartíðni og mismunandi mælingar eftir aldurshópum og öðrum mögulegum skýribreytum eru línuleg föll af þessari dánartíðni.
Hér: \(z_{50-59} = 1\) og \(a_{50-59} = 0\).
Reiknum trend með “frumbreytunni” \(u = 0, 1, 2, \dots\).
\[
\begin{gathered}
x_t = x_{t-1} + u + w_t, \mspace{10mu} w_t \sim \mathcal N(0, q) \\
y_t = Zx_t + a + v_t, \mspace{10mu} v_t \sim \mathcal N(0, R) \\
x_0 = \mu \\
Z =
\begin{bmatrix}
z_{0-9} \\ z_{10-19} \\ \vdots \\ z_{90-99} \\
\end{bmatrix}, \mspace{10mu}
a =
\begin{bmatrix}
a_{0-9} \\ a_{10-19} \\ \vdots \\ a_{90-99} \\
\end{bmatrix}, \mspace{10mu}
R =
\begin{bmatrix}
r_{0-9} & \dots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & r_{90-99}\\
\end{bmatrix}, \mspace{10mu}
y_t =
\begin{bmatrix}
y_{0-9, t} \\ y_{10-19, t} \\ \vdots \\ y_{90-99, t} \\
\end{bmatrix}
\end{gathered}
\]
Tíu slembigangar
- Dánartíðni mismunandi aldurshópa er óháð og hver þeirra fylgir eigin slembigangi með reki.
\[
\begin{gathered}
x_t = x_{t-1} + u + w_t, \mspace{10mu} w_t \sim \mathcal N(0, Q) \\
y_t = x_t + v_t, \mspace{10mu} v_t \sim \mathcal N(0, r) \\
x_0 = \mu \\
x_t =
\begin{bmatrix}
x_{0-9, t} \\ x_{10-19, t} \\ \vdots \\ x_{90-99, t} \\
\end{bmatrix}, \mspace{10mu}
u =
\begin{bmatrix}
u_{0-9} \\ u_{10-19} \\ \vdots \\ u_{90-99} \\
\end{bmatrix}, \mspace{10mu}
Q =
\begin{bmatrix}
q_{0-9} & \dots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & q_{90-99}\\
\end{bmatrix}, \mspace{10mu}
y_t =
\begin{bmatrix}
y_{0-9, t} \\ y_{10-19, t} \\ \vdots \\ y_{90-99, t} \\
\end{bmatrix}
\end{gathered}
\]
