##      cte X1 X2
## [1,]   1  1  0
## [2,]   1  2  0
## [3,]   1  3  0
## [4,]   1  4  1
## [5,]   1  5  1
## [6,]   1  6  1

##        Y
## [1,]  90
## [2,] 100
## [3,] 110
## [4,] 135
## [5,] 145
## [6,] 165

Calcule el producto escalar de la primera y segunda columnas de X

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]    1    1    1    1    1    1

##      [,1]
## [1,]    1
## [2,]    2
## [3,]    3
## [4,]    4
## [5,]    5
## [6,]    6

##      [,1]
## [1,]   21

Calcule X'X

tx<- t(matri_x)
print(tx)

##     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## cte    1    1    1    1    1    1
## X1     1    2    3    4    5    6
## X2     0    0    0    1    1    1

txx<- tx %*% matri_x
print(txx)

##     cte X1 X2
## cte   6 21  3
## X1   21 91 15
## X2    3 15  3

Calcule de X'Y

txy<- tx %*% matri_y
print(txy)

##        Y
## cte  745
## X1  2875
## X2   445

Obtenga la inversa de X'X

inver_txx <- solve(txx)
print(inver_txx,2)

##      cte    X1    X2
## cte  1.3 -0.50  1.17
## X1  -0.5  0.25 -0.75
## X2   1.2 -0.75  2.92

print(txy)

##        Y
## cte  745
## X1  2875
## X2   445

Calcule el producto de [X'X]^-1 y X'Y

B<- inver_txx %*% txy
rownames(B)<- c("Betao", "Beta1", "Beta2")
round(B,2)

##           Y
## Betao 75.00
## Beta1 12.50
## Beta2 10.83

Calcule la matriz de proyecccion P compruebe que P es una matriz idempotente

trans_x<- t(matri_x)
matriA<- inver_txx %*% trans_x
matriP<- matri_x %*% matriA
round(matriP,3)

##        [,1]  [,2]   [,3]   [,4]  [,5]   [,6]
## [1,]  0.583 0.333  0.083  0.250 0.000 -0.250
## [2,]  0.333 0.333  0.333  0.000 0.000  0.000
## [3,]  0.083 0.333  0.583 -0.250 0.000  0.250
## [4,]  0.250 0.000 -0.250  0.583 0.333  0.083
## [5,]  0.000 0.000  0.000  0.333 0.333  0.333
## [6,] -0.250 0.000  0.250  0.083 0.333  0.583

Por lo que comprobamos si el producto \(P\times P=P\)

m_idp <- matriP %*% matriP
round(m_idp,3)

##        [,1]  [,2]   [,3]   [,4]  [,5]   [,6]
## [1,]  0.583 0.333  0.083  0.250 0.000 -0.250
## [2,]  0.333 0.333  0.333  0.000 0.000  0.000
## [3,]  0.083 0.333  0.583 -0.250 0.000  0.250
## [4,]  0.250 0.000 -0.250  0.583 0.333  0.083
## [5,]  0.000 0.000  0.000  0.333 0.333  0.333
## [6,] -0.250 0.000  0.250  0.083 0.333  0.583

Calcule la proyeccion de y sobre X, Y/hat = PY

Y_<- matriP %*% matri_y 
round(Y_,2)

##           Y
## [1,]  87.50
## [2,] 100.00
## [3,] 112.50
## [4,] 135.83
## [5,] 148.33
## [6,] 160.83

Calcule la diferencia entre Y e Y/hat.

Dif<- matri_y - Y_
round(Dif,2)

##          Y
## [1,]  2.50
## [2,]  0.00
## [3,] -2.50
## [4,] -0.83
## [5,] -3.33
## [6,]  4.17

Obtenga los autovalores de la matriz X'X Â ¿Son positivos y Por que?

autovalx<-eigen(txx)
round(autovalx$values,3)

## [1] 98.357  1.378  0.266

El resultado nos arroja que son positivos, por lo que la expresion es un minimo.

Obtenga los autovalores de la matriz P. Compruebe que la traza de P es igual a la suma de sus autovalores.

autovalp<- eigen(matriP)
round(autovalp$values,2)

## [1] 1 1 1 0 0 0

print(autovalp$values,5)

## [1]  1.0000e+00  1.0000e+00  1.0000e+00  1.9752e-15  1.7902e-16 -3.1122e-15

¿La traza de P es igual a la sumatoria de sus autovalores?

trazaP<- sum(diag(matriP))
print(trazaP)

## [1] 3

sum_autoval<- sum(autovalp$values)
print(sum_autoval)

## [1] 3

La traza de P y la sumatoria de todos los autovalores son los mismos

Obtenga los autovalores de la matriz I-P e I+P Obtener autovalor de la matriz \(I-P\)

identite<- diag(1,6,6)
id_p<- identite - matriP
round(id_p,3)

##        [,1]   [,2]   [,3]   [,4]   [,5]   [,6]
## [1,]  0.417 -0.333 -0.083 -0.250  0.000  0.250
## [2,] -0.333  0.667 -0.333  0.000  0.000  0.000
## [3,] -0.083 -0.333  0.417  0.250  0.000 -0.250
## [4,] -0.250  0.000  0.250  0.417 -0.333 -0.083
## [5,]  0.000  0.000  0.000 -0.333  0.667 -0.333
## [6,]  0.250  0.000 -0.250 -0.083 -0.333  0.417

auto_idp <- eigen(id_p)
round(auto_idp$values,2)

## [1] 1 1 1 0 0 0

Obtener autovalores de la matriz \(I+P\)

idmp<- identite + matriP
round(idmp,3)

##        [,1]  [,2]   [,3]   [,4]  [,5]   [,6]
## [1,]  1.583 0.333  0.083  0.250 0.000 -0.250
## [2,]  0.333 1.333  0.333  0.000 0.000  0.000
## [3,]  0.083 0.333  1.583 -0.250 0.000  0.250
## [4,]  0.250 0.000 -0.250  1.583 0.333  0.083
## [5,]  0.000 0.000  0.000  0.333 1.333  0.333
## [6,] -0.250 0.000  0.250  0.083 0.333  1.583

auto_idmp<- eigen(idmp)
round(auto_idp$values,2)

## [1] 1 1 1 0 0 0