Practica 1

Alexander Daniel Alvarez Berardi

22/03/19

Datos:

##      Cte X1 X2
## [1,]   1  1  0
## [2,]   1  2  0
## [3,]   1  3  0
## [4,]   1  4  1
## [5,]   1  5  1
## [6,]   1  6  1
##        Y
## [1,]  90
## [2,] 100
## [3,] 110
## [4,] 135
## [5,] 145
## [6,] 165

Ejercicio 1

col1<-as.matrix(X[,1])

col2<-as.matrix(X[,2])

produc_escalar<- t(col1)%*%col2
print(produc_escalar)
##      [,1]
## [1,]   21

Ejercicio 2

XX<-t(X)%*%X
print(XX)
##     Cte X1 X2
## Cte   6 21  3
## X1   21 91 15
## X2    3 15  3
XY<-t(X)%*%Y
print(XY)
##        Y
## Cte  745
## X1  2875
## X2   445

Ejercicio 3

-Obtenga la inversa de X’X.

XX_inv<-solve(XX)
print(XX_inv)
##           Cte    X1        X2
## Cte  1.333333 -0.50  1.166667
## X1  -0.500000  0.25 -0.750000
## X2   1.166667 -0.75  2.916667

Ejercicio 4

-Calcule el producto de [X’X]???1 y X’Y.

beta<- XX_inv%*%XY
print(beta)
##            Y
## Cte 75.00000
## X1  12.50000
## X2  10.83333

Ejercicio 5

-Calcule la matriz de proyeccción P compruebe que P es una matriz idempotente.

P<-X%*%XX_inv%*%t(X)
print(P)
##                           [,1]                     [,2]
## [1,]  0.5833333333333332593185 0.3333333333333333148296
## [2,]  0.3333333333333333148296 0.3333333333333332593185
## [3,]  0.0833333333333333703408 0.3333333333333332593185
## [4,]  0.2500000000000001110223 0.0000000000000002220446
## [5,]  0.0000000000000002220446 0.0000000000000002220446
## [6,] -0.2499999999999997779554 0.0000000000000002220446
##                           [,3]                      [,4]
## [1,]  0.0833333333333333703408  0.2499999999999997779554
## [2,]  0.3333333333333332038073 -0.0000000000000001110223
## [3,]  0.5833333333333331482962 -0.2500000000000000000000
## [4,] -0.2499999999999996669331  0.5833333333333334813631
## [5,]  0.0000000000000002220446  0.3333333333333337034077
## [6,]  0.2500000000000002220446  0.0833333333333337034077
##                           [,5]                      [,6]
## [1,] -0.0000000000000001110223 -0.2500000000000001110223
## [2,] -0.0000000000000001665335 -0.0000000000000002220446
## [3,]  0.0000000000000000000000  0.2499999999999997779554
## [4,]  0.3333333333333334813631  0.0833333333333337034077
## [5,]  0.3333333333333337034077  0.3333333333333337034077
## [6,]  0.3333333333333337034077  0.5833333333333337034077
print(P%*%P)
##                           [,1]                     [,2]
## [1,]  0.5833333333333332593185 0.3333333333333332593185
## [2,]  0.3333333333333332593185 0.3333333333333332038073
## [3,]  0.0833333333333333980963 0.3333333333333331482962
## [4,]  0.2500000000000002220446 0.0000000000000004579670
## [5,]  0.0000000000000004024558 0.0000000000000004440892
## [6,] -0.2499999999999995003996 0.0000000000000004163336
##                           [,3]                      [,4]
## [1,]  0.0833333333333333703408  0.2499999999999995559108
## [2,]  0.3333333333333330927850 -0.0000000000000002220446
## [3,]  0.5833333333333329262516 -0.2499999999999999722444
## [4,] -0.2499999999999993061106  0.5833333333333337034077
## [5,]  0.0000000000000004718448  0.3333333333333339809634
## [6,]  0.2500000000000003885781  0.0833333333333341058635
##                            [,5]                      [,6]
## [1,] -0.00000000000000033306691 -0.2500000000000002220446
## [2,] -0.00000000000000025905204 -0.0000000000000004024558
## [3,] -0.00000000000000008326673  0.2499999999999995836664
## [4,]  0.33333333333333381442998  0.0833333333333340642302
## [5,]  0.33333333333333403647458  0.3333333333333340364746
## [6,]  0.33333333333333403647458  0.5833333333333340364746

La matriz P es idempotente ya que al multiplicarla por ella misma resulta la misma matriz.

Ejercicio 6

-Calcule la proyección de y sobre X, Y^ = PY.

Y_<-X%*%beta
print(Y_)
##             Y
## [1,]  87.5000
## [2,] 100.0000
## [3,] 112.5000
## [4,] 135.8333
## [5,] 148.3333
## [6,] 160.8333

Ejercicio 7

-Calcule la diferencia entre Y e Y^.

E<-Y-Y_
print(E)
##                           Y
## [1,]  2.5000000000001705303
## [2,]  0.0000000000001136868
## [3,] -2.4999999999999431566
## [4,] -0.8333333333337122895
## [5,] -3.3333333333337691329
## [6,]  4.1666666666661740237

Ejercicio 8

-Obtenga los autovalores de la matriz X’X ¿Son todos positivos? ¿Porqué?

autovalor_XX<-eigen(XX) 
print(autovalor_XX$values)
## [1] 98.356654  1.377669  0.265677

Todos los autovalores son positivos, esto significa que es una matriz definida positiva y que cumple con la condicion de 2° orden del modelo, siendo estos valores un mínimo de la función

Ejercicio 9

-Obtenga los autovalores de la matriz P. Compruebe que la traza de P es igual a la suma de sus autovalores.

autovalor_P<-eigen(P)
print(autovalor_P$values)
## [1]  1.0000000000000015543122  0.9999999999999996669331
## [3]  0.9999999999999995559108  0.0000000000000013199503
## [5]  0.0000000000000001381689 -0.0000000000000025535006
traza<-sum(diag(P))
print(traza)
## [1] 3
print(sum(autovalor_P$values))
## [1] 3

Ejercicio 10

-Obtenga los autovalores de la matriz I???P y I+P

I<-diag(1,6,6) %>% as.matrix()
M<-I-P
print(M)
##                           [,1]                      [,2]
## [1,]  0.4166666666666667406815 -0.3333333333333333148296
## [2,] -0.3333333333333333148296  0.6666666666666667406815
## [3,] -0.0833333333333333703408 -0.3333333333333332593185
## [4,] -0.2500000000000001110223 -0.0000000000000002220446
## [5,] -0.0000000000000002220446 -0.0000000000000002220446
## [6,]  0.2499999999999997779554 -0.0000000000000002220446
##                           [,3]                      [,4]
## [1,] -0.0833333333333333703408 -0.2499999999999997779554
## [2,] -0.3333333333333332038073  0.0000000000000001110223
## [3,]  0.4166666666666668517038  0.2500000000000000000000
## [4,]  0.2499999999999996669331  0.4166666666666665186369
## [5,] -0.0000000000000002220446 -0.3333333333333337034077
## [6,] -0.2500000000000002220446 -0.0833333333333337034077
##                           [,5]                      [,6]
## [1,]  0.0000000000000001110223  0.2500000000000001110223
## [2,]  0.0000000000000001665335  0.0000000000000002220446
## [3,]  0.0000000000000000000000 -0.2499999999999997779554
## [4,] -0.3333333333333334813631 -0.0833333333333337034077
## [5,]  0.6666666666666662965923 -0.3333333333333337034077
## [6,] -0.3333333333333337034077  0.4166666666666662965923
M_<-I+P
print(M_)
##                           [,1]                     [,2]
## [1,]  1.5833333333333332593185 0.3333333333333333148296
## [2,]  0.3333333333333333148296 1.3333333333333332593185
## [3,]  0.0833333333333333703408 0.3333333333333332593185
## [4,]  0.2500000000000001110223 0.0000000000000002220446
## [5,]  0.0000000000000002220446 0.0000000000000002220446
## [6,] -0.2499999999999997779554 0.0000000000000002220446
##                           [,3]                      [,4]
## [1,]  0.0833333333333333703408  0.2499999999999997779554
## [2,]  0.3333333333333332038073 -0.0000000000000001110223
## [3,]  1.5833333333333330372739 -0.2500000000000000000000
## [4,] -0.2499999999999996669331  1.5833333333333334813631
## [5,]  0.0000000000000002220446  0.3333333333333337034077
## [6,]  0.2500000000000002220446  0.0833333333333337034077
##                           [,5]                      [,6]
## [1,] -0.0000000000000001110223 -0.2500000000000001110223
## [2,] -0.0000000000000001665335 -0.0000000000000002220446
## [3,]  0.0000000000000000000000  0.2499999999999997779554
## [4,]  0.3333333333333334813631  0.0833333333333337034077
## [5,]  1.3333333333333337034077  0.3333333333333337034077
## [6,]  0.3333333333333337034077  1.5833333333333337034077
autovalor_M<-eigen(M)
print(autovalor_M$values)
## [1]  1.0000000000000002220446  0.9999999999999998889777
## [3]  0.9999999999999994448885  0.0000000000000006298480
## [5]  0.0000000000000002415019 -0.0000000000000008479877
autovalor_M_<-eigen(M_)
print(autovalor_M_$values)
## [1] 2 2 2 1 1 1