practica1_econometria

Cinthya Umanzor

22 de marzo de 2019

Ejercicio 1

Calcule el producto escalar de la primera y segunda columnas de X.

columna_1<-as.matrix(mat_X[,1])
columna_2<-as.matrix(mat_X[,2])
producto_escalar<-(t(columna_1) %*% columna_2)
print(producto_escalar)
##      [,1]
## [1,]   21

Ejercicio 2:Calcule (X’X) y (X’Y)

mtx<-t(mat_X)
sigm<-(mtx%*%mat_X)
print(sigm)
##     Cte X1 X2
## Cte   6 21  3
## X1   21 91 15
## X2    3 15  3
#Matriz 
mcruzada<-(mtx %*% mat_Y)
print(mcruzada)
##        Y
## Cte  745
## X1  2875
## X2   445

Ejercicio 3: Obtenga la inversa de (X’X)

invsig<-solve(sigm)
print(invsig)
##           Cte    X1        X2
## Cte  1.333333 -0.50  1.166667
## X1  -0.500000  0.25 -0.750000
## X2   1.166667 -0.75  2.916667

Ejercicio 4:Calcule el producto de [X’X]^-1 y (X’Y).

Bestimado<-(invsig%*%mcruzada)
print(Bestimado)
##            Y
## Cte 75.00000
## X1  12.50000
## X2  10.83333

Ejercicio 5:Calcule la matriz de proyeccción (P) .

mp<-(mat_X %*% invsig%*%mtx)
print(mp)
##               [,1]         [,2]          [,3]          [,4]          [,5]
## [1,]  5.833333e-01 3.333333e-01  8.333333e-02  2.500000e-01 -1.110223e-16
## [2,]  3.333333e-01 3.333333e-01  3.333333e-01 -1.110223e-16 -1.665335e-16
## [3,]  8.333333e-02 3.333333e-01  5.833333e-01 -2.500000e-01  0.000000e+00
## [4,]  2.500000e-01 2.220446e-16 -2.500000e-01  5.833333e-01  3.333333e-01
## [5,]  2.220446e-16 2.220446e-16  2.220446e-16  3.333333e-01  3.333333e-01
## [6,] -2.500000e-01 2.220446e-16  2.500000e-01  8.333333e-02  3.333333e-01
##               [,6]
## [1,] -2.500000e-01
## [2,] -2.220446e-16
## [3,]  2.500000e-01
## [4,]  8.333333e-02
## [5,]  3.333333e-01
## [6,]  5.833333e-01

comprovación que la matriz (P) es una matriz idempotente.

idemp<-(mp %*% mp)
print(idemp)
##               [,1]         [,2]          [,3]          [,4]          [,5]
## [1,]  5.833333e-01 3.333333e-01  8.333333e-02  2.500000e-01 -3.330669e-16
## [2,]  3.333333e-01 3.333333e-01  3.333333e-01 -2.220446e-16 -2.590520e-16
## [3,]  8.333333e-02 3.333333e-01  5.833333e-01 -2.500000e-01 -8.326673e-17
## [4,]  2.500000e-01 4.579670e-16 -2.500000e-01  5.833333e-01  3.333333e-01
## [5,]  4.024558e-16 4.440892e-16  4.718448e-16  3.333333e-01  3.333333e-01
## [6,] -2.500000e-01 4.163336e-16  2.500000e-01  8.333333e-02  3.333333e-01
##               [,6]
## [1,] -2.500000e-01
## [2,] -4.024558e-16
## [3,]  2.500000e-01
## [4,]  8.333333e-02
## [5,]  3.333333e-01
## [6,]  5.833333e-01

Ejercicio 6:Calcule la proyección de y sobre X,^Y= PY.

py<-(mp%*%mat_Y)
print(py)
##             Y
## [1,]  87.5000
## [2,] 100.0000
## [3,] 112.5000
## [4,] 135.8333
## [5,] 148.3333
## [6,] 160.8333

Ejercicio 7:Calcule la diferencia entre Y e Y^.

error<-(mat_Y-py)
print(error)
##                  Y
## [1,]  2.500000e+00
## [2,]  1.136868e-13
## [3,] -2.500000e+00
## [4,] -8.333333e-01
## [5,] -3.333333e+00
## [6,]  4.166667e+00

Ejercicio 8:Obtenga los autovalores de la matriz X’X.

autovalores<-eigen(sigm)
print(autovalores)
## eigen() decomposition
## $values
## [1] 98.356654  1.377669  0.265677
## 
## $vectors
##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] -0.2238107  0.8591615  0.4601633
## [2,] -0.9616881 -0.1179798 -0.2474608
## [3,] -0.1583188 -0.4979179  0.8526505
# ¿Son todos positivos? ¿Porqué?

Ejercicio 9:Obtenga los autovalores de la matriz P.

autovalorp<-eigen(mp)
print(autovalorp$values)
## [1]  1.000000e+00  1.000000e+00  1.000000e+00  1.319950e-15  1.381689e-16
## [6] -2.553501e-15

Compruebe que la traza de P es igual a la suma de sus autovalores.

diag(mp)
## [1] 0.5833333 0.3333333 0.5833333 0.5833333 0.3333333 0.5833333
traza<-sum(diag(mp))
print(traza)
## [1] 3
sum_autovalor<-sum(autovalorp$values)
print(sum_autovalor)
## [1] 3

Ejercicio 10:Obtenga los autovalores de la matriz I-P=matrizA y I+P=matrizB

# Matriz identidad
matI<-diag(1,6,6)
print(matI)
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,]    1    0    0    0    0    0
## [2,]    0    1    0    0    0    0
## [3,]    0    0    1    0    0    0
## [4,]    0    0    0    1    0    0
## [5,]    0    0    0    0    1    0
## [6,]    0    0    0    0    0    1

Diferencia de autovalores de Matriz identidad y Matriz de Proyección.

matrizA<-matI-mp
print(matrizA)
##               [,1]          [,2]          [,3]          [,4]          [,5]
## [1,]  4.166667e-01 -3.333333e-01 -8.333333e-02 -2.500000e-01  1.110223e-16
## [2,] -3.333333e-01  6.666667e-01 -3.333333e-01  1.110223e-16  1.665335e-16
## [3,] -8.333333e-02 -3.333333e-01  4.166667e-01  2.500000e-01  0.000000e+00
## [4,] -2.500000e-01 -2.220446e-16  2.500000e-01  4.166667e-01 -3.333333e-01
## [5,] -2.220446e-16 -2.220446e-16 -2.220446e-16 -3.333333e-01  6.666667e-01
## [6,]  2.500000e-01 -2.220446e-16 -2.500000e-01 -8.333333e-02 -3.333333e-01
##               [,6]
## [1,]  2.500000e-01
## [2,]  2.220446e-16
## [3,] -2.500000e-01
## [4,] -8.333333e-02
## [5,] -3.333333e-01
## [6,]  4.166667e-01

Sumatoria de autovalores de Matriz identidad y Matriz de Proyección.

matrizB<-matI+mp
print(matrizB)
##               [,1]         [,2]          [,3]          [,4]          [,5]
## [1,]  1.583333e+00 3.333333e-01  8.333333e-02  2.500000e-01 -1.110223e-16
## [2,]  3.333333e-01 1.333333e+00  3.333333e-01 -1.110223e-16 -1.665335e-16
## [3,]  8.333333e-02 3.333333e-01  1.583333e+00 -2.500000e-01  0.000000e+00
## [4,]  2.500000e-01 2.220446e-16 -2.500000e-01  1.583333e+00  3.333333e-01
## [5,]  2.220446e-16 2.220446e-16  2.220446e-16  3.333333e-01  1.333333e+00
## [6,] -2.500000e-01 2.220446e-16  2.500000e-01  8.333333e-02  3.333333e-01
##               [,6]
## [1,] -2.500000e-01
## [2,] -2.220446e-16
## [3,]  2.500000e-01
## [4,]  8.333333e-02
## [5,]  3.333333e-01
## [6,]  1.583333e+00