Tarea

Denis Fernando Flamenco Nolasco

17 de marzo de 2019

Importacion de datos

library(readr)
library(dplyr)
ruta_archivo<-"C:/Users/74/Downloads/practica_1_ejercicio.csv"
datos<-read_csv(file = ruta_archivo)
datos
## # A tibble: 6 x 3
##       Y    X1    X2
##   <dbl> <dbl> <dbl>
## 1    90     1     0
## 2   100     2     0
## 3   110     3     0
## 4   135     4     1
## 5   145     5     1
## 6   165     6     1

Contruccion de Matrices

Construccion de Matriz Y

datos %>% select("Y") %>% as.matrix()->Yregresada
Yregresada
##        Y
## [1,]  90
## [2,] 100
## [3,] 110
## [4,] 135
## [5,] 145
## [6,] 165

Construccion de Matriz X

datos %>%  mutate(Cte=1) %>% select("Cte","X1","X2") %>% as.matrix()->Xregresor
Xregresor
##      Cte X1 X2
## [1,]   1  1  0
## [2,]   1  2  0
## [3,]   1  3  0
## [4,]   1  4  1
## [5,]   1  5  1
## [6,]   1  6  1

Calcule el producto escalar de la primera y segunda columna de X

columna_1<-as.matrix(Xregresor[,1])
columna_2<-as.matrix(Xregresor[,2])
Tras<-t(columna_1)
productoescalar<-((t(columna_1)%*%columna_2))
productoescalar
##      [,1]
## [1,]   21

Calcule el producto de X transpuesta por X

Xtranspuesta<-t(Xregresor)
sigmamatriz<-(Xtranspuesta%*%Xregresor)
sigmamatriz
##     Cte X1 X2
## Cte   6 21  3
## X1   21 91 15
## X2    3 15  3

Calcule el producto de X transpuesta por Y

cruzada<-(Xtranspuesta%*%Yregresada)
cruzada
##        Y
## Cte  745
## X1  2875
## X2   445

Obtenga la inversa de (X transpuesta por X)

inversigma<-solve(sigmamatriz)
inversigma
##           Cte    X1        X2
## Cte  1.333333 -0.50  1.166667
## X1  -0.500000  0.25 -0.750000
## X2   1.166667 -0.75  2.916667

Calcule el producto de [X’X]^-1 y X’Y

betaestimado<-(inversigma%*%cruzada)
betaestimado
##            Y
## Cte 75.00000
## X1  12.50000
## X2  10.83333

Calcule la matriz de proyeccción P compruebe que P es una matriz idempotente

matrizp<-(Xregresor%*%inversigma%*%Xtranspuesta)
matrizp
##               [,1]          [,2]          [,3]          [,4]          [,5]
## [1,]  5.833333e-01  3.333333e-01  8.333333e-02  2.500000e-01 -7.771561e-16
## [2,]  3.333333e-01  3.333333e-01  3.333333e-01 -4.440892e-16 -5.551115e-16
## [3,]  8.333333e-02  3.333333e-01  5.833333e-01 -2.500000e-01 -2.220446e-16
## [4,]  2.500000e-01 -2.220446e-16 -2.500000e-01  5.833333e-01  3.333333e-01
## [5,] -2.220446e-16 -2.220446e-16 -2.220446e-16  3.333333e-01  3.333333e-01
## [6,] -2.500000e-01  0.000000e+00  2.500000e-01  8.333333e-02  3.333333e-01
##               [,6]
## [1,] -2.500000e-01
## [2,] -6.661338e-16
## [3,]  2.500000e-01
## [4,]  8.333333e-02
## [5,]  3.333333e-01
## [6,]  5.833333e-01
pidempotente<-(matrizp%*%matrizp)
pidempotente
##               [,1]          [,2]          [,3]          [,4]          [,5]
## [1,]  5.833333e-01  3.333333e-01  8.333333e-02  2.500000e-01 -1.628329e-15
## [2,]  3.333333e-01  3.333333e-01  3.333333e-01 -8.557947e-16 -1.073216e-15
## [3,]  8.333333e-02  3.333333e-01  5.833333e-01 -2.500000e-01 -4.024558e-16
## [4,]  2.500000e-01 -4.163359e-16 -2.500000e-01  5.833333e-01  3.333333e-01
## [5,] -3.978277e-16 -3.700743e-16 -3.238173e-16  3.333333e-01  3.333333e-01
## [6,] -2.500000e-01 -9.714677e-17  2.500000e-01  8.333333e-02  3.333333e-01
##               [,6]
## [1,] -2.500000e-01
## [2,] -1.290634e-15
## [3,]  2.500000e-01
## [4,]  8.333333e-02
## [5,]  3.333333e-01
## [6,]  5.833333e-01

Calcule la proyección de y sobre X, Y = PY

Yproyectada<-(matrizp%*%Yregresada)
Yproyectada
##             Y
## [1,]  87.5000
## [2,] 100.0000
## [3,] 112.5000
## [4,] 135.8333
## [5,] 148.3333
## [6,] 160.8333

Calcule la diferencia entre Y e Y(estimada)

error<-(Yregresada-Yproyectada)
error
##                  Y
## [1,]  2.500000e+00
## [2,]  3.410605e-13
## [3,] -2.500000e+00
## [4,] -8.333333e-01
## [5,] -3.333333e+00
## [6,]  4.166667e+00

Obtenga los autovalores de la matriz X’X ¿Son todos positivos? ¿Porqué?

autovalor<-eigen(sigmamatriz)
autovalor
## eigen() decomposition
## $values
## [1] 98.356654  1.377669  0.265677
## 
## $vectors
##            [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] -0.2238107  0.8591615  0.4601633
## [2,] -0.9616881 -0.1179798 -0.2474608
## [3,] -0.1583188 -0.4979179  0.8526505

Obtenga los autovalores de la matriz P. Compruebe que la traza de P es igual a la suma de sus autovalores

pautovalor<-eigen(matrizp)
pautovalor
## eigen() decomposition
## $values
## [1]  1.000000e+00  1.000000e+00  1.000000e+00  1.239518e-15 -2.771913e-16
## [6] -2.581015e-15
## 
## $vectors
##             [,1]        [,2]       [,3]        [,4]        [,5]
## [1,]  0.44417350 -0.04515477 0.61968079 -0.08041677  0.64046746
## [2,]  0.01029591  0.19169554 0.54449991  0.58524525 -0.44635626
## [3,] -0.42358169  0.42854584 0.46931903 -0.50482849 -0.19411121
## [4,]  0.14712398 -0.70779482 0.24640286  0.01366530 -0.38951772
## [5,] -0.28675362 -0.47094451 0.17122198 -0.45174232 -0.05554324
## [6,] -0.72063121 -0.23409420 0.09604109  0.43807702  0.44506096
##              [,6]
## [1,]  0.001112332
## [2,] -0.353441306
## [3,]  0.352328974
## [4,]  0.514544336
## [5,] -0.677872031
## [6,]  0.163327695
traza<-sum(diag(matrizp))
sumautovalores<-sum(pautovalor$values)
sumautovalores
## [1] 3

Matriz identidad

c1<-c(1,0,0,0,0,0)
c2<-c(0,1,0,0,0,0)
c3<-c(0,0,1,0,0,0)
c4<-c(0,0,0,1,0,0)
c5<-c(0,0,0,0,1,0)
c6<-c(0,0,0,0,0,1)
c<-c(c1,c2,c3,c4,c5,c6)
matrizidentidad<-cbind(c1,c2,c3,c4,c5,c6)
matrizidentidad
##      c1 c2 c3 c4 c5 c6
## [1,]  1  0  0  0  0  0
## [2,]  0  1  0  0  0  0
## [3,]  0  0  1  0  0  0
## [4,]  0  0  0  1  0  0
## [5,]  0  0  0  0  1  0
## [6,]  0  0  0  0  0  1

Obtenga los autovalores de la matriz I-P

identimenosp<-(matrizidentidad-matrizp)
identimenosp
##                 c1            c2            c3            c4            c5
## [1,]  4.166667e-01 -3.333333e-01 -8.333333e-02 -2.500000e-01  7.771561e-16
## [2,] -3.333333e-01  6.666667e-01 -3.333333e-01  4.440892e-16  5.551115e-16
## [3,] -8.333333e-02 -3.333333e-01  4.166667e-01  2.500000e-01  2.220446e-16
## [4,] -2.500000e-01  2.220446e-16  2.500000e-01  4.166667e-01 -3.333333e-01
## [5,]  2.220446e-16  2.220446e-16  2.220446e-16 -3.333333e-01  6.666667e-01
## [6,]  2.500000e-01  0.000000e+00 -2.500000e-01 -8.333333e-02 -3.333333e-01
##                 c6
## [1,]  2.500000e-01
## [2,]  6.661338e-16
## [3,] -2.500000e-01
## [4,] -8.333333e-02
## [5,] -3.333333e-01
## [6,]  4.166667e-01

Obtenga los autovalores de la matriz I+P

identimasp<-(matrizidentidad+matrizp)
identimasp
##                 c1            c2            c3            c4            c5
## [1,]  1.583333e+00  3.333333e-01  8.333333e-02  2.500000e-01 -7.771561e-16
## [2,]  3.333333e-01  1.333333e+00  3.333333e-01 -4.440892e-16 -5.551115e-16
## [3,]  8.333333e-02  3.333333e-01  1.583333e+00 -2.500000e-01 -2.220446e-16
## [4,]  2.500000e-01 -2.220446e-16 -2.500000e-01  1.583333e+00  3.333333e-01
## [5,] -2.220446e-16 -2.220446e-16 -2.220446e-16  3.333333e-01  1.333333e+00
## [6,] -2.500000e-01  0.000000e+00  2.500000e-01  8.333333e-02  3.333333e-01
##                 c6
## [1,] -2.500000e-01
## [2,] -6.661338e-16
## [3,]  2.500000e-01
## [4,]  8.333333e-02
## [5,]  3.333333e-01
## [6,]  1.583333e+00