Considere la determinación de la distribución de muestreo de la media muestral \(\bar{X}\). Suponga que se toma una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una población normal con media \(\mu\), y varianza \(\sigma^2\). Cada observación en esta muestra (por ejemplo, \(X_1\), \(X_2\),…, \(X_n\)) es una variable aleatoria distribuida normal e independiente, con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\). Entonces, por la propiedad reproductiva de la distribución normal, se concluye que la media muestral

\[\bar{X} = {X_1 + X_2 + ...+ X_n \over n}\]

tiene una distribución normal con media

\[\mu_{\bar{X}} = {\mu + \mu + ...+ \mu \over n} = \mu\]

y varianza

\[\sigma^2_{\bar{X}} = {\sigma^2 + \sigma^2 + ...+ \sigma^2 \over n^2} = {\sigma^2 \over n}\]

Muchos procedimientos estadísticos comunes requieren que los datos sean aproximadamente normales, por lo que en muchos casos se acude al Teorema del Límite Central para tratar de dar una justificación al hecho de asumir que ciertos datos son aproximadamente normales. Si se muestrea una población que tiene una distribución de probabilidad desconocida o incluso no sigue una distribución normal, la distribución de muestreo de la media muestral será aproximadamente normal con media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2/n\), siempre y cuando el tamaño de la muestra \(n\) sea grande.

El Teorema del Límite Central se aplica independientemente de la forma de la distribución de la población, sin embargo, si la distribución de la población es considerablemente asimétrica, es necesario un tamaño de muestra más grande para obtener una mejor aproximación a la distribución normal. En muchos casos de interés práctico, si \(n\ge 30\), la aproximación normal será satisfactoria sin importar cuál sea la forma de la población. Si \(n< 30\), como se mencionó antes, el teorema funciona si la distribución de la población no está muy alejada de una distribución normal.

EJERCICIOS:

Ejercicio 1

En un curso de Estadística, la probabilidad de que realicen un quiz al final de la clase es del \(12\%\). A lo largo del semestre se tienen \(60\) clases de ese curso ¿Cuál es la probabilidad de tener que presentar un quiz más de \(10\) veces a lo largo del semestre?

Ejercicio 2

En el último año, se estimó que el peso de niños recién nacidos se distribuye normalmente con un valor medio de \(3200\) gramos y una desviación estándar igual a \(320\) gramos.

  • Si se monitorean \(10\) niños recién nacidos ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio de dichos niños monitoreados sea mayor a \(3450\) gramos?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de cinco niños monitoreados esté entre \(15000\) y \(16500\) gramos?
  • ¿Cuántos niños deberían monitorearse si se desea que el peso promedio de éstos se encuentre a no más de \(120\) gramos de la media poblacional con una probabilidad de \(0.95\)?

Ejercicio 3

Un profesor del curso de probabilidad brinda asesorías a sus estudiantes a las 10:15 am, un solo día a la semana, y sabe que en promedio puede atender a un estudiante en \(7\) minutos con una desviación estándar de \(3\) minutos.

  • Calcule la probabilidad de que, tomando como referencia a \(35\) estudiantes, el tiempo promedio de atención sea menos de 5 minutos por estudiante.
  • Si el profesor tiene clase a las 2:00 pm ¿Cuál es la probabilidad de que atienda a \(35\) de sus estudiantes sin tener que llegar tarde a la clase?
  • Si hay estudiantes que después de \(15\) minutos iniciada la clase se marchan si el profesor aún no ha llegado ¿Cuál es la probabilidad de que el profesor llegue a clase y ya se hayan marchado estudiantes sabiendo que tuvo que atender a \(40\) personas en la asesoría?

Ejercicio 4

Una máquina llena bolsas de azúcar con un contenido medio de \(150\ gramos\) y una varianza de \(120\ gramos^2\). Si se toma una muestra aleatoria de \(40\) bolsas ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre \(147\) y \(155\)?

Ejercicio 5

En una bolsa se tienen \(10\) esferas idénticas numeradas del \(0\) al \(9\). Si se hacen \(100\) extracciones, con devolución, calcule la probabilidad de que el \(0\) salga más de \(12\) veces.

Referencias

  • Montgomery D.C & Runger G.C. Probabilidad y estadística aplicada a la ingeniería. (2.ed.). México: Limusa, 2008.