• 随机事件及其概率
• 概率的性质与运算法则
• 离散型随机变量及其分布
• 连续型随机变量的概率分布

• 定义试验、结果、事件、样本空间、概率
• 描述和使用概率的运算法则
• 定义和解释随机变量及其分布
• 计算随机变量的数学期望和方差
• 计算离散型随机变量的概率和概率分布
• 计算连续型随机变量的概率
• 用正态分布近似二项分布
• 用Excel计算分布的概率

• 随机事件的几个基本概念
• 事件的概率
• 概率计算的几个例子

试验

• 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察
  • 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数
• 试验的特点
  • 可以在相同的条件下重复进行
  • 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的
  • 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果

事件的概念

• 事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
  • 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
• 随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的事件
  • 例如：掷一枚骰子可能出现的点数
• 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件
  • 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
• 不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现的事件
  • 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6

事件与样本空间

• 基本事件(elementary event)
  • 一个不可能再分的随机事件
  • 例如：掷一枚骰子出现的点数
• 样本空间(sample space)
  • 一个试验中所有基本事件的集合，用\( \Omega \)表示
  • 例如：在掷枚骰子的试验中，\( \Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \} \)
  • 在投掷硬币的试验中，\( \Omega = \{ 正面,反面 \} \)

什么是事件的概率

• 事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量
• 表示事件A出现可能性大小的数值
• 事件A的概率表示为\( P(A) \)
• 概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义

概率的古典定义

• 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值，记为 \[ P(A)=\frac{事件A所包含的基本事件个数}{样本空间所包含的基本事件个数}=\frac{m}{n} \]

概率的统计定义

• 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为 \[ P ( A ) = \frac { m } { n } = p \]

主观概率的定义

• 对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定
• 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断
• 例如，我认为2018年的中国股市是一个盘整年

• 概率的性质
• 概率的加法法则
• 条件概率与独立事件

• 非负性

  • 对任意事件A，有\( 0 \leq P ( A ) \leq 1 \)

• 规范性

  • 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即\( P ( \Omega ) = 1 \)，\( P ( \Phi ) = 0 \)

• 可加性

  • 若A与B互斥，则\( P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B ) \)
  • 推广到多个两两互斥事件\( A _ { 1 } , A _ { 2 } , \ldots , A _ { n } \)，有\( \boldsymbol { P } \left( A _ { 1 } \cup A _ { 2 } \cup \ldots \cup A _ { n } \right) = P \left( A _ { 1 } \right) + P \left( A _ { 2 } \right) + \ldots + P \left( A _ { n } \right) \)

法则一

• 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则 \[ P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B ) \]

• 事件件\( A _ { 1 } , A _ { 2 } , \ldots , A _ { n } \)两两互斥，则有 \[ \begin{array} { l } { P \left( A _ { 1 } \cup A _ { 2 } \cup \ldots \cup A _ { n } \right) } { = P \left( A _ { 1 } \right) + P \left( A _ { 2 } \right) + \ldots + P \left( A _ { n } \right) } \end{array} \]

「例5.2」某电子公司所属企业职工人数如表所示，从该公司随机抽取一人，计算该职工为手机公司或半导体公司职工的概率。

解：用A表示“抽中的为手机公司职工”这一事件；B表示“抽中的为半导体公司职工”这一事件。随机抽取一人为手机公司或半导体公司职工的事件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为\[ P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B ) = \frac { 4800 } { 12500 } + \frac { 1500 } { 12500 } = 0.504 \]

法则二

对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即 \[ P ( A \cup B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A \cap B ) \]

「例5.5」设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有30%读甲报纸，15%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。

解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝{至少读一种报纸}。则\[ \begin{aligned} { P ( C ) = P ( A \cup B ) } { = P ( A ) + P ( B ) - P ( A \cap B ) } \\ = 0.3 + 0.15 - 0.1 = 0.35 \end{aligned} \]

条件概率

在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为 \[ P ( A | B ) = \frac { P ( A B ) } { P ( B ) } \]

「例5.6」100，其中80件是正品，20件是次品；而80件正品中有50件一等品，30件二等品。现从这100件产品中任取1件，用\( A \)表示“取到一等品”，\( B \)表示“取到正品”，求\( P(A) \)及\( P(A|B) \)。

解：从100件产品中任取1件，共有100种可能结果，其中导致A出现的结果有50种，所以\( P(A)=\frac{50}{100}=\frac 1 2=0.5 \)

若已知B发生，即已知所取产品为正品的条件下，可能出现的结果不再是100种，而是只有80种，其中导致A出现的结果有50种，故\( P(A|B)=\frac{50}{80}=0.625 \)

乘法公式

• 用来计算两事件交的概率
• 以条件概率的定义为基础
• 设A、B为两个事件，若P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)

「例」设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？

解：设\( A_i \)表示“第\( i \)次抽到的是次品”(\( i=1,2 \))，所求概率为\( P(A_1 A_2) \)。

\[ \begin{aligned} P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \right) & = P \left( A _ { 1 } \right) P \left( A _ { 2 } | A _ { 1 } \right) \\ & = \frac { 150 } { 1000 } \cdot \frac { 149 } { 999 } = 0.0224 \end{aligned} \]

独立性

• 一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立
• 若事件\( A \)与\( B \)独立，则\( P(B|A)=P(B) \)，\( P(A|B)=P(A) \)，此时概率的乘法公式可简化为\( P ( A B ) = P ( A ) \cdot P ( B ) \)
• 推广到n个独立事件，有\( P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \ldots A _ { \mathrm { n } } \right) = P \left( A _ { 1 } \right) P \left( A _ { 2 } \right) \ldots P \left( A _ { \mathrm { n } } \right) \)

「例5.8」某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求：

• 在30分钟内三台机床都不需要看管的概率；
• 在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率。

解：设\( A_1 \)，\( A_2 \)，\( A_3 \)为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件，\( A_3 \)为丙机床需要看管的事件，依题意有

\( \text { (1) } P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 3 } \right) = P \left( A _ { 1 } \right) \cdot P \left( A _ { 2 } \right) \cdot P \left( A _ { 3 } \right) = 0.9 \times 0.8 \times 0.85 = 0.612 \)

\( \text { (2) } P \left( A _ { 1 } A _ { 2 } \bar { A } _ { 3 } \right) = P \left( A _ { 1 } \right) \cdot P \left( A _ { 2 } \right) \cdot P ( \bar { A } _ { 3 }) = 0.9 \times 0.8 \times (1-0.85) =0.108 \)

• 随机变量的概念
• 离散型随机变量的概率分布
• 条件概率与独立事件

随机变量的含义

• 一次试验的结果的数值性描述
• 一般用 X、Y、Z 来表示
  • 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量
• 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量

离散型随机变量

• 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来\( X _ { 1 } , X _ { 2 } , \ldots \)
• 以确定的概率取这些不同的值
• 离散型随机变量的一些例子
  • 一批产品中取到次品的个数
  • 单位时间内某交换台收到的呼叫次数等

连续型随机变量

• 随机变量 X 取无限个值
• 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点
• 连续型随机变量的一些例子
  • 一批电子元件的寿命
  • 测量产品长度的误差

离散型随机变量的概率分布

• 列出离散型随机变量X的所有可能取值
• 列出随机变量取这些值的概率
• 通常用下面的表格来表示

\( P \left( X = x _ { i } \right) = p _ { i } \)是X的概率函数。因为\( x_1, x_2, \cdots, x_n \)构成一个完备组，所以\( \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } = 1 \)

「例5.9」如规定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为

0-1分布

• 一个离散型随机变量X只取两个可能的值
  • 例如，男性用 1表示，女性用0表示；合格品用 1 表示，不合格品用0表示

「例5.10」已知一批产品的次品率为p＝0.05，合格率为q=1-p=1-0.05=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为

均匀分布

• 一个离散型随机变量取各个值的概率相同
• 列出随机变量取值及其取值的概率
  • 例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出现各点的概率

「例」投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为

离散型随机变量的数学期望

• 在离散型随机变量\( X \)的一切可能取值的完备组中，各可能取值\( x_i \)与其取相对应的概率\( p_i \)乘积之和
• 描述离散型随机变量取值的集中程度
• 计算公式为 \[ E ( X ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } p _ { i } \]

离散型随机变量的方差

• 随机变量\( X \)的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为\( D(X) \)
• 描述离散型随机变量取值的分散程度
• 计算公式为 \[ D ( X ) = E [ X - E ( X ) ] ^ { 2 } \]

离散系数

• 类似于第4章介绍的离散系数 \[ V=\frac{\sigma}{E(X)} \]

二项分布和泊松分布

离散型随机变量有许多重要的概率分布，下面仅介绍两种最常见的概率分布——二项分布和泊松分布。

二项分布

• 二项分布与贝努里试验有关
• 贝努里试验具有如下属性
  • 试验包含了n 个相同的试验
  • 每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”
  • 出现“成功”的概率 p 对每次试验结果是相同的；“失败”的概率 q 也相同，且 p + q = 1
  • 试验是相互独立的
  • 试验“成功”或“失败”可以计数

二项分布

• 进行\( n \)次重复试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布
• 设\( X \)为\( n \)次重复试验中事件\( A \)出现的次数，\( X \)取\( x \)的概率为

\[ P \{ X = x \} = C _ { n } ^ { x } p ^ { x } q ^ { n - x } \quad ( x = 0,1,2 , \cdots , n ) \]

二项分布的数学期望和方差

• 数学期望：\( E ( X ) = n p \)
• 方差：\( D ( X ) = n p q \)

「例5.14」已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率。

解：设\( X \)为所抽取的3件产品中的次品数，则\( X\sim B ( 3 , 0.05) \)，根据二项分布公式有\[ P \{ X = 2 \} = C _ { 3 } ^ { 2 } ( 0.05 ) ^ { 2 } ( 0.95 ) ^ { 3 - 2 } = 0.007125 \]

泊松分布

• 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布
• 泊松分布的例子
  • 一个城市在一个月内发生的交通事故次数
  • 消费者协会一个星期内收到的消费者投诉次数
  • 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人数

泊松分布的数学期望和方差

• 数学期望：\( E ( X ) = \lambda \)
• 方差：\( D ( X ) = \lambda \)

「例5.15」假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求

• X 的均值及标准差
• 在给定的某周一正好请事假是5人的概率

解：（1）\( E ( X ) = \lambda = 2.5 \)，\( \sqrt { D ( X ) } = \sqrt { 2.5 } = 1.581 \)

（2）\( P \{ X = 5 \} = \frac { ( 2.5 ) ^ { 5 } \mathrm { e } ^ { - 2.5 } } { 5 ! } = 0.067 \)

泊松分布可作为二项分布的近似

• 当试验的次数 n 很大，成功的概率 p 很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即 \[ C _ { n } ^ { x } p ^ { x } q ^ { n - x } \approx \frac { \lambda e ^ { - \lambda } } { x ! } \]

• 概率密度与分布函数
• 正态分布

• 连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值
• 它取任何一个特定的值的概率都等于0
• 不能列出每一个值及其相应的概率
• 通常研究它取某一区间值的概率
• 用数学函数的形式和分布函数的形式来描述

概率密度函数

• 设\( X \)为一连续型随机变量，\( x \)为任意实数，\( X \)的概率密度函数记为\( f(x) \)，它满足条件 \[ \begin{array} { l } { \text { (1) } f ( x ) \geq 0 } \\ { \text { (2) } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm { d } x = 1 } \end{array} \]
• 其中\( f(x) \)不是概率

分布函数

• 连续型随机变量的概率也可以用分布函数\( F(x) \)来表示

• 分布函数定义为 \[ F ( x ) = P ( X \leq x ) = \int _ { - \infty } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t \quad ( - \infty < x < + \infty ) \]

• 根据分布函数，\( P ( a < X < b ) \)可以写为 \[ P ( a < X < b ) = \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \mathrm { d } x = F ( b ) - F ( a ) \]

连续型随机变量的期望和方差

• 数学期望：\( E ( X ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x f ( x ) \mathrm { d } x = \mu \)
• 方差：\( D ( X ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } [ x - E ( X ) ] f ( x ) \mathrm { d } x = \sigma ^ { 2 } \)

均匀分布

• 若随机变量X的概率密度函数为 \[ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { b - a } } , \quad a \leq X \leq b \\ { 0 } \quad 其他 \end{array} \right. \]

• 称\( X \)在区间\( [a ,b] \)上均匀分布

• 数学期望：\( E ( X ) = \frac { a + b } { 2 } \)

• 方差：\( D ( X ) = \frac { ( b - a ) ^ { 2 } } { 12 } \)

• 描述连续型随机变量的最重要的分布
• 可用于近似离散型随机变量的分布
  • 例如: 二项分布
• 经典统计推断的基础

正态分布函数的性质

• 概率密度函数在\( x \)的上方，即\( f(x)>0 \)
• 正态曲线的最高点在均值\( \mu \)，它也是分布的中位数和众数
• 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值\( \mu \)和标准差\( \sigma \)来区分。\( \mu \)决定了图形的中心位置，\( \sigma \)决定曲线的平缓程度，即宽度
• 曲线\( f(x) \)相对于均值\( \mu \)对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交
• 正态曲线下的总面积等于1
• 随机变量的概率由曲线下的面积给出

标准正态分布

• 一般的正态分布取决于均值\( \mu \)和标准差\( \sigma \)
• 计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的
• 若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表

标准正态分布函数

• 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布 \[ Z = \frac { X - \mu } { \sigma } \sim N ( 0,1 ) \]

正态分布表

• 将一个一般的转换为标准正态分布
• 计算概率时 ，查标准正态概率分布表
• 对于负的\( x \)，可由\( \phi(-x)=1-\phi(x) \)得到
• 对于标准正态分布，即\( X \sim N(0,1) \)，有
  • \( P(a \leq X \leq b)= \phi(b)-\phi(a) \)
  • \( P(|X| \leq a)= 2 \phi(a) - 1 \)
• 对于一般正态分布，即\( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，有 \[ P(a \leq X \leq b)= \phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \]

「例5.19」设\( X \sim N(0,1) \)，求以下概率：

• \( P ( X < 1.5 ) \)
• \( P ( X > 2 ) \)
• \( P ( - 1 < X \leq 3 ) \)
• \( P ( | X | \leq 2 ) \)

解：（1）\( P ( X < 1.5 ) = \Phi ( 1.5 ) = 0.9332 \)

（2）\( P ( X > 2 ) = 1 - P ( X \leq 2 ) = 1 - 0.9973 = 0.0227 \)

（3）\( \begin{aligned}P ( - 1 < X \leq 3 ) & = P ( X \leq 3 ) - P ( X < - 1 ) \\ & = \Phi ( 3 ) - \Phi ( - 1 ) = \Phi ( 3 ) - [ 1 - \phi ( 1 ) ] \\ & = 0.9987 - ( 1 - 0.8413 ) = 0.84 \end{aligned} \)

（4）\( \begin{aligned}P ( | X | \leq 2 ) & = P ( - 2 \leq X \leq 2 ) = \Phi ( 2 ) - \Phi ( - 2 ) \\ & = \Phi ( 2 ) - [ 1 - \Phi ( 2 ) ] = 2 \Phi ( 2 ) - 1 = 0.9545 \end{aligned} \)

「例5.20」设\( X \sim N(5,3^2) \)，求以下概率：

• \( P(X \leq 10) \)
• \( P(2 \leq X \leq 10) \)

(1) \( \begin{aligned} P ( X \leq 10 ) & = P \left( \frac { X - 5 } { 3 } \leq \frac { 10 - 5 } { 3 } \right) \\ & = P \left( \frac { X - 5 } { 3 } \leq 1.67 \right) = \Phi ( 1.67 ) = 0.9525 \end{aligned} \)

(2)\( \begin{aligned} P ( 2 < X < 10 ) & = P \left( \frac { 2 - 5 } { 3 } < \frac { X - 5 } { 3 } < \frac { 10 - 5 } { 3 } \right) \\ & = P \left( - 1 < \frac { X - 5 } { 3 } < 1.67 \right) \\ & = \Phi ( 1.67 ) - \Phi ( - 1 ) = 0.7938 \end{aligned} \)