Econométrie Appliquée
Zhengyuan Gao
2019/02
Un cours très appliqué
Un plan
- [R] Programmation
- Une autre regard sur les régressions
- Simple séries temporelles
- ARIMA models
- Modèle linéaire généralisé
Evaluation
- L’examen: livres fermés. Une partie “théorique” en auditoire (7 points sur 14), et (2) une partie “pratique” (7 points sur 14).
- Les travaux: Le travail se fera en groupe. Les étudiants devront appliquer certains outils enseignés au cours à un cas pratique de leur choix. (Mathieu Sauvenier(mathieu.sauvenier@uclouvain.be) est l’assistant de cette cour. Il va dire plus sur ce sujet.)
Économétriques maintenant
- une théorie économique \(\longrightarrow\) utiliser des données pour tester ou estimer
- Données (sociales ou naturelles) \(\longrightarrow\) Nouvelle théorie économique (par example, von Neumann théorie de l’utilité et mouvements de particules, Keynes Macroéconomie et Grande Dépression)
- Si nous avons une théorie économique à tester ou qu’il existe un lien logique entre plusieurs variables \(\leftrightarrow\) Econometrie appliquee.
- Pour vous: Utiliser des données pour tester une théorie ou pour estimer le lien entre plusieurs variables.
Cette leçon sur le logiciel [R]
- Concepts principaux du logiciel [R]:
organisation des données
operateur
manipulations diverses, accès à la documentation,
représentations graphiques, programmation et maintenance.
Pourquoi utiliser [R]
- Tout d’abord [R] est un logiciel gratuit et à code source ouvert (open source).
- [R] est fondé par Bell Laboratories (maintenant Nokia Bell Laboratories).
- Tout le monde peut contribuer à son amélioration.
- Un logiciel en rapide et constante évolution.
- C’est aussi un outil très puissant et très complet, particulièrement bien adapté pour la mise en Data Science.
- La plus importante: la liberté.
Mais…Python?
R ou Python
- la plupart des méthodes avancées de statistique/économétrie sont aussi disponibles au travers de modules externes appelés packages. (Ils sont faciles à installer directement à partir d’un menu du logiciel.)
Mes premiers pas en R
Étape 1: Download R (UNIX, Windows et MacOS) en https://www.r-project.org/
Étape 2: Download Rstudio. RStudio est un environnement de développement gratuit, libre et multiplateforme pour [R]. https://www.rstudio.com/
RStudio Desktop: pour une exécution locale du logiciel
Étape 3: Double-cliquez sur l’icône [R] sur votre bureau.
Étape 4: Dans la console, tapez 1+1….
4 fenêtres
Une fenêtre: gestion
Fichier
Une fenêtre: editor pour le script/donnée/projet etc
Une fenêtre: console pour RCommander
Manipulation de données avec RCommander
- Avant de faire des statistiques, il vous faut des données.
- Affectation du résultat dans une variable. La syntaxe suivante:
- Une affectation évalue ainsi une expression, mais n’affiche pas le résultat.
## [1] 2
## [1] 1
- Le script pour une synthaxe longue: écrivez sur le [R] script
## [1] 1.79663
- À la fin de votre session, vous pourrez sauver ce script, sous le nom monscript.R par exemple.
Nature/type des données
- Les fonctions mode() et typeof() permettent de gérer le type des données.
- Type numérique (numeric): les entiers (integer) et les réels (double)
## [1] "double"
## [1] "double"
- Type logique: résultat d’une condition logique. Il peut prendre les valeurs TRUE ou FALSE.
## [1] TRUE
## [1] FALSE
## [1] TRUE
## [1] FALSE
- Le type logique est naturellement converti en type numérique: TRUE vaut 1 et FALSE vaut 0.
## [1] 2
- Le type de caractères (character)
## [1] "character"
## [1] 3
## [1] 3
Structures de données: vecteurs
- Les vecteurs (vector): la fonction c() ou seq() ou les deux points : pour créer les vecteurs.
## [1] 2 1 4
## [1] 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
## [1] 1 2 3
- Il est possible de nommer les éléments d’un vecteur à l’aide de la fonction names().
## A B C
## 1 2 3
Structures de données: les matrices
- Deux notions généralisent la notion de vecteur: matrix et array
- Créer une matrice comportant quatre lignes (row signifie ligne) et trois colonnes remplies par lignes successives (byrow=TRUE) avec les éléments du vecteurs 1:12.
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 2 3
## [2,] 4 5 6
## [3,] 7 8 9
## [4,] 10 11 12
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 5 9
## [2,] 2 6 10
## [3,] 3 7 11
## [4,] 4 8 12
## [1] "matrix"
- La fonction array() permet de créer des matrices multidimensionnelles.
## , , 1
##
## [,1] [,2]
## [1,] 1 3
## [2,] 2 4
##
## , , 2
##
## [,1] [,2]
## [1,] 5 7
## [2,] 6 8
##
## , , 3
##
## [,1] [,2]
## [1,] 9 11
## [2,] 10 12
## [1] "array"
Structures de données: list et data.frame
- Les listes permettent de regrouper dans une même structure des données de types différents.
## [[1]]
## [1] TRUE
##
## [[2]]
## [1] 1 2
##
## [[3]]
## [,1] [,2]
## [1,] 1 3
## [2,] 2 4
##
## [[4]]
## [1] "Une chaîne"
- Il est possible de les nommer de façon explicite.
## $vec
## [1] 1 2
##
## $mat
## [,1] [,2]
## [1,] 1 3
## [2,] 2 4
##
## $chr
## [1] "Une chaîne"
## [[1]]
## [[1]]$vec
## [1] 1 2
##
## [[1]]$mat
## [,1] [,2]
## [1,] 1 3
## [2,] 2 4
##
## [[1]]$chr
## [1] "Une chaîne"
##
##
## [[2]]
## [[2]]$vec
## [1] 3 4
##
## [[2]]$mat
## [,1] [,2]
## [1,] 5 7
## [2,] 6 8
##
## [[2]]$chr
## [1] "Une autre chaîne"
- Le tableau individus \(\times\) variables est la structure par excellence en data science.
- Dans [R], data.frame, c’est une matrice dont les lignes correspondent aux individus et les colonnes aux variables (ou caractères).
donnes = data.frame(Sexe = c("F","F","F"), Taille=c(1.75, 1.7, 1.6),
Poids = c(65, 60, 55),
row.names=c("Mandy", "May", "Maya"))
donnes
## Sexe Taille Poids
## Mandy F 1.75 65
## May F 1.70 60
## Maya F 1.60 55
## 'data.frame': 3 obs. of 3 variables:
## $ Sexe : Factor w/ 1 level "F": 1 1 1
## $ Taille: num 1.75 1.7 1.6
## $ Poids : num 65 60 55
- str permet d’afficher la structure de chacune des colonnes d’un data.frame.
Structures de données: l’autres
## [1] bleu rough bleu rough
## Levels: bleu rough
## [1] "2019-02-01" "2019-02-27"
## [1] "Date"
- les séries temporelles: lorsque les données constituent des valeurs indicées par le temps, il peut être utile au moyen de la fonction ts.
## Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4
## 2017 1 2 3 4
## 2018 5 6 7 8
## 2019 9 10
Operations
- Obtenir de l’information sur une matrice ou un data.frame
- Fusion des colonnes/lignes
## [,1] [,2]
## [1,] 1 5
## [2,] 2 6
## [3,] 3 7
## [4,] 4 8
## ID sexe Poids ID sexe Taille
## 1 1 F 65 1 F 175
## 2 2 F 60 2 F 170
## ID sexe Poids Taille
## 1 1 F 65 175
## 2 2 F 60 170
- Extraction/insertion dans les vecteurs
## [1] 4
## [1] 1 6
## [1] 4 6
## [1] 4
## [1] 1
## [1] FALSE FALSE TRUE
## [1] 6
- Extraction/insertion dans les matrices: l’extraction par indice ou par masque logique
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 2 3
## [2,] 4 5 6
## [3,] 7 8 9
## [4,] 10 11 12
## [1] 6
## [1] 1 4 7 10
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 2 3
## [2,] 10 11 12
## [1] 8
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] TRUE TRUE TRUE
## [2,] FALSE FALSE FALSE
## [3,] TRUE TRUE TRUE
## [4,] FALSE FALSE FALSE
## [1] 1 7 2 8 3 9
## row col
## [1,] 3 1
## [2,] 4 1
## [3,] 3 2
## [4,] 4 2
## [5,] 2 3
## [6,] 3 3
## [7,] 4 3
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 2 3
## [2,] 4 5 0
## [3,] 0 0 0
## [4,] 0 0 0
Création de fonctions
- Utilisation de fonctions: Nous avons vu quelques utilisations des fonctions sin(), sqrt(), exp() et log().
- La déclaration d’une fonction en [R] se fait selon la forme générale suivante:
function(liste de paramètres) {corps de fonction}
- Le calcul de l’indice de masse corporelle (BMI) à partir du poids et de la taille suivant la formule bien connue: \[ \mbox{BMI} = \frac{\mbox{Poids}}{\mbox{Tailles}^2} \times 10,000.\]
- Celle-ci se programme facilement en [R]
## L'indice de mass corporelle
## 21.22449
## L'indice de mass corporelle
## 21.48438
- poids et taille sont une suite de paramètres nommés
- BMI = …: le contenu du code qui sera exécuté à chaque appel de la fonction.
- la fonction return n’est pas obligatoire. Mais il y a des contextes où cela s’avère absolument nécessaire.
- Une fonction est considérée par [R] comme un objet particulier.
## function(nom){ cat("Bonjour", nom, "!")}
## Bonjour le monde !
Donnée Économiques dans [R]
- [R] contient de nombreuses autres fonctions dans sa version de base
- On peut en ajouter des milliers d’autres en installant des packages.
- Les données dans le package wooldridge
- Si il n’y pas de package, mettez install.packages(“wooldridge”)
- Ce package est pour les données dans le livre “Introductory Econometrics” par Wooldridge.
- Sur la structure des données
## [1] "year" "id" "dist" "passen" "fare" "bmktshr" "ldist"
## [8] "y98" "y99" "y00" "lfare" "ldistsq" "concen" "lpassen"
## year id dist passen fare bmktshr ldist y98 y99 y00 lfare ldistsq
## 1 1997 1 528 152 106 0.8386 6.269096 0 0 0 4.663439 39.30157
## 2 1998 1 528 265 106 0.8133 6.269096 1 0 0 4.663439 39.30157
## concen lpassen
## 1 0.8386 5.02388
## 2 0.8133 5.57973
## year id dist passen fare
## 1998.5000000 575.0000000 989.7449956 636.8241950 178.7967798
## bmktshr ldist y98 y99 y00
## 0.6101149 6.6964816 0.2500000 0.2500000 0.2500000
## lfare ldistsq concen lpassen
## 5.0956005 45.2774707 0.6101149 6.0170272
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 37.0 123.0 168.0 178.8 225.0 522.0
Le modèle de régression linéaire simple
- Expliquer \(y\) en fonction déterministe linéaire de \(x\): \[y(x) = \beta_0 + \beta_1 x \]
- La variation de \(y\) est égale au produit de \(\beta_1\) par la variation de \(x\), \(\Delta y = \beta_1 \Delta x\). \(\beta_0\) représente la constante.
- une régression de \(Y\) sur \(X\): régression linéaire simple pour le échantillon aléatoire: \[Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon\], \(Y\) - variable dépendante/expliquée, \(X\) - variable indépendante/explicative \(\varepsilon\) - le terme d’erreur qui affectent \(Y\) et proviennent d’autres facteurs que \(X\).
- L’espérance conditionnelle à \(X = x\): \[\mathbb{E}[Y | x] = y(x) = \beta_0 + \beta_1 x \] en utilisant \(\mathbb{E}[\varepsilon | x] =0\). \(\mathbb{E}[Y | x] = y(x)=\beta_0 + \beta_1 x\) en tant que fonction linéaire de \(x\).
Une régression
- Lorsqu’il s’agit d’analyser des relations entre des variables bien spécifiques, nous remplaçons \(Y\) et \(X\) par leur nom respectif.
- \(\mbox{wage} = \beta_0 + \beta_1 \mbox{eduction} + \varepsilon\)
## [1] "wage" "educ" "exper" "tenure" "nonwhite" "female"
## [7] "married" "numdep" "smsa" "northcen" "south" "west"
## [13] "construc" "ndurman" "trcommpu" "trade" "services" "profserv"
## [19] "profocc" "clerocc" "servocc" "lwage" "expersq" "tenursq"
- wage: au salaire horaire; educ: au nombre d’année d’études.
- Estimations pour esttimer les paramètres \(\beta_0\) et \(\beta_1\): \(\hat{\beta_0}\) la constante et \(\hat{\beta_1}\) la pente
##
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ, data = wage1)
##
## Coefficients:
## (Intercept) educ
## -0.9049 0.5414
- Régression passant par l’origine: \(\beta_0=0\), \[Y = \beta_1 X + \varepsilon\]
##
## Call:
## lm(formula = wage ~ 0 + educ, data = wage1)
##
## Coefficients:
## educ
## 0.4727
Une régression
## (Intercept) educ
## -0.9048516 0.5413593
- la droite de régression: \(\widehat{\mbox{wage}} = -0.9048516 + 0.5413593 \mbox{eduction}\)
- une année supplémentaire d’éducation augmente le salaire de 54%
Votre fonction de régression
- Les codes des fonctions relatives à sa problématique de régression linéaire simple.
## $beta1
## [1] 0.5413593
##
## $beta0
## [1] -0.9048516
##
## $cor
## [1] 0.4059033
Les propriétés des estimations
- Étant donné \(\hat{\beta_0}\) et \(\hat{\beta_1}\), nous pouvons calculer la valeur ajstée \(\hat{y_i}\) pour chaque observation \(i\). (qui se trouve sur la droite de régression)
- Valeurs ajustée: \(\hat{y_i} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} x_i\).
- Le résidu associé à l’observation \(i\): \(\hat{\varepsilon_i}\).
- Il mesure la différence entre l’observation \(y_i\) et sa valeur adjustée \(\hat{y_i}\) \[y_i - \hat{y_i} = \hat{\varepsilon_i}.\]
- La somme des résidus est égale à zéro: \[\sum_{i=1}^{n} y_i - \sum_{i=1}^{n} \hat{y_i} = \sum_{i=1}^{n} \hat{\varepsilon_i}=0.\]
- C’est à dire: \[\bar{y}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \hat{y_i} = \bar{\hat{y_i}}.\] \(\bar{y}\): la moyenne de l’échantillon.
- \(R\) carré: \[ R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} \hat{\varepsilon^2_i}}{\sum_{i=1}^{n}( y_i - \bar{y})^2}\] La fraction de la variation de \(Y\) qui est expliquée par \(X\) au sein de l’echantillon.
## [1] -1.19498e-16
## [1] 5.896103
## [1] 0.1647575
## [1] 0.1647575
Tests d’hypothèses sur les paramètres
- L’hypothèse de normalité des erreurs: puisque \(\varepsilon\) est la somme de pusieurs facteurs non-observés qui affectent \(Y\), \(\varepsilon\) suit approximativement une distribution normale.
- La normalité des erreurs implique la normalité de la distribution d’échantillonnage de l’estimateur: \[ \hat{\beta_j} \sim \mathcal{N}(\beta_j, \mbox{Var}(\hat{\beta_j})) \] pour \(j=0,1\). C’est à dire \[ \frac{\hat{\beta_j} - \beta_j}{\sqrt{\mbox{Var}(\hat{\beta_j})}} \sim \mathcal{N}(0, 1).\]
- La constante \(\mbox{Var}(\hat{\beta_1}) = \mathbb{E}[\hat{\beta_1}-\mathbb{E}[\hat{\beta_1}]]^2\) vient du fait que la distribution de la \(\hat{\beta_1}\) est disponible.
- Mais La normalité de \(\beta_1\) est une hypotèse. Donc \(\mbox{Var}(\hat{\beta_1})\) est remplacée par la variable aléatoire \(\hat{\sigma^2}\)
- Le test de student: \[\frac{\hat{\beta_1} - \beta_1}{\hat{\sigma}} \sim t_{n-2}.\]
- Le test de student pour l’hypothèse nulle: \[H_0 : \beta_1 =0\] est \(\hat{\beta_1}/\hat{\sigma}\).
- une statistique pertinente pour détecter si \(\beta_1 = 0\).
- p-Valeur: la probabilité lorsque \(H_0\) est vraie.
Tests d’hypothèses sur les paramètres
##
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ, data = wage1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.3396 -2.1501 -0.9674 1.1921 16.6085
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.90485 0.68497 -1.321 0.187
## educ 0.54136 0.05325 10.167 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 3.378 on 524 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1648, Adjusted R-squared: 0.1632
## F-statistic: 103.4 on 1 and 524 DF, p-value: < 2.2e-16
- colonne Estimate, les estimations MCO des coefficients \(\beta_i\)
- colonne Std. Error, les écarts types d’estimation
- colonne t value, la statistique Estimate/ Std. Error
- colonne Pr(>|t|), la p-value quand l’hypothèse alternative est \(H_0: \beta_i = 0\).
Intervalles de confiance
- Construire un intervalle de confiance pour un paramètre de la population \(\beta_1\). \[ \hat{\beta_1} \pm c\times \hat{\sigma} \]
- \(c\) dépend du nombre de degrés de liberté ainsi que du niveau de confiance choisi.
- Par exemple, \(95%\) intervalle de confiance de la loi normale standardisée est \[\hat{\beta_1} \pm 1.96\times \hat{\sigma}.\]
- Tests d’hypothèses sur les paramètres
## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) -2.2504719 0.4407687
## educ 0.4367534 0.6459651
## 0.5 % 99.5 %
## (Intercept) -2.6756608 0.8659575
## educ 0.4037001 0.6790184
Régression linéaire multiple
- Il nous permet de prendre en compte de manière explicite de nombreux facteurs qui affectent simultanément la variable dépendante.
- Il inclure de nombreuses variables explicatives.
- Il permet de résoudre des problèmes que la régression linéaire simple est incapable de surmonter. \[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots \beta_k X_k + \varepsilon.\]
- Il y a \(k\) variables indépendantes et une ordonnée à l’origine.
- \(\beta_k\): le paramètre associé à \(X_k\).
- Terme d’erreur: \(\mathbb{E}[\varepsilon | X_1 = x_1,\dots X_k =x_k]=0\)
Régression linéaire multiple
- Exemple: \(\mbox{wage} = \beta_0 + \beta_1 \mbox{educ} + \beta_2\mbox{exper} + \varepsilon\)
- Nous constatons que le terme d’erreur de l’équation ne contient plus exper puisque cette variable est présente dans l’équation.
- \(\beta_2\), la coefficient associé à exper, mesure l’effet ceteris paribus d’exper sur wage.
- Ceteris paribus signifie toutes choses égales par ailleurs
##
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ + exper, data = new.wage)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.5532 -1.9801 -0.7071 1.2030 15.8370
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -3.39054 0.76657 -4.423 1.18e-05 ***
## educ 0.64427 0.05381 11.974 < 2e-16 ***
## exper 0.07010 0.01098 6.385 3.78e-10 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 3.257 on 523 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2252, Adjusted R-squared: 0.2222
## F-statistic: 75.99 on 2 and 523 DF, p-value: < 2.2e-16
- Le régression n’est pas bon.
n = 20; x1 = runif(n,-5,5); x2 = runif(n,-50,50)
y = 1 + x1+0.5*x2+rnorm(n,0,2)
reg.bon = lm(y~x1+x2)
exemple = scatterplot3d(y,x1,x2, type="h", angle=55, pch = 16)
exemple$plane3d(reg.bon)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x1 + x2)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.3705 -0.7167 0.3439 1.2182 2.5571
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.43593 0.47180 0.924 0.368
## x1 0.90953 0.16234 5.603 3.17e-05 ***
## x2 0.50467 0.01428 35.343 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.074 on 17 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9869, Adjusted R-squared: 0.9853
## F-statistic: 638.4 on 2 and 17 DF, p-value: < 2.2e-16
Régression linéaire multiple
- La modélisation de la relation fonctionnelle. \[\mbox{wage} = \beta_0 + \beta_1 \mbox{educ} + \beta_2\mbox{exper} + \beta_3(\mbox{exper})^2 + \varepsilon\]
- Trois variables indépendantes (expr et expr^2 sont indépendantes - le premier ordre et le second ordre sont orthogonaux).
- L’effet marginal du expr est \(\frac{\Delta \mbox{wage}}{ \Delta \mbox{exper}} = \beta_2 + 2 \beta_3.\)
##
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ + exper + I(exper^2), data = wage1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -6.0692 -2.0837 -0.5417 1.2860 15.1363
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -3.964890 0.752153 -5.271 1.99e-07 ***
## educ 0.595343 0.053025 11.228 < 2e-16 ***
## exper 0.268287 0.036897 7.271 1.31e-12 ***
## I(exper^2) -0.004612 0.000822 -5.611 3.26e-08 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 3.166 on 522 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2692, Adjusted R-squared: 0.265
## F-statistic: 64.11 on 3 and 522 DF, p-value: < 2.2e-16
- I( ) signifie que le facteur est une fonction
Régression linéaire multiple
- Termes d’interaction: un effet partiel. En d’autres mots, il y a un effet d’interaction entre expr et educ.
\[\mbox{wage} = \beta_0 + \beta_1 \mbox{educ} + \beta_2\mbox{exper} + \beta_3(\mbox{exper})(\mbox{educ}) + \varepsilon\] such that \(\frac{\Delta \mbox{wage}}{ \Delta \mbox{exper}} = \beta_2 + \beta_3 \mbox{educ}.\)
- Si \(\beta_3>0\), ça implique qu’une année d’expérience suppléme entraîne une augmentation de wage pour celui qui a plus d’éducation.
##
## Call:
## lm(formula = wage ~ educ + exper + exper * educ, data = wage1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.6747 -1.9683 -0.6991 1.2803 15.8067
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -2.859916 1.181080 -2.421 0.0158 *
## educ 0.601735 0.089900 6.693 5.64e-11 ***
## exper 0.045769 0.042614 1.074 0.2833
## educ:exper 0.002062 0.003491 0.591 0.5549
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 3.259 on 522 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2257, Adjusted R-squared: 0.2212
## F-statistic: 50.71 on 3 and 522 DF, p-value: < 2.2e-16
Tests d’hypothèses sur les paramètres
- Le test de Fisher: tester plusieurs hypothèse sur les paramètres \(\beta_1\), ….
- si un groupe de variables prises ensemble n’a pas d’effet sur la \(Y\) (variable dépendante).
- L’hypothèse nulle peut s’écrire comme suit (par exemple \(3\) restriction): \[H_0: \beta_1 = 0, \beta_2 =0, \beta_{3} = 0\]
- La statistique F: \(F_{q,n-k-1}\), \(q\): nombre des restriction, \(k\): nombre des variables
- Tester des restrictions linéaires \(H_0: \beta_1 =0.6, \beta_2 =0\)
## Linear hypothesis test
##
## Hypothesis:
## educ = 0.6
## exper = 0
##
## Model 1: restricted model
## Model 2: wage ~ educ + exper + exper * educ
##
## Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
## 1 524 5580.8
## 2 522 5544.5 2 36.313 1.7094 0.182
- L’hypothèse nulle \(H_0\) peut par conséquent être accepté.
Prédiction
- Supposons que nous ayons l’équation estimée: \[ \hat{y} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} x_1 + \hat{\beta_2} x_2 + \cdots \hat{\beta_k} x_k .\]
- Pour des valeurs particulières des variables indépendantes, on obtient une prédiction pour \(y\).
- Soit \(c_1,\dots, c_k\) des valeurs pour ces \(k\) variables indépendantes, nous voudrions savoir \[ y_{\mbox{predict}} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1} c_1 + \hat{\beta_2} c_2 + \cdots \hat{\beta_k} c_k .\]
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.530 3.330 4.650 5.896 6.880 24.980
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.00 12.00 12.00 12.56 14.00 18.00
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 5.00 13.50 17.02 26.00 51.00
## educ exper
## 1 19 2
## 2 19 8
## 3 19 15
## 1 2 3
## 7.864751 9.197736 10.333169
- Car \(\hat{\beta_0}, \hat{\beta_1}, \cdots, \hat{\beta_k}\) ont un intervalle de confiance. Il est donc naturel de construire un intervalle de confiance pour \(y_{\mbox{predict}}\) (intervalle de prédiction).
## fit lwr upr
## 1 7.864751 6.811282 8.918219
## 2 9.197736 8.288405 10.107068
## 3 10.333169 9.385244 11.281094
Miscellaneous
- Pre-process pour beaucoup de variables
# Plus beaux dessins mais plus complexes
lowerFn = function(data, mapping, method = "lm", ...) {
p = ggplot(data = data, mapping = mapping) +
geom_point(colour = "blue") +
geom_smooth(method = method, color = "red", ...)
p}
ggpairs(
wage1[1:3], lower = list(continuous = wrap(lowerFn, method = "lm")),
diag = list(continuous = wrap("barDiag", colour = "blue")),
upper = list(continuous = wrap("cor", size = 10)))
Fin de la partie I et II
Question ?
Simple séries temporelles
- Dans l’histoire “le plat pays”: Le temps est le très petit élément disponible qui peut permettre aux créatures de dimension inférieure de voir leur monde sous l’angle des dimensions supérieures.
Prigogine: … les questions fondamentales: la matière, le vide, le temps et son sens unique (la flèche du temps).
Pour plus l’information: Prigogine and Stengers, Entre le temps et l’éternité (1988), The End of Certainty (English, 1997).
Une série temporelle, \(\{ Y_t, \, t=1, 2, \dots, T \}\), est une suite d’observations d’un phénomène, indicées par une date, un temps.
Une caractéristique: la dimension temporelle. Le passé peut affecter l’avenir.
L’ordre des données: le temps (la flèche du temps)
Données de la série sur le taux de chômage (unem), taux d’inflation annuel (inf) et d’autres variables économiques à Porto Rico.
## year unem inf inf_1 unem_1 cinf cunem
## 1 1948 3.8 8.1 NA NA NA NA
## 2 1949 5.9 -1.2 8.1 3.8 -9.3 2.1000001
## 3 1950 5.3 1.3 -1.2 5.9 2.5 -0.5999999
## 4 1951 3.3 7.9 1.3 5.3 6.6 -2.0000002
## 5 1952 3.0 1.9 7.9 3.3 -6.0 -0.3000000
## 6 1953 2.9 0.8 1.9 3.0 -1.1 -0.0999999
## year unem inf inf_1 unem_1 cinf cunem
## [1,] 1948 3.8 8.1 NA NA NA NA
## [2,] 1949 5.9 -1.2 8.1 3.8 -9.3 2.1000001
## [3,] 1950 5.3 1.3 -1.2 5.9 2.5 -0.5999999
## [4,] 1951 3.3 7.9 1.3 5.3 6.6 -2.0000002
## [5,] 1952 3.0 1.9 7.9 3.3 -6.0 -0.3000000
## [6,] 1953 2.9 0.8 1.9 3.0 -1.1 -0.0999999
- La commande plot(temp_donness[,3]) dessine le chronogramme pour inf.
Simple séries temporelles
Série temporelle: \(\{ Y_t, \, t=1, 2, \dots, T \}\), variables aléatoires indexées par le temps discret.
Processus stochastique: \(\{ Y_t, \, t\in [1, T] \}\), variables aléatoires indexées par le temps continu.
Il peut atteindre des valeurs très élevées aussi bien que très basses.
Lorsque nous collectons un échantillon de données temporelles, nous obtenons un résultat possible (réalisation) \(y_t\)
Cette réalisation est unique, car nous ne pouvons pas revenir en arrière et recommencer le processus`à nouveau.
Régression linéaire
- Commençons par régresser linéairement le niveau sur le temps (1948, 1949, …) par MCO (moindres carrés ordinaires). Le modèle est: \[Y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \varepsilon_t, \,\, t=1948,\dots \mbox{ or } t=1,\dots,\]
## [1] 3.8 5.9 5.3 3.3 3.0 2.9
## [1] 1 2 3 4 5 6
## (Intercept) phillips$year
## -54.17794636 0.03027683
## (Intercept) temps
## 4.77103896 0.03027683
##
## Call:
## lm(formula = phillips$unem ~ phillips$year)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.3757 -0.8768 -0.0371 0.8142 3.8693
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -54.17795 23.50080 -2.305 0.0250 *
## phillips$year 0.03028 0.01190 2.545 0.0138 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.439 on 54 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1071, Adjusted R-squared: 0.09058
## F-statistic: 6.478 on 1 and 54 DF, p-value: 0.01381
- Nous avons extrait les résidus de cet ajustement par residuals( ) et les valeurs ajustées par fitted( ).
- Les résidus pour les observations 12th, 24th, 36th sont matérialisés par segments( ).
- Nous dessinons également le diagramme de dispersion des points (résidu en \(t-1\), résidu en \(t\)). Ce diagramme s’appelle un lag plot.
Opérateur retard
C’est une simplification très pratique.
Opérateur retard (lag operator): l’opérateur qui fait passer de \(x_t\) à \(x_{t-1}\) \[\mathbb{L} x_t = x_{t-1}.\] On a: \[\mathbb{L}^2 x_t = \mathbb{L}(\mathbb{L} x_t) = \mathbb{L} x_{t-1} = x_{t-2}.\]
## Time Series:
## Start = -1
## End = 5
## Frequency = 1
## x xlag
## -1 NA 1
## 0 NA 2
## 1 1 3
## 2 2 4
## 3 3 5
## 4 4 NA
## 5 5 NA
- Lag-\(k\) plot: le diagramme de dispersion des points ayant pour abscisse la série retardée de lag-\(k\) instants et pour ordonnée la série non retardée.
## x y
## [1,] 0 1.000000
## [2,] 1 2.718282
## [3,] 2 7.389056
## [4,] 3 20.085537
## [5,] 4 54.598150
## [6,] 5 148.413159
## [7,] 4 54.598150
## [8,] 3 20.085537
## [9,] 2 7.389056
## [10,] 1 2.718282
## [11,] 0 1.000000
## [12,] 1 2.718282
Simulation
La simulation: la reconstitution d’événements aléatoires obéissant à un mécanisme choisi,
Elle est très utile lorsque les informations ne sont pas disponibles.
Elle permet:
de vérifier qu’on a compris les phénomènes aléatoires qu’on étudie;
de vérifier l’efficacité des méthodes d’estimation;
d’estimer des fonctions complexes des variables sans effectuer des calculs théoriques.
- Par exemple, Suite de Fibonacci \[ x_t = x_{t-1} + x_{t-2}\] avec \(x_1=0, x_2=1\). \(x_{20} = ?\)
## [1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [1] 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
## [15] 377 610 987 1597 2584 4181
## Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 2019 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
## 2020 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181
More discussion on For loop
Pseudo-aléatoires
- Les ordinateurs peuvent fabriquer des nombres pseudo-aléatoires,
## e e2 e3
## [246,] -0.49720183 1.5119067 -0.49720183
## [247,] 1.26335729 -1.2320650 1.26335729
## [248,] -0.08190324 -1.4650982 -0.08190324
## [249,] 0.38625611 -0.5812875 0.38625611
## [250,] -1.39066911 0.5641280 -1.39066911
- Les nombres obtenus par des opérations déterministes, nombres qui peuvent donc réapparaître au cours des simulations, mais avec une période très longue.
Simulation Pour estimateur
- Moindres carrés ordinaires pour une simple séries temporelle
## Warning in summary.lm(lm(y ~ x + t)): essentially perfect fit: summary may
## be unreliable
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x + t)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.342e-12 -2.449e-14 -1.710e-15 2.456e-14 1.190e-12
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2.913e-14 3.803e-14 7.660e-01 0.446
## x 4.000e+00 1.880e-14 2.127e+14 <2e-16 ***
## t 1.000e+01 6.564e-16 1.524e+16 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.887e-13 on 97 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 1, Adjusted R-squared: 1
## F-statistic: 1.167e+32 on 2 and 97 DF, p-value: < 2.2e-16
Régression linéaire avec deux séries temporelles
Le modèle est composé de deux parties. Régresser linéairement deux variables \(Y_t\) et \(X_t\) indexées par le temps: \[ Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_t + \varepsilon_t, \, t=1,2,\dots,T.\]
Un exemple est la courbe de Phillips statique, donnée par \[ \mbox{unem}_t = \beta_0 + \beta_1 \mbox{inf}_t + \varepsilon_t, \, t=1,2,\dots,T.\]
##
## Call:
## lm(formula = phillips$unem ~ phillips$inf)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.8308 -0.9254 0.0285 0.9530 4.0507
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5.1534 0.3215 16.030 <2e-16 ***
## phillips$inf 0.1237 0.0654 1.892 0.0639 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.475 on 54 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.06215, Adjusted R-squared: 0.04479
## F-statistic: 3.579 on 1 and 54 DF, p-value: 0.06389
Modèle à retards échelonnés finis
Nous considérons le fait qu’une ou plusieurs variables explicatives puissent affecter \(Y_t\) avec un retard.
Par exemple, un modèle à retards échelonnés finis d’ordre 2: \[ \mbox{unem}_t = \beta_0 + \beta_1 \mbox{inf}_t + \beta_2 \mbox{inf}_{t-1} + \beta_3 \mbox{inf}_{t-2} + \varepsilon_t, \, t=1,2,\dots,T.\]
## [1] NA NA 8.1 -1.2 1.3 7.9
##
## Call:
## lm(formula = phillips$unem ~ phillips$inf + phillips$inf_1 +
## inf_2)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.7363 -0.5458 -0.0392 0.6993 1.9567
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 4.37884 0.28572 15.325 < 2e-16 ***
## phillips$inf -0.08904 0.08235 -1.081 0.284767
## phillips$inf_1 0.16138 0.09846 1.639 0.107480
## inf_2 0.25596 0.07052 3.630 0.000666 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.139 on 50 degrees of freedom
## (2 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.467, Adjusted R-squared: 0.4351
## F-statistic: 14.61 on 3 and 50 DF, p-value: 5.876e-07
Séries temporelles et Tendance
Les séries temporelles ont tendance à croître au cours du temps. \[ Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_t + \beta_2 \times t + \varepsilon_t, \,\, t = 1, 2, \dots.\]
Le paramètre \(\beta_2\) multiplie le temps \(t\): une tendance linéaire dans le temps.
\(\beta_2\): mesure le changement de \(Y_t\) d’une période à l’autre en raison de l’écoulement du temps. \[\beta_1 = \mathbb{E}[Y_t] - \mathbb{E}[Y_{t-1}]\]
Si \(\beta_2 >0\): \(Y_t\) augmente dans le temps et a une tendance à la hausse. Si \(\beta_2 < 0\) \(Y_t\) a une tendance à la baisse.
Deux séquences suivent une tendance commune ou opposée: les variations des variables sont causées par les variations du temps.
## year inv pop price linv lpop lprice t invpc
## 1 1947 54864 144126 0.8190 10.91261 11.87844 -0.1996712 1 0.3806669
## 2 1948 64717 146631 0.8649 11.07778 11.89567 -0.1451414 2 0.4413596
## linvpc lprice_1 linvpc_1 gprice ginvpc
## 1 -0.9658305 NA NA NA NA
## 2 -0.8178953 -0.1996712 -0.9658305 0.0545298 0.1479352
##
## Call:
## lm(formula = linvpc ~ lprice, data = hseinv)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.45991 -0.08694 -0.01264 0.08651 0.34672
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.55023 0.04303 -12.788 1.03e-15 ***
## lprice 1.24094 0.38242 3.245 0.00238 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1554 on 40 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2084, Adjusted R-squared: 0.1886
## F-statistic: 10.53 on 1 and 40 DF, p-value: 0.002376
##
## Call:
## lm(formula = linvpc ~ lprice + t, data = hseinv)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.45092 -0.08583 -0.01734 0.08517 0.26024
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.913060 0.135613 -6.733 5e-08 ***
## lprice -0.380961 0.678835 -0.561 0.57787
## t 0.009829 0.003512 2.798 0.00794 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1436 on 39 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.3408, Adjusted R-squared: 0.307
## F-statistic: 10.08 on 2 and 39 DF, p-value: 0.000296
Après, l’élasticité-prix estimée est négative et non-statistiquement différente de zéro. La variable de tendance est significative. La valeur implique une hausse moyenne de 1% par ande invpc.
Conclure(?): l’investissement résidentiel réel par habitant est influencé par les prix de l’immobilier ou pas?.
On observe clairement que les résidus consécutifs ont tendance à être de même signe.
Le lag plot indique une assez forte corrélation entre la série et la série retardée d’un an. Les résidus sont autocorrélés (comme \(\hat{\varepsilon}_t = \phi \hat{\varepsilon}_{t-1}\)).
Dans le prochain cours, on va apprendre les techniques des AR (autoregressive) pour \(Y_t\) éliminer les résidus autocorrélif: \[Y_t = \phi Y_{t-1} + \varepsilon_t.\]
Modèles autorégressifs
On a vu la fonction \(y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t\).
Pour les regressions simples: \(Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_t + \varepsilon_t\), on peut utiliser MCO pour estimater \(\beta_0\) et \(\beta_1\).
Une simple fonction itérative \[y_t = f( y_{t-1}, y_{t-2}) = y_{t-1} + y_{t-2},\] \(y_t\) est une fonction des \(y_{t-1}\) et \(y_{t-2}\).
Une fonction itérative avec les parameters: \[y_t = \beta_1 y_{t-1}.\] La fonction dépend des valeurs des paramètres.
- MCO peut estimer ces fonctions
## y1[1:24] y2[1:24] y3[1:24] y4[1:24]
## 0.90 -0.90 1.05 -1.05
Fonction d’autocorrélation
- Appelez MCO: \[\frac{\mbox{Cov}(Y_t,Y_{t-1})}{\mbox{Var}(Y_{t-1})}\] Ici, \(\mbox{Cov}\) et \(\mbox{Var}\) sont pour les échantillons.
## [1] 0.9
La fonction \(\mbox{Cov}(y_t,y_{t-1})\) est la fonction d’autocovariance de series \(\{ y_t\}\). Elle est notée: \[\gamma_l = \mbox{Cov}(y_t,y_{t-l}).\] pour \(l=1,2,\dots\). \(\gamma_0 = \mbox{Var}(y_t) \geq 0\), \(\gamma_l = \gamma_{-l}\) pour \(l=0,1,\dots\). (L’autocovariance empirique \(\hat{\gamma}_l\))
Pour ce series, l’autocorrélation n’est pas zéro. Parce que \(y_t\) dépend des \(y_{t-1}\), \(y_{t-2}\),…,\(y_{0}\) quand on construit cette série.
En fait, \(y_{t} = \beta_1 y_{t-1}=\beta_1^2 y_{t-2} =\cdots = \beta^{t}_1 y_{0}\).
- Par exemple, cette fonction pour \(\hat{\gamma}_5\) est
## [1] 0.0466918
- Fonction d’autocorrélation théorique: \[\rho_l = \frac{\mbox{Cov}(y_t,y_{t-l})}{\sqrt{\mbox{Var}(y_t)\mbox{Var}(y_{t-l})}} \overset{(*)}{=} \frac{\mbox{Cov}(y_t,y_{t-l})}{\mbox{Var}(y_{t})}= \frac{\gamma_l}{\gamma_0}.\] \(\overset{(*)}{=}\) la égalité tient si \(\mbox{Var}(y_t)=\mbox{Var}(y_{t-l})=\gamma_0\). (Homoscédasticité).
Bruit blanc
Bruit blanc: une autocorrélation nulle en tout point sauf à l’origine. Comme le processus est décorrélé. Il est une suite de variance non corrélées de moyenne nulle et de variance constante \(\sigma_e^2\) \[ \varepsilon_t \sim \mathcal{WN}(0,\sigma_e^2).\]
Bruit blanc gaussien: Un bruit blanc gaussien est une suite de i.i.d. \[\varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0,\sigma_e^2)\]. S’il est gaussien, cette décorrélation entraîne l’indépendance.
##
## Call:
## lm(formula = e[2:100] ~ 0 + e[1:99])
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.2772 -0.6591 -0.2258 0.5102 2.6378
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## e[1:99] -0.04274 0.10083 -0.424 0.673
##
## Residual standard error: 0.9092 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.00183, Adjusted R-squared: -0.008355
## F-statistic: 0.1797 on 1 and 98 DF, p-value: 0.6726
- Examinons ce que deviennent les coefficients d’autocorrélations empiriques quand ils sont calculés sur une série dont tous les coefficients d’autocorrélations théoriques sont nuls.
## [1] -0.04974472
## [1] -0.05723198
- Pour ce bruit blanc gaussien, \(\rho_1\) et \(\rho_{20}\) sont presque nuls. On peut utiliser autocorrelation plot pour les voir.
##
## Autocorrelations of series 'e', by lag
##
## 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
## 1.000 0.005 -0.152 -0.105 0.031 0.035 -0.003 0.085 -0.058 0.029
## 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
## -0.050 0.028 -0.039 0.117 -0.068 -0.086 0.112 -0.010 0.009 -0.134
## 20
## -0.045
Test de blancheur
Blancheur: les coefficients d’autocorrélations empiriques quand ils sont calculés sur une série dont tous les coefficients d’autocorrélations théoriques sont nuls.
Une suite de i.i.d. (Bruit blanc gaussien) \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_T\). Les autocorrélations empiriques \(\hat{\rho}_l\) sont approximativement indépendants et normalement distributés de moyenne \(0\) et de variance \(1/T\).
Le test du portemanteau: la statistique \[ Q(l) = T \sum_{j=1}^l \hat{\rho}^2_j\] où \(l\) est un décalage choisi,
\(Q(l)\) est appelée statistique de Box-Pierce. Elle permet de tester: \[H_0: \rho_1 = \rho_2 = \cdots = \rho_l = 0\] contre \(H_1\): au moins un des \(\rho_1, \dots, \rho_l\) est non nul.
\(Q(l)\) est approximativement \(\mathcal{N}(0,1)\) sous l’hypothèse que \(\varepsilon_t\) est i.i.d..
(Pour des petits échantillons on utilise la statistique de Ljung-Box: \(T(T+2) \sum_{j=1}^l \frac{\hat{\rho}^2_j}{T-j}.\))
##
## Box-Pierce test
##
## data: e
## X-squared = 0.0051073, df = 1, p-value = 0.943
##
## Box-Ljung test
##
## data: e
## X-squared = 0.0051843, df = 1, p-value = 0.9426
La stationnarité faible
\(Y_t\) est dite faiblement stationnaire si:
\(\mathbb{E}[Y_t]=\mu\), constante indépendante de \(t\);
\(\mbox{Cov}(Y_t, Y_{t-l})=\gamma_l\) ne dépend que de \(l\) entier. C’est-à-dire: \[\mbox{Cov}(Y_t, Y_{t-l})=\mbox{Cov}(Y_{t+1}, Y_{t+1-l})=\mbox{Cov}(Y_{t-1}, Y_{t-1-l})=\cdots =\gamma_l.\]
Un bruit blanc gaussien est une série strictement stationnaire. \(\mathbb{E}[\varepsilon_t]=0\) pour \(t=1,2,\dots\) et \(\mbox{Cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-l})=0\) pour \(l=1,2,\dots\).
Processus AR(1)
## Y1[1:49] Y2[1:49] Y3[1:49] Y4[1:49]
## 0.9617065 -0.8977096 1.0435869 -1.0348403