24.6 Insurance risk

Suponha que uma companhia de seguros tenha ativos atuais de US 1000000. Eles têm n = 1.000 clientes que pagam um prêmio anual de US 5500, pagos no início de cada ano. Com base na experiência anterior, estima-se que a probabilidade de um cliente fazer uma reclamação seja p = 0,1 por ano, independentemente de reclamações anteriores e de outros clientes. A quantidade X de uma reclamação varia, e acredita-se ter a seguinte densidade, com α = 3 e β = 100.000,

p/ x >= 0: \[f(x) = α \beta^α / (x+\beta)^{\alpha +1}\]
p/ x<0: \[0\] Consideramos as fortunas da companhia de seguros ao longo de um período de cinco anos. Seja Z (t) o ativo da empresa no final do ano t, então:

Z(0) = 1000000,

Se Z(t-1) > 0:

Z(t) = {max(Z(t-1)+ premios - reclamações,0)}

Z(t)=0, caso contrário.

24.6.1 Simulando X

Simulando a quantidade de reclamações feita pelos usuários. Lembrando que X obedece a Dist. de Pareto.

alfa <- 3
beta <- 100000
Pareto <- function(x,alfa,beta){
  if(x>=0){
    return((alfa*((beta)^alfa))/(x + beta)^(alfa+1))
  }
  return(0)
}

Calculando a E(X)

E_x <- (alfa * beta)/(alfa-1)
E_x
## [1] 150000

Calculando a Var(X)

Var_x <- (alfa*(beta^2))/(((alfa-1)^2)*(alfa-2))
Var_x
## [1] 7.5e+09

Função da Distribuição acumulada F(X)

F_x <- function(x,alfa,beta){
  if(x>=beta){
    return((1 - (beta/x)^alfa))
  }
  return(0)
}

Utilizando o método da inversa

x <- c()
for(i in 1:1000){
  u <- runif(1,0,1)
  x[i] <- beta/((1-u)^(1/alfa))
}

Gráfico baseado na imagem 24.10

hist(x,prob=T,col="grey", main = "Pareto(3, 100000) density", ylab = "f(x)")
lines(density(x), col="blue")

24.6.1 Simulando Z

qtd_clientes <- 1000
Ativos_atuais <- 1000000
Prob_Reclamacao <- 0.1
t <- 5
premios <- 5500

Z <- numeric(6)
Z[1] <- 1000000 #Ativos_atuais
for(i in 2:6){
  u <- runif(1000,0,1)
  x <- beta/((1-u)^(1/alfa))
  Z[i] <- max(Z[i-1] + premios- x)
  }

Gráfico baseado na imagem 24.11

plot(Z)
lines(Z)

O comportamento do Gráfico acima não está muito próximo ao gráfico apresentado na Figura 24.11, devido aos parâmetros fixados no enunciado = 3 e = 100000.

Infelizmente, não consegui calcular a probabilidade da empresa falir…