Estacionariedad

En un modelo autoegresivo para que se presente estarionariedad, se deben cumplir las condiciones:

\[\phi_1+\phi_2<1\]

\[\phi_2-\phi_1<1\]

\[|\phi_2|<1\]

Esto, se cumple para los ejercicios

  1. \(\phi_1=1.2\) y \(\phi_2=-0.7\)

  2. \(\phi_1=-1\) y \(\phi_2=-0.6\)

  3. \(\phi_1=0.5\) y \(\phi_2=-0.9\)

  4. \(\phi_1=-0.5\) y \(\phi_2=-0.6\)

Además tenemos en cada uno, que la inversa de las raíces del polinomio característico se encuentran dentro del circulo unitario; como lo vemos a continuación. Lo que confirma la estacionariedad.

## [1] 0.8571429+0.8329931i 0.8571429-0.8329931i

## [1] -0.8333333+0.9860133i -0.8333333-0.9860133i

## [1] 0.277778+1.016834i 0.277778-1.016834i

## [1] -0.416667+1.221907i -0.416667-1.221907i

Así, tenemos que las raíces del polinomio característico en cada caso son complejas con los siguientes valores:

  1. 0.8571429 +0.8329931i 0.8571429 -0.8329931i

  2. -0.8333333 +0.9860133i -0.8333333 -0.9860133i

  3. 0.277778 +1.016834i 0.277778 -1.016834i

  4. -0.416667 +1.221907i -0.416667 -1.221907i

Ello, implica que la función de autocorrelación muestre un comportamiento senosoidal como a continuación.

Funciones de autocorrelación para distintos modelos AR(2)

Aunado al comportamiento senosoidal, se observa el damping factor, la frecuencia y fase para cada uno.

  1. Damping factor 0.83666 Frecuencia 0.7711105 Fase 1.396124

  2. Damping factor 0.7745967 Frecuencia 2.27247 Fase 1.325818

  3. Damping factor 0.9486833 Frecuencia 1.304124 Fase 1.518213

  4. Damping factor 0.7745967 Frecuencia 1.899428 Fase 1.325818e

Nótese, que a medida que aumenta el rezago la magnitud desaparece. La función decae de manera inversa al damping factor; es decir, conforme es mayor el valor de damping factor la función decae más lentamente.