PROBLEMA

Usar la formula recursiva \[\rho_{k}=\phi_1 \rho_{k-1}+\phi_2 \rho_{k-2}\] Ecuación Yule-Walker, para calcular y graficar las funciones de autocorrelación para los siguientes procesos AR(2) con los parámetros especificados. En cada caso especifique si las raíces del polinomio característico son reales o complejas.

a)

\[\phi_1 = 0.6 \ \ \ y\ \ \ \phi_2 = 0.3\]

Las raíces del polinomio característico son:

library(forecast)
rho=NULL; phi1=0.6; phi2=0.3; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho # presentar los valores
##  [1] 0.8571429 0.8142857 0.7457143 0.6917143 0.6387429 0.5907600 0.5460789
##  [8] 0.5048753 0.4667488 0.4315119 0.3989318 0.3688126 0.3409671 0.3152241
## [15] 0.2914246 0.2694220 0.2490806 0.2302749 0.2128891 0.1968159
plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

polyroot(c(1, -phi1, -phi2))
## [1]  1.081666-0i -3.081666+0i

Al graficar en el círculo unitario

ar2.r <- arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit <- Arima(ar2.r, order=c(2,0,0))
autoplot(fit)

Se observa que ambas raíces son reales y se encuentran sobre el eje real dentro del círculo unitario.

b)

\[\phi_1 = -0.4 \ \ \ y \ \ \ \phi_2 = 0.5\] Las raíces del polinomio característico son:

rho=NULL; phi1=-0.4; phi2=0.5; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho # presentar los valores
##  [1] -0.8000000  0.8200000 -0.7280000  0.7012000 -0.6444800  0.6083920
##  [7] -0.5655968  0.5304347 -0.4949723  0.4632063 -0.4327687  0.4047106
## [13] -0.3782686  0.3536627 -0.3305994  0.3090711 -0.2889281  0.2701068
## [19] -0.2525068  0.2360561
plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

polyroot(c(1, -phi1, -phi2))
## [1] -1.069694+0i  1.869694-0i

Al graficar dentro del circulo unitario

ar2.r <- arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit <- Arima(ar2.r, order=c(2,0,0))
autoplot(fit)

Se observa que ambas raíces son reales y se encuentran sobre el eje real dentro del círculo unitario.

c)

\[\phi_1 = 1.2 \ \ \ y \ \ \ \phi_2 = -0.7\]

La gráfica de la función de autocorrelación es:

rho=NULL; phi1=1.2; phi2=-0.7; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho # presentar los valores
##  [1]  0.70588235  0.14705882 -0.31764706 -0.48411765 -0.35858824
##  [6] -0.09142353  0.14130353  0.23356071  0.18136038  0.05413996
## [11] -0.06198431 -0.11227915 -0.09134596 -0.03101975  0.02671848
## [16]  0.05377599  0.04582826  0.01735071 -0.01125892 -0.02565621
plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

En esta gráfica se observa que tiene un forma senosoidal que va disminuyendo su amplitud con un factor de decaimiento.

Las raíces del polinomio son:

polyroot(c(1, -phi1, -phi2))
## [1] 0.8571429+0.8329931i 0.8571429-0.8329931i

Graficando dentro del circulo unitario

ar2.r <- arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit <- Arima(ar2.r, order=c(2,0,0))
autoplot(fit)

Se observa que ambas raíces son commplejas, ya que se encuentra entre los ejes real e imaginario.

A continuación se calculan el factor de decaimiento, la frecuencia y la fase, respectivamente:

Damp_factor = sqrt(-phi2) # damping factor R ()
Freq = acos(phi1/(2*Damp_factor)) # frequency theta (cycles per unit time)
Phase = atan((1-phi2)/(1+phi2)) # phase phi (starting point of the cosine function)

Damp_factor; Freq; Phase # display the results
## [1] 0.83666
## [1] 0.7711105
## [1] 1.396124

El factor de decaimiento nos dice cual es el valor en el que se disminuye el argumento de la función senosoidal, y por tanto se disminuye la amplitud.

d)

\[\phi_1 = -1 \ \ \ y \ \ \ \phi_2 = -0.6\] La gráfica de la función de autocorrelación es:

rho=NULL; phi1=-1; phi2=-0.6; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho # presentar los valores
##  [1] -0.6250000000  0.0250000000  0.3500000000 -0.3650000000  0.1550000000
##  [6]  0.0640000000 -0.1570000000  0.1186000000 -0.0244000000 -0.0467600000
## [11]  0.0614000000 -0.0333440000 -0.0034960000  0.0235024000 -0.0214048000
## [16]  0.0073033600  0.0055395200 -0.0099215360  0.0065978240 -0.0006449024
plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

En esta gráfica se observa que tiene un forma senosoidal que va disminuyendo su amplitud con un factor de decaimiento.

Las raíces del polinomio característico son:

polyroot(c(1, -phi1, -phi2))
## [1] -0.8333333+0.9860133i -0.8333333-0.9860133i

Al graficar estas raíces dentro del circulo unitario son:

ar2.r <- arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit <- Arima(ar2.r, order=c(2,0,0))
autoplot(fit)

Se observa que estas raices son complejas, y por tanto, se encuentran entre los ejes real e imaginario.

A continuación se calculan el factor de decaimiento, la frecuencia y la fase, respectivamente:

Damp_factor = sqrt(-phi2) # damping factor R
Freq = acos(phi1/(2*Damp_factor)) # frequency theta 
Phase = atan((1-phi2)/(1+phi2)) # phase phi 

Damp_factor; Freq; Phase 
## [1] 0.7745967
## [1] 2.27247
## [1] 1.325818

e)

\[\phi_1 = 0.5 \ \ \ y \ \ \ \phi_2 = -0.9\] La gráfica de la función de autocorrelación es:

rho=NULL; phi1=0.5; phi2=-0.9; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho # presentar los valores
##  [1]  0.26315789 -0.76842105 -0.62105263  0.38105263  0.74947368
##  [6]  0.03178947 -0.65863158 -0.35792632  0.41380526  0.52903632
## [11] -0.10790658 -0.53008597 -0.16792707  0.39311384  0.34769128
## [16] -0.17995682 -0.40290056 -0.03948914  0.34286593  0.20697320
plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

En esta gráfica se observa que tiene un forma senosoidal que va disminuyendo su amplitud con un factor de decaimiento.

Las raíces del polinomio característico son:

polyroot(c(1, -phi1, -phi2)) 
## [1] 0.277778+1.016834i 0.277778-1.016834i

Al graficar estas raíces dentro del circulo unitario son:

ar2.r <- arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit <- Arima(ar2.r, order=c(2,0,0))
autoplot(fit)

Se observa que estas raices son complejas, y por tanto, se encuentran entre los ejes real e imaginario.

A continuación se calculan el factor de decaimiento, la frecuencia y la fase, respectivamente:

Damp_factor = sqrt(-phi2) # damping factor R
Freq = acos(phi1/(2*Damp_factor)) # frequency theta
Phase = atan((1-phi2)/(1+phi2)) # phase phi

Damp_factor; Freq; Phase
## [1] 0.9486833
## [1] 1.304124
## [1] 1.518213

f)

\[\phi_1 = -0.5 \ \ \ y \ \ \ \phi_2 = -0.6\] La gráfica de la función de autocorrelación es:

rho=NULL; phi1=-0.5; phi2=-0.6; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho # presentar los valores
##  [1] -0.3125000000 -0.4437500000  0.4093750000  0.0615625000 -0.2764062500
##  [6]  0.1012656250  0.1152109375 -0.1183648437 -0.0099441406  0.0759909766
## [11] -0.0320290039 -0.0295800840  0.0340074443  0.0007443282 -0.0207766307
## [16]  0.0099417184  0.0074951192 -0.0097125907  0.0003592238  0.0056479425
plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

En esta gráfica se observa que tiene un forma senosoidal que va disminuyendo su amplitud con un factor de decaimiento.

Las raíces del polinomio característico son:

polyroot(c(1, -phi1, -phi2)) 
## [1] -0.416667+1.221907i -0.416667-1.221907i

Al graficar estas raíces dentro del circulo unitario son:

ar2.r <- arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit <- Arima(ar2.r, order=c(2,0,0))
autoplot(fit)

Se observa que estas raices son complejas, y por tanto, se encuentran entre los ejes real e imaginario.

A continuación se calculan el factor de decaimiento, la frecuencia y la fase, respectivamente:

Damp_factor = sqrt(-phi2) # damping factor R
Freq = acos(phi1/(2*Damp_factor)) # frequency theta
Phase = atan((1-phi2)/(1+phi2)) # phase phi

Damp_factor; Freq; Phase
## [1] 0.7745967
## [1] 1.899428
## [1] 1.325818