PARTE PRÁCTICA

(a) Grafique la serie de tiempo. ¿Qué patrón se observa?

Al observar la gráfica podemos observar que existe una tendencia general al alza a lo largo del tiempo. Quizás puede ser no lineal.

(b) Grafique la serie de las diferencias de los logaritmos de los datos. ¿El gráfico sugiere que un modelo estacionario podría ser apropiado para las diferencias de los logaritmos? Explique brevemente.

Al realizar la gráfica de las diferencias de logmaritmos observamos que la media parece ser constante, aunque la varianza de los datos parece tener un aumento en los últimos períodos de tiempo. En cuanto al uso de un modelo estacionario, podemos decir que es posible usar uno para estos datos, pero tal vez no sea la mejor opción.

(c) Utilice la función ACF para las diferencias de los logaritmos de los datos. ¿Es evidencia suficiente de que los log-precios del oro siguen un modelo de caminata aleatoria?, ¿por qué?

Al utilizar el ACF vemos que puede no haber autocorrelación distinta de cero con dichos datos. Por ende, podríamos modelar de una forma razonable las diferencias de los datos registrados como un ruido blanco y, por lo tanto, podríamos modelar los datos registrados como una caminata aleatoria.Ya que recordemos una caminata aleatoria es

(a) Grafique la series de tiempo. ¿Qué patrón observa? ¿Podría ser un modelo estacionario apropiado para ese gráfico?

En este caso observamos que no hay una tendencia creciente o decreciente que sea muy marcada. Además observamos un comportamiento sin grandes variaciones, excepto por un posible outlier casi al final de las observaciones. Por lo tanto se puede decir que es posible que un modelo estacionario sea apropiado para estos datos. Ya que gráficamente la media y varianza parecen ser constantes.

(b) Usando herramientas como ACF, PACF y/o EACF especifique un modelo tentativo (AR, MA, ARMA) así como el orden del modelo.

## AR/MA
##   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## 0 x x o o o o o o o o o  o  o  o 
## 1 o o o o o o o o o o o  o  o  o 
## 2 o o o o o o o o o o o  o  o  o 
## 3 x o o o o o o o o o o  o  o  o 
## 4 o x o o o o o o o o o  o  o  o 
## 5 o x o x o o o o o o o  o  o  o 
## 6 o x o x o o o o o o o  o  o  o 
## 7 o x x o o o o o o o o  o  o  o

Basados en la forma de la gráfica con apariencia de onda decreciente de manera expoencial del ACF, además del hecho de que la gráfica de la PACF parece cortarse y convertirse en cero después del rezago 1, podemos decir que un modelo tentativo para nuestros datos es un autorregresivo de parámetro 1 es decir un AR (1). Observando la tabla resultante del EACF podemos decir que en efecto, una buena propuesta de modelo que ajuste a nuestros datos es el autorregresivo de parámetro 1 es decir un AR (1).

(a) Estime los parámetros de un AR(1) usando máxima verosimilitud

## AR/MA
##   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## 0 x x x x x x x x x o x  x  x  x 
## 1 x o o o o o o o o o o  o  o  o 
## 2 x x o o o o o o o o o  o  o  o 
## 3 x x o o o o o o o o o  o  o  o 
## 4 x x x x o o o o o o o  o  x  o 
## 5 x x x o o o o o o o o  o  x  o 
## 6 x o o o o x o o o o o  o  o  o 
## 7 x o o x o x x o o o o  o  o  o

## 
## Call:
## arima(x = robot, order = c(1, 0, 0), method = "ML")
## 
## Coefficients:
##          ar1  intercept
##       0.3076     0.0015
## s.e.  0.0528     0.0002
## 
## sigma^2 estimated as 6.482e-06:  log likelihood = 1475.54,  aic = -2947.08

Para el caso de los datos recabados de la posición de un robot industrial, la serie de tiempo muestra que la media puede disminuir ligeramente con el tiempo, es decir se puede observar una tendencia ligeramente decreciente.Mientras que se puede observar una varianza bastante constante. Es por ello que un modelo estacionario podría ser apropiado, aunque la leve tendencia decreciente podría indicar que podría no ser el mejor modelo.

Los coeficentes obtenidos para este modelo son: Para Mu= 0.0014529 mientras que para PHI1= 0.3075748

(b) De una aproximación del intervalo de confianza al 95% para el coeficiente del modelo AR(1)

Una aproximación del intervalo de confianza para el coeficiente del modelo AR(1)es: 0.3075748 ± 1.96[(1 - (0.3075748)^2/324]^(1/2) = 0.3075748 ± 1.96(0.0384681) = (0.2321774, 0.3829722)

(c) Estime los parámetros de un IMA(1,1) para los datos. De la equación del modelo estimado.

## 
## Call:
## arima(x = robot, order = c(0, 1, 1), method = "ML")
## 
## Coefficients:
##           ma1
##       -0.8713
## s.e.   0.0389
## 
## sigma^2 estimated as 6.069e-06:  log likelihood = 1480.95,  aic = -2959.9

Los parámetros obtenidos para este modelo son: THETA1= -0.8712827 Obteniendo así: Y_t = Y_(t-1) + e_t –0.87128273e_(t-1)

(d) Compare los resultados de (a) y (c) usando el AIC

##       AR(1)  IMA(1,1)
## 1 -2945.078 -2957.901

Observando los valores del AIC, concluimos que el modelo IMA(1,1) es preferido utilizando el criterio del AIC.

(a) Haga un gráfico de los residuales estandarizados respecto al tiempo y un QQplot de los residuales. Comente que se puede decir sobre el ajuste del modelo.

Con las gráficas anteriore podemos decri que no hay muchos patrones en el gráfico de los residuales, pero se observa una ligera tendencia decreciente a lo largo del tiempo. Mientras que con la gráfica Q-Q notamos que no hay muestra alguna para dudar del supuesto de normalidad.