Efectos

Hasta ahora hemos visto modelos con efectos fijos.

Efectos fijos
- El mismo efecto para todos los casos
- Hay un valor fijo para el efecto:
  - Se estima un valor (una media de efecto)
Efectos aleatorios
- Efecto diferente para cada caso
- Se toman los valores de efecto de una distribución $N(0,\sigma_a)$
  - Media cero, desvío $\sigma_a$

Efectos

Efectos fijos
- Los niveles de una variable controlada
- Todos los niveles posibles están presentes
- Me interesa estimar el efecto medio
Efectos aleatorios
- Los niveles de una variable que no está controlada (sujeto, clase, palabra)
- No están todos los niveles posibles de la variable representados
- Me interesa estimar la variabilidad del efecto

Modelo lineal

$y= ax + b + \epsilon$

$ax + b$ —> efecto “fijo” (es igual para todas las observaciones)

$\epsilon$ —> error “normal” $\mathit{N}(0,\sigma_e)$

Para dos observaciones cualesquiera, sus $\epsilon$ no están correlacionados.
Esto es cierto si las observaciones son tomadas de diferentes sujetos, por ejemplo.
¿Qué pasa si hay grupos de observaciones que estás más correlacionadas que otras?
- Por ejemplo, si vienen del mismo sujeto

Ejemplo “juguete” (irreal)

Experimento ficticio, dos condiciones
Datos de tres sujetos, con mismo efecto de condición, pero unos sujetos son más lentos que otros

ps

Ejemplo irreal

Análisis sin efecto aleatorio

summary(lm(y~cond,data=d))

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ cond, data = d)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.7714 -1.2498  0.0424  1.0574  3.4602 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)  -0.2493     0.2013  -1.239    0.218
## cond          0.4391     0.2846   1.543    0.126
## 
## Residual standard error: 1.559 on 118 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.01977,    Adjusted R-squared:  0.01146 
## F-statistic:  2.38 on 1 and 118 DF,  p-value: 0.1256

Solución

Agregar una variable aleatoria
- Toma en cuenta la variabilidad debida a que hay observaciones correlacionadas (mismo sujeto, clase, escuela, etc.)

$y= ax + b + + zu + \epsilon$

Donde $z$ es una variable normal, pero con observaciones correlacionadas. $ u = (0,_s)$

Entonces

La varianza total quedará dividida en;
- Varianza explicada por efectos fijos (“tratamientos”)
- Varianza explicada por efectos aleatorios (“medidas repetidas”) $\sigma_s$
- Error $\epsilon$
La estructura de $\sigma_s$ puede variar: el caso más común es la simetría compuesta, o el caso típico de las medidas repetidas.
- Las medidas provenientes de una misma unidad tienen covarianza $\sigma_s$, covarianza 0 si vienen de unidades diferentes.

Ejemplo irreal

Análisis sin efecto aleatorio

summary(lm(y~cond,data=d))

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ cond, data = d)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.7714 -1.2498  0.0424  1.0574  3.4602 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)  -0.2493     0.2013  -1.239    0.218
## cond          0.4391     0.2846   1.543    0.126
## 
## Residual standard error: 1.559 on 118 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.01977,    Adjusted R-squared:  0.01146 
## F-statistic:  2.38 on 1 and 118 DF,  p-value: 0.1256

Ejemplo irreal

Análisis con efecto aleatorio de sujeto

summary(lmer(y~cond+(1|sujeto),data=d))

## Linear mixed model fit by REML t-tests use Satterthwaite approximations
##   to degrees of freedom [lmerMod]
## Formula: y ~ cond + (1 | sujeto)
##    Data: d
## 
## REML criterion at convergence: 334.6
## 
## Scaled residuals: 
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.61164 -0.68649  0.03952  0.66964  2.16197 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  sujeto   (Intercept) 2.3170   1.5222  
##  Residual             0.8596   0.9272  
## Number of obs: 120, groups:  sujeto, 3
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error       df t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)  -0.2493     0.8869   2.0400  -0.281   0.8046  
## cond          0.4391     0.1693 116.0000   2.594   0.0107 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##      (Intr)
## cond -0.095

Ejemplo real

Datos de experimento priming semántico (Emilia Flo et al., unpublished). Variabilidad entre los tiempos de reacción de los sujetos. Observaciones de un mismo sujeto más correlacionadas entre sí.

sem.p0

Ejemplo

Entonces, al ajustar por condición:

sem.p1

Ejemplo

En realidad está pasando esto:

sem.p2

pan1

Ejemplo: ANS - Panamath - sin efecto aleatorio

pan.an0

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: w
##            Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## ses         3  0.2345 0.07815  2.3491  0.07146 .  
## dia         1  0.6572 0.65718 19.7525 1.04e-05 ***
## ses:dia     3  0.1868 0.06227  1.8715  0.13311    
## Residuals 634 21.0936 0.03327                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Ejemplo: ANS - Panamath - con efecto aleatorio

pan.an1

## Analysis of Variance Table of type III  with  Satterthwaite 
## approximation for degrees of freedom
##          Sum Sq Mean Sq NumDF  DenDF F.value    Pr(>F)    
## ses     0.13822 0.04607     3 421.34  2.3382   0.07302 .  
## dia     0.54045 0.54045     1 295.28 27.4273 3.105e-07 ***
## ses:dia 0.18473 0.06158     3 293.26  3.1250   0.02622 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

¿Cómo se usa?

Hay al menos dos bibliotecas para ajustar modelos lineales mixtos

La librería lme4 (recomendada)
- Para tener cálculos completos de p-valores, usar lmerTest
- La función lmer es el equivalente a lm pero con efectos aleatorios obligados
- La sintaxis es igual que lm, pero se agrega la especificación del efecto aleatorio
  - Intercepto aleatorio: +(1|variableAleatoria)
  - Efecto (pendiente) aleatoria: +(efecto|variableAleatoria)

Volviendo al ejemplo juguete

Análisis con efecto aleatorio de sujeto

d.lmer=lmer(y~cond+(1|sujeto),data=d) # "cond" efecto fijo,   1|sujeto , efecto (aleatorio) de intercepto variable por sujeto
summary(d.lmer)

## Linear mixed model fit by REML t-tests use Satterthwaite approximations
##   to degrees of freedom [lmerMod]
## Formula: y ~ cond + (1 | sujeto)
##    Data: d
## 
## REML criterion at convergence: 334.6
## 
## Scaled residuals: 
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.61164 -0.68649  0.03952  0.66964  2.16197 
## 
## Random effects:
##  Groups   Name        Variance Std.Dev.
##  sujeto   (Intercept) 2.3170   1.5222  
##  Residual             0.8596   0.9272  
## Number of obs: 120, groups:  sujeto, 3
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error       df t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)  -0.2493     0.8869   2.0400  -0.281   0.8046  
## cond          0.4391     0.1693 116.0000   2.594   0.0107 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##      (Intr)
## cond -0.095

Volviendo al ejemplo juguete

¿Por qué no ponemos un efecto fijo de sujeto?

d.lm.sujeto=lm(y~cond+sujeto,data=d) # "cond" efecto fijo,   sujeto , efecto (fijo) de intercepto variable por sujeto
summary(d.lm.sujeto)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ cond + sujeto, data = d)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.41883 -0.64721  0.03536  0.62341  2.00703 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -0.5278     0.1693  -3.118   0.0023 ** 
## cond          0.4391     0.1693   2.594   0.0107 *  
## sujetoS2      1.9277     0.2073   9.298 1.05e-15 ***
## sujetoS3     -1.0924     0.2073  -5.269 6.40e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.9272 on 116 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6592, Adjusted R-squared:  0.6504 
## F-statistic: 74.79 on 3 and 116 DF,  p-value: < 2.2e-16

Volviendo al ejemplo juguete

¿Por qué no ponemos un efecto fijo de sujeto?

En el ejemplo que vimos, es casi lo mismo.
Interceptos aleatorios por sujeto es casi lo mismo que incluir efectos fijos de intercepto para cada sujeto
Pero, dejan de ser iguales cuando:
- Hay diferente número de observaciones por sujeto
Más en general, los efectos aleatorios permiten modelar la estructura de correlación de los datos.
- A veces hay efectos anidados (sujeto en clase, clase en escuela)
- A veces dependencias seriales
  - Medidas seriales en mismo sujeto (t1, t2, t3 … t1 y t2 se correlacionan más que t1 y t3 )
- Cuando hay varios efectos aleatorios la cosa se complica

Efectos (factores, tratamientos) cruzados y anidados

Cruzados (todos las unidades experimentales tienen todos los niveles del factor)
- Factor within-subjects
Anidados (cada unidad tiene un sólo nivel del factor)
- Factor between-subjects
Los efectos cruzados suelen ser fijos
Los efectos anidados suelen ser aleatorios
- Algunos efectos anidados son fijos

Modelos Lineales 3

Modelos lineales 3: Efectos mixtos

Regresión múltiple

Efectos

Efectos

Modelo lineal

Ejemplo “juguete” (irreal)

Ejemplo irreal

Solución

Entonces

Ejemplo irreal

Ejemplo irreal

Ejemplo real

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo: ANS - Panamath - sin efecto aleatorio

Ejemplo: ANS - Panamath - con efecto aleatorio

¿Cómo se usa?

Volviendo al ejemplo juguete

Volviendo al ejemplo juguete

Volviendo al ejemplo juguete

Efectos (factores, tratamientos) cruzados y anidados